数学与统计学院数学与应用数学专业 专业平台必修课程教学大纲 数学与统计学院数学与应用数学专业专业平台必修课程包括以下1山门课 程：常微分方程、复变函数、概率论与数理统计、实变函数、近世代数、泛函分 析、拓扑学、C语言、运筹学、微分几何、大学物理。 常微分方程 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第4学期开设， 周3学时。 分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。在大量的实际问题 中通到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之问的关系（即函数）往 往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式， 即微分方程。从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥 梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口。 微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属 性)，它是分析数学系列课程以及数学专业与应用数学专业其他后继课程的重要 基础。 教学目的：掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法：初步具有分析 问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型 的应用问题)的能力：为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的 基础知识。 教学内容：分5部分。(1)微分方程的基本概念和初等积分法；(2)微分方 程的基本理论的建立；(3)线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程 的特征根法、比较系数法、常数变易法及Laplace变换：(4)一阶线性方程组的 一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；(5) 定性理论和稳定性理论的初步知识
数学与统计学院 数学与应用数学专业 专业平台必修课程教学大纲 数学与统计学院数学与应用数学专业专业平台必修课程包括以下 11 门课 程：常微分方程、复变函数、概率论与数理统计、实变函数、近世代数、泛函分 析、拓扑学、C 语言、运筹学、微分几何、大学物理。 常微分方程 一、 说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第 4 学期开设， 周 3 学时。 分析数学研究的基本对象是函数（泛函、算子）和方程。在大量的实际问题 中遇到比较复杂的运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往 往不能直接写出来，却比较容易建立这些量和它们的导数（或微分）间的关系式， 即微分方程。从数学发展史看，微分方程不仅是分析数学联系实际问题的重要桥 梁，而且是体现分析数学的众多重要思想的窗口。 微分方程研究的主要内容是如何求解微分方程和解的适定性问题（各种属 性），它是分析数学系列课程以及数学专业与应用数学专业其他后继课程的重要 基础。 教学目的：掌握微分方程的基本概念、基本理论和基本方法；初步具有分析 问题和解决问题（包括可化为微分方程问题的数学理论问题和以微分方程为模型 的应用问题）的能力；为分析数学的后继课程和数值分析等相关课程备好必要的 基础知识。 教学内容：分 5 部分。（1）微分方程的基本概念和初等积分法；（2）微分方 程的基本理论的建立；（3）线性微分方程的一般理论和关于常系数线性微分方程 的特征根法、比较系数法、常数变易法及 Laplace 变换；（4）一阶线性方程组的 一般理论和常系数线性微分方程组的解法，主要是特征根法和常数变易法；（5） 定性理论和稳定性理论的初步知识
教学时数：54学时。 教学方式：讲授法，同时注重课程基本理论和数学物理问题的密切结合。 二、大纲正文 第一章初等积分法 教学要点：准确理解微分方程的一些最基本的概念；按如下两条主线掌握一 阶方程的初等积分法：变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程，全 微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的方程：掌握隐式微 分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法。 教学时数：13学时。 教学内容： §1.1微分方程与解(2学时)：基本概念：微分方程、阶、解与积分（通 解与通积分，特解与积分)、定解问题，通过单摆方程和人口模型等介绍微分方 程的背景和建立微分方程求解应用问题的基本方法。 §1.2变量可分离方程(1学时)：变量分离法。 S1.3齐次方程(2学时)：齐次方程和一些齐次方程的变形的解法。 §1.4一阶线性方程(2学时)：Bernoulli方程的解法与一阶线性方程求方 法一常数变易法与；通过解的一般表达式讨论解的性质。 §1.5全微分方程及积分因子(2学时)：全微分方程的解法和积分因子法 分项组合法。 §1.6一阶隐式微分方程(2学时)：一阶隐式微分方程的微分消参法，特 别是Clairaut方程的解法。 §1.7几种可降阶的高阶方程(1学时)：几种可降阶的高阶微分方程的解法。 §1.8一阶微分方程应用举例(1学时) 考核要求：掌握微分方程的基本概念-一徽分方程、阶、解与积分（通解与通 积分，特解与积分)等：掌握变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方 程、全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的一阶微分方 程的解法：掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法：能 够通过解的一般表达式讨论解的性质，理解和应用奇解概念；通过建立微分方程 求解一些应用问题
教学时数：54 学时。 教学方式：讲授法，同时注重课程基本理论和数学物理问题的密切结合。 二、 大纲正文 第一章 初等积分法 教学要点：准确理解微分方程的一些最基本的概念；按如下两条主线掌握一 阶方程的初等积分法：变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方程，全 微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的方程；掌握隐式微 分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法。 教学时数：13 学时。 教学内容： §1.1 微分方程与解 （2 学时）：基本概念：微分方程、阶、解与积分（通 解与通积分，特解与积分）、定解问题，通过单摆方程和人口模型等介绍微分方 程的背景和建立微分方程求解应用问题的基本方法。 §1.2 变量可分离方程（1 学时）：变量分离法。 §1.3 齐次方程（2 学时）：齐次方程和一些齐次方程的变形的解法。 §1.4 一阶线性方程（2 学时）：Bernoulli 方程的解法与一阶线性方程求方 法---常数变易法与；通过解的一般表达式讨论解的性质。 §1.5 全微分方程及积分因子（2 学时）：全微分方程的解法和积分因子法、 分项组合法。 §1.6 一阶隐式微分方程（2 学时）： 一阶隐式微分方程的微分消参法，特 别是 Clairaut 方程的解法。 §1.7 几种可降阶的高阶方程（1 学时）：几种可降阶的高阶微分方程的解法。 §1.8 一阶微分方程应用举例（1 学时） 考核要求：掌握微分方程的基本概念--微分方程、阶、解与积分（通解与通 积分，特解与积分）等；掌握变量分离方程和通过变换可化为变量分离方程的方 程、全微分方程和通过积分因子法或分项组合法可化为全微分方程的一阶微分方 程的解法；掌握隐式微分方程的微分消参法和可降阶的高阶微分方程的解法；能 够通过解的一般表达式讨论解的性质，理解和应用奇解概念；通过建立微分方程 求解一些应用问题
第二章基本定理 教学要点：解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微 性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明 教学时数：9学时。 教学内容： §2.1常微分方程的几何解释(1学时)：线素场、欧拉折线以及初值间题 解的存在性。 §2.2解的存在性与唯一性定理(3学时)：引进并详细证明解的存在唯一 性定理；依据具体例子对定理的条件做详细说明。 §2.3解的延展(2学时)：介绍并证明解的延展定理，示例说明该定理的 条件；介绍第一比较定理。 §2.4奇解和包络(2学时)：奇解的定义，不存在奇解的判别法，包络线 的定义以及奇解的求法 §2.5解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性(1学时)：介绍并证明 解对初值的连续依赖性定理；掌握解对初值的可微性定理。 考核要求：重点掌握解的存在唯一性定理、廷拓定理的内容以及解的存在唯 一性定理的证明思想；熟练掌握Picard逼近列、Lipschits条件和延拓概念。 第三章一阶线性微分方程组 教学要点：准确理解线性微分方程组的一般理论；能够熟练掌握Liouvi11e 公式、常数变易法、常系数线性微分方程的特征根法和筒单的非齐次方程的解法。 教学时数：10学时。 教学内容： §3.1一阶微分方程组(1学时)：一阶微分方程组初值问题解的存在唯一 性定理 §3.2一阶线性微分方程组的一般概念(1学时)：一阶线性微分方程组 初值问题解的存在唯一性定理。 §3.3一阶线性齐次方程组的一般理论(2学时)：建立线性齐次微分方程 组的一般理论，得到通解结构定理，证明Liouville公式
第二章 基本定理 教学要点：解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续依赖性和可微 性定理以及所涉及概念的准确理解，解的存在唯一性定理的详细证明。 教学时数：9 学时。 教学内容： §2.1 常微分方程的几何解释（1 学时）：线素场、欧拉折线以及初值问题 解的存在性。 §2.2 解的存在性与唯一性定理（3 学时）：引进并详细证明解的存在唯一 性定理；依据具体例子对定理的条件做详细说明。 §2.3 解的延展（2 学时）：介绍并证明解的延展定理，示例说明该定理的 条件；介绍第一比较定理。 §2.4 奇解和包络（2 学时）：奇解的定义，不存在奇解的判别法，包络线 的定义以及奇解的求法 §2.5 解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（1 学时）：介绍并证明 解对初值的连续依赖性定理；掌握解对初值的可微性定理。 考核要求：重点掌握解的存在唯一性定理、延拓定理的内容以及解的存在唯 一性定理的证明思想；熟练掌握 Picard 逼近列、Lipschits 条件和延拓概念。 第三章 一阶线性微分方程组 教学要点：准确理解线性微分方程组的一般理论；能够熟练掌握 Liouville 公式、常数变易法、常系数线性微分方程的特征根法和简单的非齐次方程的解法。 教学时数：10 学时。 教学内容： §3.1 一阶微分方程组（1 学时）： 一阶微分方程组初值问题解的存在唯一 性定理。 §3.2 一阶线性微分方程组的一般概念（1 学时） ：一阶线性微分方程组 初值问题解的存在唯一性定理。 §3.3 一阶线性齐次方程组的一般理论（2 学时）：建立线性齐次微分方程 组的一般理论，得到通解结构定理，证明 Liouville 公式
§3.4一阶线性非齐次方程组的一般理论(1学时)：线性非齐次微分方程 组的一般理论和常数变易法。 §3.5常系数线性微分方程组的解法(5学时)：特征根法一理论证明与方 法的熟练应用；简单的非齐次方程的解法。 考核要求：准确理解线性微分方程组的一般理论：熟练掌握Liouvi1le公 式、常数变易法和特征根法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。 第四章n阶线性微分方程 教学要点：准确理解线性微分方程的一般理论：熟练学握Liouville公式、 常数变易法和常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、Laplace变换；理 解振动现象。 教学时数：14学时。 教学内容： §4.1n阶线性齐次微分方程的一般理论(3学时)：线性微分方程的解的存 在唯一性定理及线性微分算子的性质：建立阶齐次线性微分方程的一般理论， 得到通解结构定理，证明Liouville公式并应用到2阶微分方程；n阶线性非齐 次方程的通解结构定理与常数变易法。 §4.2阶常系数线性齐次微分方程解法(3学时)：用特征根法解常系数线 性齐次微分方程的基本步骤、理论证明、典型示例。 §4.3阶常系数线性非齐次微分方程解法(3学时)：比较系数法的建立、 理论证明、典型示例。 §4.4二阶常系数线性方程与振动现象(2学时)：依据线性微分方程的解 的表示解释振动现象。 §4.5 Laplace变换(2学时)：介绍Laplace变换以及如何应用Laplace变换 求解一些常系数线性非齐次微分方程的Cauchy问题。 §4.6幂级数解法大意（筒介）(1学时) 考核要求：准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握Liouville公式、 常数变易法、特征根法、比较系数法和Laplace变换；能够依据解的一般表示 讨论解的一些属性
§3.4 一阶线性非齐次方程组的一般理论（1 学时）：线性非齐次微分方程 组的一般理论和常数变易法。 §3.5 常系数线性微分方程组的解法（5 学时）： 特征根法—理论证明与方 法的熟练应用；简单的非齐次方程的解法。 考核要求：准确理解线性微分方程组的一般理论；熟练掌握 Liouville 公 式、常数变易法和特征根法；能够依据解的一般表示讨论解的一些属性。 第四章 n 阶线性微分方程 教学要点：准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握 Liouville 公式、 常数变易法和常系数线性微分方程的特征根法、比较系数法、Laplace 变换；理 解振动现象。 教学时数：14 学时。 教学内容： §4.1 n 阶线性齐次微分方程的一般理论（3 学时）：线性微分方程的解的存 在唯一性定理及线性微分算子的性质；建立 n 阶齐次线性微分方程的一般理论， 得到通解结构定理，证明 Liouville 公式并应用到 2 阶微分方程；n 阶线性非齐 次方程的通解结构定理与常数变易法。 §4.2 n 阶常系数线性齐次微分方程解法（3 学时）：用特征根法解常系数线 性齐次微分方程的基本步骤、理论证明、典型示例。 §4.3 n 阶常系数线性非齐次微分方程解法（3 学时）：比较系数法的建立、 理论证明、典型示例。 §4.4 二阶常系数线性方程与振动现象（2 学时）：依据线性微分方程的解 的表示解释振动现象。 §4.5 Laplace 变换（2 学时）：介绍 Laplace 变换以及如何应用 Laplace 变换 求解一些常系数线性非齐次微分方程的 Cauchy 问题。 §4.6 幂级数解法大意 （简介）（1 学时） 考核要求：准确理解线性微分方程的一般理论；熟练掌握 Liouville 公式、 常数变易法、特征根法、比较系数法和 Laplace 变换；能够依据解的一般表示 讨论解的一些属性
第五章定性与稳定性理论简介 教学要点：二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布：极限环的定 义与示例；稳定性概念及其判定定理，分别应用稳定性概念、线性化系统的特征 值、Liapunov第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 教学时数：8学时。 教学内容： §5.1稳定性概念(1学时)：稳定性、渐近稳定性的概念以及相关例题。 §5.2李雅普诺夫第二方法(2学时)：运用李雅普诺夫第二方法对零解的 稳定性以及渐近稳定性的判定。 §5.3平面自治系统的基本概念(1学时)：相平面、相轨线以及相图：平 面自治系统的基本性质；常点、奇点与闭轨 §5.4平面定性理论简介(4学时)：线性系统初等奇点附近的轨线分布一 结点、鞍点、焦点、中心及其附近的轨线分布：平面非线性自治系统奇点附近的 轨线分布：极限环的概念与举例。 考核要求：重点掌握二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布：理 解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值，Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 三、参考书目 东北师范大学数学系，《常微分方程，高等教有出版社，192年。 叶严谦，《常微分方程》，高等教育出版社，1982年（第二版） [3】中山大学数学系，《常微分方程》，高等教有出版社，1983年（第二版）。 [4国家教有委员会师范教有司，《普通高度师范学校数学教有专业（本科）教有教学 基本要求（试行）》，首都师范大学出版社，1994
第五章 定性与稳定性理论简介 教学要点：二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；极限环的定 义与示例；稳定性概念及其判定定理，分别应用稳定性概念、线性化系统的特征 值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 教学时数：8 学时。 教学内容： §5.1 稳定性概念 (1 学时)：稳定性、渐近稳定性的概念以及相关例题。 §5.2 李雅普诺夫第二方法（2 学时）：运用李雅普诺夫第二方法对零解的 稳定性以及渐近稳定性的判定。 §5.3 平面自治系统的基本概念（1 学时）：相平面、相轨线以及相图；平 面自治系统的基本性质；常点、奇点与闭轨 §5.4 平面定性理论简介（4 学时）：线性系统初等奇点附近的轨线分布— 结点、鞍点、焦点、中心及其附近的轨线分布；平面非线性自治系统奇点附近的 轨线分布；极限环的概念与举例。 考核要求：重点掌握二维自治系统初等奇点的分类及其附近的轨线分布；理 解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性。 三、参考书目 [1] 东北师范大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年。 [2] 叶严谦，《常微分方程》，高等教育出版社，1982 年（第二版）。 [3] 中山大学数学系，《常微分方程》，高等教育出版社，1983 年（第二版）。 [4] 国家教育委员会师范教育司，《普通高度师范学校数学教育专业（本科）教育教学 基本要求（试行）》，首都师范大学出版社，1994
复变函数 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第4学期开设。 周3学时。 复变函数论是现代数学的一个重要分支，主要研究解析函数的微分理论、积 分理论、级数理论、残数理论、保形变换理论：它的思想和方法已经渗透到数学 的许多分支；它的结果已应用到科技的不少方面。 教学目的：通过复变函数论的学习，培养学生能运用复分析的理论和方法去 解决现代分析数学中基本问题的能力；学会把这种能力熟练地运用于中等及高等 学校数学课程所涉及的一些最重要的分析间题，深刻领会这些分析问题的本质特 征及它们之问的联系；由此来统帅中学数数教材中的相关部分。 教学内容：复变函数论主要讲述解析函数的微分理论、积分理论、级数理论、 残数理论、保形变换理论、以及相关的应用。 教学时数：54学时。 教学方式：课堂讲授。 二、大纲正文 第一章复数与复变函数 教学要点：复平面、复数、模、辐角、共轭、区城、约当曲线、复函数、极 限、连续的定义；复极限与实极限的关系；实函数与复函数的关系；复球面与无 穷远点的意义。 教学时数：4学时 教学内容： §1.1复数(1学时)：主要讲授复数城，复平面，复数的模与辐角，复数 的乘幂与方根，复数的共轭，几何应用等。 §1.2复平面上的点集(1学时)：介绍平面点集的基本概念，区域与约当 曲线。 §1.3复变函数(1学时)：介绍复变函数的概念，复变函数的极限与连续。 §1.4复球面与无穷远点(1学时)：介绍复球面，扩充复平面的几个概念
复变函数 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第 4 学期开设。 周 3 学时。 复变函数论是现代数学的一个重要分支，主要研究解析函数的微分理论、积 分理论、级数理论、残数理论、保形变换理论；它的思想和方法已经渗透到数学 的许多分支；它的结果已应用到科技的不少方面。 教学目的：通过复变函数论的学习，培养学生能运用复分析的理论和方法去 解决现代分析数学中基本问题的能力；学会把这种能力熟练地运用于中等及高等 学校数学课程所涉及的一些最重要的分析问题，深刻领会这些分析问题的本质特 征及它们之间的联系；由此来统帅中学数数教材中的相关部分。 教学内容：复变函数论主要讲述解析函数的微分理论、积分理论、级数理论、 残数理论、保形变换理论、以及相关的应用。 教学时数：54 学时。 教学方式：课堂讲授。 二、大纲正文 第一章 复数与复变函数 教学要点：复平面、复数、模、辐角、共轭、区域、约当曲线、复函数、极 限、连续的定义；复极限与实极限的关系；实函数与复函数的关系；复球面与无 穷远点的意义。 教学时数：4 学时。 教学内容： §1.1 复数（1 学时）：主要讲授复数域，复平面，复数的模与辐角，复数 的乘幂与方根，复数的共轭，几何应用等。 §1.2 复平面上的点集（1 学时）：介绍平面点集的基本概念，区域与约当 曲线。 §1.3 复变函数（1 学时）：介绍复变函数的概念，复变函数的极限与连续。 §1.4 复球面与无穷远点（1 学时）：介绍复球面，扩充复平面的几个概念
考核要求：要让学生识记复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、复 数的共轭、区域与约当曲线：领会复变函数的概念、扩充复平面的几个概念：理 解复变函数的极限与连续。 第二章解析函数 教学要点：解析函数的基本概念；Cauchy-Riemann条件；解析函数的微分 特征：初等解析函数：初等多值函数。 教学时数：10学时。 教学内容： §2.1解析函数的基本概念与Cauchy-Riemann条件(2学时)：介绍复变函 数的导数与微分，用Cauchy-Riemann条件描述的解析函数的微分特征。 §2.2初等解析函数(2学时)：介绍指数函数，三角函数，双曲函数。 §2.3初等多值函数(6学时)：介绍根式函数，对数函数，一般幂函数与 一般指数函数，反三角函数与反双曲函数。 考核要求：学生必须识记解析函数基本概念、Cauchy-Riemann条件；领会 用Cauchy-Riemann条件描述的解析函数的微分特征，指数函数、三角函数、双 曲函数的基本性质：理解根式函数、对数函数产生多值性的原因，具有有限多个 支点的初等多值函数的单值化计算。 第三章复变函数的积分 教学要点：复积分的基本概念与计算；Cauchy积分定理；Cauchy积分公式： 解析函数的无穷可微性；Cauchy不等式与Liouville定理；Morera定理；解析函 数与调和函数的关系。 教学时数：10学时。 教学内容： §3.1定义与基本性质(2学时)：介绍复积分的基本概念；复积分的计算： 复积分的基本性质。 §3.2 Cauchy积分定理(4学时)：介绍Cauchy积分定理；Cauchy积分定 理的Gourat证明：不定积分：Cauchy积分定理的推广：复围线情形的Cauchy 积分定理。 §3.3 Cauchy积分公式及解析函数的无穷可微性(4学时)：介绍Cauchy
考核要求：要让学生识记复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、复 数的共轭、区域与约当曲线；领会复变函数的概念、扩充复平面的几个概念；理 解复变函数的极限与连续。 第二章 解析函数 教学要点：解析函数的基本概念；Cauchy-Riemann 条件；解析函数的微分 特征；初等解析函数；初等多值函数。 教学时数：10 学时。 教学内容： §2.1 解析函数的基本概念与 Cauchy-Riemann 条件（2 学时）：介绍复变函 数的导数与微分，用 Cauchy-Riemann 条件描述的解析函数的微分特征。 §2.2 初等解析函数（2 学时）：介绍指数函数，三角函数，双曲函数。 §2.3 初等多值函数（6 学时）：介绍根式函数，对数函数，一般幂函数与 一般指数函数，反三角函数与反双曲函数。 考核要求：学生必须识记解析函数基本概念、Cauchy-Riemann 条件；领会 用 Cauchy-Riemann 条件描述的解析函数的微分特征，指数函数、三角函数、双 曲函数的基本性质；理解根式函数、对数函数产生多值性的原因，具有有限多个 支点的初等多值函数的单值化计算。 第三章 复变函数的积分 教学要点：复积分的基本概念与计算；Cauchy 积分定理；Cauchy 积分公式； 解析函数的无穷可微性；Cauchy 不等式与 Liouville 定理；Morera 定理；解析函 数与调和函数的关系。 教学时数：10 学时。 教学内容： §3.1 定义与基本性质（2 学时）：介绍复积分的基本概念；复积分的计算； 复积分的基本性质。 §3.2 Cauchy 积分定理（4 学时）：介绍 Cauchy 积分定理；Cauchy 积分定 理的 Gourat 证明；不定积分；Cauchy 积分定理的推广；复围线情形的 Cauchy 积分定理。 §3.3 Cauchy 积分公式及解析函数的无穷可微性（4 学时）：介绍 Cauchy
积分公式；解析函数的无穷可微性；Cauchy不等式与Liouville定理；Morera定 理。 考核要求：学生必须识记并领会复积分的基本概念与计算；理解Cauchy积 分定理、Cauchy积分公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy不等式与Liouville 定理、Morera定理、解析函数与调和函数的关系：可以综合应用所学的知识去 解决简单复分析问题。 第四章解析函数的幂级数表示法 教学要点：复级数的基本性质；幂级数；解析函数的Taylor展式；解析函 数零点的孤立性；唯一性定理。 教学时数：10学时。 教学内容： §4.1复级数的基本性质(2学时)：介绍复级数的定义：一致收敛的复数 项级数：Weierstrass定理。 §4.2暴级数(2学时)：介绍幂级数的敛散性；收敛半径的计算；暴级数 和的解析性。 §4.3解析函数的Taylor展式(2学时)：介绍Taylor定理；基本初等函 数的Taylor展式。 §4.4解析函数零点的孤立性与唯一性定理(4学时)：介绍解析函数零点的 孤立性：唯一性定理：最大模原理。 考核要求：学生必须识记并领会复级数的定义、一致收敛的复数项级数、解 析函数的Taylor展式：理解Weierstrass定理、基本初等函数的Taylor展式 解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理；可以综合应用解析函数的 Taylor展式、唯一性定理、最大模原理去解决一些筒单的的复分析问题。 第五章解析函数的Laurent展式与孤立奇点 教学要点：解析函数的Laurent展式：解析函数的孤立奇点；解析函数在无 穷远点的性质；整函数与亚纯函数的概念。 教学时数：10学时。 教学内容： §5.1解析函数的Laurent展式(3学时)：介绍解析函数的Laurent展式：
积分公式；解析函数的无穷可微性；Cauchy 不等式与 Liouville 定理；Morera 定 理。 考核要求：学生必须识记并领会复积分的基本概念与计算；理解 Cauchy 积 分定理、Cauchy 积分公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy 不等式与 Liouville 定理、Morera 定理、解析函数与调和函数的关系；可以综合应用所学的知识去 解决简单复分析问题。 第四章 解析函数的幂级数表示法 教学要点：复级数的基本性质；幂级数；解析函数的 Taylor 展式；解析函 数零点的孤立性；唯一性定理。 教学时数：10 学时。 教学内容： §4.1 复级数的基本性质（2 学时）：介绍复级数的定义；一致收敛的复数 项级数；Weierstrass 定理。 §4.2 幂级数（2 学时）：介绍幂级数的敛散性；收敛半径的计算；幂级数 和的解析性。 §4.3 解析函数的 Taylor 展式（2 学时）：介绍 Taylor 定理；基本初等函 数的 Taylor 展式。 §4.4 解析函数零点的孤立性与唯一性定理（4 学时）：介绍解析函数零点的 孤立性；唯一性定理；最大模原理。 考核要求：学生必须识记并领会复级数的定义、一致收敛的复数项级数、解 析函数的 Taylor 展式；理解 Weierstrass 定理、基本初等函数的 Taylor 展式、 解析函数零点的孤立性、唯一性定理、最大模原理；可以综合应用解析函数的 Taylor 展式、唯一性定理、最大模原理去解决一些简单的的复分析问题。 第五章 解析函数的 Laurent 展式与孤立奇点 教学要点：解析函数的 Laurent 展式；解析函数的孤立奇点；解析函数在无 穷远点的性质；整函数与亚纯函数的概念。 教学时数：10 学时。 教学内容： §5.1 解析函数的 Laurent 展式（3 学时）：介绍解析函数的 Laurent 展式；
解析函数在孤立奇点的Laurent展式。 §5.2解析函数的孤立奇点(3学时)：介绍可去奇点：极点：本性奇点： Weierstrass定理与Picard定理；Schwarz引理。 §5.3解析函数在无穷远点的性质(2学时)：介绍解析函数在无穷远点的 Laurent展式：无穷远点为可去奇点、极点、本性奇点的判定。 §54整函数与亚纯函数的概念(2学时)：介绍整函数与亚纯函数的概念。 考核要求：学生必须识记并领会解析函数的Laurent展式、整函数与亚纯函 数的概念：理解可去奇点、极点、本性奇点的判定（包括无穷远点）：理解 Weierstrass定理、Picard定理，Schwarz引理；可以综合应用解析函数的Laurent 展式、Weierstrass定理、Picard定理、Schwarz引理去解决一些简单的的复分 析问题。 第六章残数理论及其应用 教学要点：残数定理：用残数定理计算实积分：辐角原理及其应用。 教学时数：10学时。 教学内容： §6.1残数(3学时)：介绍残数的概念；残数定理：残数的求法。 §6.2用残数定理计算实积分(5学时)：介绍用残数定理可以计算三种类 型的实积分的计算：积分路径上有奇点的实积分的计算。 §6.3辐角原理及其应用(2学时)：对数残数：辐角原理：Rouche定理。 考核要求：学生必须识记残数、整函数、亚纯函数的概念：领会解析函数在 可去奇点、极点、本性奇点处残数的计算（包括无穷远点）：理解残数定理并熟 练运用残数定理计算三种类型的实积分以及积分路径上有奇点的实积分的计：理 解辐角原理、Rouche定理并熟练运用其判断筒单的解析函数在围线内的零点问 题；可以综合应用残数理论和辐角原理去解决一些简单的的复分析问题。 三参考书目 [山钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社，1988年5月第2版。 2庄折泰，张南岳，复变函数， 北京大学出版社，1984年4月第1版， [)]余家荣，复变函数，人民教有出版社，1979年2月第1版。 [4]John B.Conway,Functions of One Complex Variable,Springer-Verlag.New York,1978
解析函数在孤立奇点的 Laurent 展式。 §5.2 解析函数的孤立奇点（3 学时）：介绍可去奇点；极点；本性奇点； Weierstrass 定理与 Picard 定理；Schwarz 引理。 §5.3 解析函数在无穷远点的性质（2 学时）：介绍解析函数在无穷远点的 Laurent 展式；无穷远点为可去奇点、极点、本性奇点的判定。 §5.4 整函数与亚纯函数的概念（2 学时）：介绍整函数与亚纯函数的概念。 考核要求：学生必须识记并领会解析函数的 Laurent 展式、整函数与亚纯函 数的概念；理解可去奇点、极点、本性奇点的判定（包括无穷远点）；理解 Weierstrass定理、Picard定理、Schwarz引理；可以综合应用解析函数的 Laurent 展式、Weierstrass 定理、Picard 定理、Schwarz 引理去解决一些简单的的复分 析问题。 第六章 残数理论及其应用 教学要点：残数定理；用残数定理计算实积分；辐角原理及其应用。 教学时数：10 学时。 教学内容： §6.1 残数（3 学时）：介绍残数的概念；残数定理；残数的求法。 §6.2 用残数定理计算实积分（5 学时）：介绍用残数定理可以计算三种类 型的实积分的计算；积分路径上有奇点的实积分的计算。 §6.3 辐角原理及其应用（2 学时）：对数残数；辐角原理；Rouche 定理。 考核要求：学生必须识记残数、整函数、亚纯函数的概念；领会解析函数在 可去奇点、极点、本性奇点处残数的计算（包括无穷远点）；理解残数定理并熟 练运用残数定理计算三种类型的实积分以及积分路径上有奇点的实积分的计；理 解辐角原理、Rouche 定理并熟练运用其判断简单的解析函数在围线内的零点问 题；可以综合应用残数理论和辐角原理去解决一些简单的的复分析问题。 三 参考书目 [1] 钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社，1988 年 5 月第 2 版。 [2] 庄圻泰，张南岳，复变函数，北京大学出版社，1984 年 4 月第 1 版。 [3] 余家荣，复变函数，人民教育出版社，1979 年 2 月第 1 版。 [4] John B.Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag,New York,1978
概率论与数理统计 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第5学期开设。 周4学时。 随着社会的发展，对随机现象规律性的研究已广泛地渗透到自然科学、社会 科学与人们的日常生活中。概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性， 并在此基础上进行统计推断的学科。它有别于数学的其他分支，是一门应用性很 强的学科。在经济、管理的数据分析、预测与决策中有着广泛的应用。 教学目的：正确理解基本概念，准确掌握基本方法和基本结论。注重培养学 生对随机现象的理解和概率直觉，从直观分析入手讲清楚概率统计中一些主要概 念和方法产生的背景和思路，使学生对于实际事物中的随机性产生敏感、培养学 生的概率统计直觉能力。能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题。 教学内容：第一章介绍概率论的基本概念、基本公式和基本方法；第二章引 进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布，并介绍多维随机向量极其概率分 布；第三章介绍随机变量的数字特征；第四章是概率论与数理统计的连接界面， 介绍抽样和抽样分布以及大数定律和中心极限定理；第五章讨论如何利用随机样 本估计总体参数的方法，并提出评价估计量优良性的标准；第六章介绍利用样本 对总体的特征进行检验的方法（假设检验）：第七章介绍回归分析、相关分析及 方差分析。 教学时数：72学时。 教学方式：讲授法，同时注意理论与实践相结合。 二、大纲正文 第一章随机事件与概率 教学要点：有关基本概念的准确理解，有关古典概型和贝努里概型概率的计 算，概率论中几个最基本的公式及其应用。 教学时数：14学时。 教学内容： §1.1随机试验和样本空间(2学时)：介绍试验、事件及样本空间等基本概
概率论与数理统计 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用专业专业平台必修课程之一，第 5 学期开设。 周 4 学时。 随着社会的发展，对随机现象规律性的研究已广泛地渗透到自然科学、社会 科学与人们的日常生活中。概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性， 并在此基础上进行统计推断的学科。它有别于数学的其他分支，是一门应用性很 强的学科。在经济、管理的数据分析、预测与决策中有着广泛的应用。 教学目的：正确理解基本概念，准确掌握基本方法和基本结论。注重培养学 生对随机现象的理解和概率直觉，从直观分析入手讲清楚概率统计中一些主要概 念和方法产生的背景和思路，使学生对于实际事物中的随机性产生敏感、培养学 生的概率统计直觉能力。能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题。 教学内容：第一章介绍概率论的基本概念、基本公式和基本方法；第二章引 进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布，并介绍多维随机向量极其概率分 布；第三章介绍随机变量的数字特征；第四章是概率论与数理统计的连接界面， 介绍抽样和抽样分布以及大数定律和中心极限定理；第五章讨论如何利用随机样 本估计总体参数的方法，并提出评价估计量优良性的标准；第六章介绍利用样本 对总体的特征进行检验的方法（假设检验）；第七章介绍回归分析、相关分析及 方差分析。 教学时数：72 学时。 教学方式：讲授法，同时注意理论与实践相结合。 二、大纲正文 第一章 随机事件与概率 教学要点：有关基本概念的准确理解，有关古典概型和贝努里概型概率的计 算，概率论中几个最基本的公式及其应用。 教学时数：14 学时。 教学内容： §1.1 随机试验和样本空间（2 学时）：介绍试验、事件及样本空间等基本概