第一章统计推断准备 0.预备知识 0.1大数定律与中心极限定理 阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。 0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量5有期望E5和方差D5,则对任意ε>0，有 P5-E≥esD
第一章 统计推断准备 0.预备知识 0.1 大数定律与中心极限定理 阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。 0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 和方差 ，则对任意 ，有 2 D P E − E D 0
0.1.2大数定律 定义：若气，5,5m随机变量序列，如果存在常 数列a,42,,a…使得对任意的&>0有 (份会-a小0,有： )-
0.1.2大数定律 定义：若 随机变量序列，如果存在常 数列 使得对任意的 有 成立，则称随机变量序列 服从大数定律. 定理1（贝努里大数定律）设 是n重贝努里试验 中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的 概率为p（0<p<1），则对任意的 ，有： 1 2 , ,..., ,... n 1 2 , ,..., ,... n a a a 0 1 1 lim 1 n i n n i P a n → = − = n n 0 lim 1 n n P p n → − =
定理2（车贝雪夫大数定律）设5,55n…是一列两两不相 关的随机变量，又设他们的方差有界，既存在常数C>0 使有D5≤C,i=1,2,则对任意的ε>0，有 ▣空2小1 例1.： 设，点，，5n为独立同分布的随机变量序列，均服 从参数为1的泊松分布E5,=,D5=,i=1,2…则 -2sc-1 定理3（辛钦大数定律)设气，5，，5，是一列独立同分布的 随机变量，且数学期望存在，E5,=a,D5,≤C,i=1,2… 则对任意的ε>0有 2小 1→00
定理2（车贝雪夫大数定律）设 是一列两两不相 关的随机变量，又设他们的方差有界，既存在常数C>0， 使有 则对任意的 ，有 例1.： 设 为独立同分布的随机变量序列，均服 从参数为 的泊松分布 则 定理3（辛钦大数定律）设 是一列独立同分布的 随机变量，且数学期望存在， 则对任意的 有 1 2 , ,..., ,... n , 1,2,... D C i i = 0 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P E n n → = = − = 1 2 , ,..., ,... n , , 1,2,... E D i i i = = = 1 1 lim 1 n i n i P n → = − = 1 2 , ,..., ,... n 0 1 1 lim 1 n i n i P a n → = − = Ei = a,Di C,i =1,2,
0.1.3.中心极限定理 定理1（林德贝格-勒维定理)若，52，，5m…是独立同分布 的随机变量序列，且E5=a,D5=o2>0,k=1,2,…则随机变 量，=S,% ,其中S,=∑气的分布函数F(,对一切x, no 有：immE.()=limP(<x)=immP S- 即随机变量渐近地服从标准正态分布。 定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）设”，是n重贝努里试验中 事件A出现的次数，而0<p<1是事件A在每次试验中出现 的概率，则1.渐近的服从正态分布N(p,p9),其中q=1-p 或 n→0
0.1.3.中心极限定理 定理1（林德贝格-勒维定理）若 是独立同分布 的随机变量序列，且 则随机变 量 ，其中 的分布函数 对一切x， 有： 即随机变量 渐近地服从标准正态分布。 定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）设 是n重贝努里试验中 事件A出现的次数，而0<p<1是事件A在每次试验中出现 的概率，则 渐近的服从正态分布 ，其中q=1-p 或 2 n n S na n − = 1 2 , ,..., ,... n 2 , 0, 1,2,... E a D k k k = = = 1 n n i i S = = F x n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 lim lim lim 2 t x n n n n n n S na F x P x P x e dt n − → → → − − = = = n n N np npq ( , ) 2 2 1 lim 2 t x n n np P x e dt npq − → − − = n
例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度 不小于3米，现从这批木柱中随机地取出100根， 问其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 例3：某车间有200台车床，独立工作，开工率为 0.6,开工时耗电各为1000瓦，问供电部门至少 要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保 证这个车间不会因为供电不足而影响生产。 例4：一加法器，同时收到20个噪声电压 设他们是相互独立的，且在区间(0,10)上服 从均匀分布的随机变量，记“-会“，，求 P(U>105) Uk,k=1,2,,20
例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度 不小于3米，现从这批木柱中随机地取出100根， 问其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 例3：某车间有200台车床，独立工作，开工率为 0.6，开工时耗电各为1000瓦，问供电部门至少 要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保 证这个车间不会因为供电不足而影响生产。 例 4 ： 一 加 法 器 ， 同 时 收 到 2 0 个 噪 声 电 压 设他们是相互独立的，且在区间（0，10）上服 从均匀分布的随机变量，记 ，求 , 1,2,...,20 U k k = 20 1 k k U U = = P U( 105)
§1基本概念 1.1总体与样本 总体：研究对象的全体，记为X或5，是指一个随机变量。 个体：组成总体的每个单元。 样本：就是个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量5， i=1,2,…,n,所组成的n维随机变量(5,52，，5m) 样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是个随机变量的值 (样本值)用小写字母（x,2,xn表示。 注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一 组确定的具体值。 定义：若随机变量，5，…，5相互独立且每个5，=1,2，，n, 与总体5有相同的概率分布，则称随机变量5,52，，5为来自 总体5的容量为n的简单随机样本，称5，i=1,2,,n为样 本的第个分量。若5有分布密度（或分布函数：)则 称(5,52,5n)是来自总体F)(或fd)的样本
§1基本概念 1.1总体与样本 总体：研究对象的全体，记为X或 ，是指一个随机变量。 个体：组成总体的每个单元。 样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量 ， i=1，2，…，n，所组成的n维随机变量 样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是n个随机变量的值 （样本值）用小写字母 表示。 注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一 组确定的具体值。 定义：若随机变量 相互独立且每个 ，i=1，2，…，n， 与总体 有相同的概率分布，则称随机变量 为来自 总体 的容量为n的简单随机样本，称 ，i=1，2，…，n为样 本的第i个分量。若 有分布密度 （或分布函数 ）则 称 是来自总体 （或 ）的样本. i ( 1 2 , ,..., n ) ( x x x 1 2 , ,.., n ) i i ( 1 2 ) F x( ) f x( ) , ,..., n f x( ) F x( ) n , , , 1 2 n , , , 1 2
1.2统计量 定义：设552,5n为总体5的一个样本，T(xx)为一个 实值函数，如果T中不包含任何未知参数，则称 T5,5,5)为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。 例如：总体5~N(a,o)a已知，o2未知，i,52,,5n为5的一个 样本，则（怎。是统计量，但号会，不是统计量。 1.3顺序统计量及经验分布 1.3.1顺序统计量 设5为总体55)的一个样本，将其诸分量5，=1， 2,…,n,按由小到大的次序重新排列为(55a,5), 即5≤52，≤…≤5m,称k=l,2,,n为总体的第k个顺序统 计量（次序统计量），特别50称为最小项统计量，5为 最大项统计量
1.2统计量 定义：设 为总体 的一个样本， 为一个 实值函数，如果T中 不包含任何未知参数，则称 为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。 例如：总体 ，a已知， 未知， 为 的一个 样本，则 是统计量，但 不是统计量。 1.3顺序统计量及经验分布 1.3.1顺序统计量 设 为总体， 的一个样本，将其诸分量 ，i=1， 2，…，n，按由小到大的次序重新排列为 ， 即 ，称 为总体的第k个顺序统 计量（次序统计量），特别 称为最小项统计量， 为 最大项统计量。 1 2 , ,..., n T x x x ( 1 2 , ,.., n ) 1 2 ( , ,..., ) T n ( ) 2 ~ , N a 2 1 2 , ,..., n ( ) 2 1 n i i a = − 1 1 n i i = i (1) (2) ( ) ( , ,..., ) n ( ) , 1,2,..., k k n = (1) ( ) n ( 1 2 , ,..., n ) (1) (2) ( ) ... n
☒无法显示该图片。 例1.5：设有一个总体，它以等概率取0,1)2三个 值，现从此总体中取容量为2的一个样本x,X), 列出样本(X,X)所有可能取值情况和相应的次序 统计量(Xw,X2)的情况
例1.5：设有一个总体，它以等概率取0，1，2三个 值，现从此总体中取容量为2的一个样本 ， 列出样本 所有可能取值情况和相应的次序 统计量 的情况。 ( X X1 2 , ) ( X X1 2 , ) ( , ) X(1) X(2)
1.3.2经验分布 由给定的样本（⑤，5，，5n)定义一个函数， ☒无法显示该图片 0, x5 k F(x)= 5k≤x<5k+.(k=1,2,,n1) n 1 x≥ 5m 此函数的性质： (1)当样本固定时，作为x的函数是一个阶梯形的分布函数，F,(x恰为 样本分量不大于x的频率。 (2)当x固定时，它是一个统计量，其分布由总体的分布所确定。 即 nFm(51,52,,5n)~b(n,F(x)二项分布) 称F,(x)为总体对应于样本(5,5,5n) 的经验分布函数
1.3.2经验分布 由给定的样本 定义一个函数， 此函数的性质： （1）当样本固定时，作为x的函数是一个阶梯形的分布函数， 恰为 样本分量不大于x的频率。 （2）当x固定时，它是一个统计量，其分布由总体的分布所确定。 • 即 （二项分布） 称 为总体对应于样本 的经验分布函数。 = − = + ( ) ( ) ( 1), (1) 1, , ( 1,2,..., 1) 0, ( ) n n k k x x k n n k x F x 1 2 ( , ,..., ) n ( ) ( ( )) * 1 2 , ,..., ~ , n n nF b n F x 1 2 ( , ,..., ) n F (x) n F (x) n
1.4常用的一些统计量 1.4.1样本的分位数 设5~F(x)为总体，点5) 为样本，(552,5m,)为顺序 统计量，定义 Fa+0-4+aa+- 称（为样本的2分位数。当乳=1/2时，称5(1/2为样本的 中位数。（也用m表示) 例1.6：若(51,52,57)=(1.5,2.0,4.0,0,8,3.5,9) 则 (5),52),57)=? 1.4.2.样本的极差 Dn=5a-50 称为样本的极差
1.4常用的一些统计量 1.4.1样本的分位数 设 ~ 为总体， 为样本， 为顺序 统计量，定义 称 为样本的 分位数。当 =1/2时，称 为样本的 中位数。（也用 表示） 例1.6：若 （1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9）， 则 ？ 1.4.2.样本的极差 称为样本的极差 F x ( ) 1 2 ( , ,..., ) n (1) (2) ( ) ( , ,..., ) n ( ) ( ( ( ) )) ( ) ( ( ) ) ( ) * 1 1 1 1 1 , 1 n n n n n n n n n + = − + − + + − + ( ) * ( ) * 1/ 2 me ( 1 , 2 ,..., 7 ) = ( (1) , (2) ,..., (7) ) = Dn (n) (1) = −