第三册目录 第7章单复变函数…过 1.引言…1 公.复函数论的开始山 3。复数的几何表示4 4.复函数论的基础8 5.Weierstrass探讨函数论的途径…21 6.椭圆函数…23 7.超椭圆积分与Ab阳l定理…32 8.Riemann与多值函数36 9.Abel积分与Abel函数45 10。保形映射……48 11.函数的表示与例外值…50 第8章十九世纪的偏微分方程： …54 1.引言 …54 2.热方程与Fourier级数…54 3.封闭解；Fourier积分 …63 4,位势方程和Green定理 …65 5.曲线坐标… …72 6.波动方程和退化波动方程…75 7,偏微分方程组… …83 8.存在性定理… 86 第9章十九世纪的常微分方程…97 1.3引言97 2。级数解和特殊函数…97 3.Sturm-Li0 aville理论…104 4,存在定理…106 5.奇点理论…111
目 录 6.自守函数 116 7.H1在线性方程周期解方面的工作 …121 8,非线性微分方程：定性理论… 124 第30章十九世纪的变分法… …132 1.引言… .132 2.数学物理和变分法 … 132 3.变分法本身的数学扩充… …138 4.变分法中的有关问题 …小41 第31章Galois理论… 1.引言… …16 2.二项方程… 3.Abel关于用根式解方程的工作 149 4.Galois的可解性理论… …150 5.几何作图问题… …159 6.置换群理论… …161 第3祝章四元数，向量和线性结合代数…169 1.关于型的永恒性的代数基础…169 2.三维“复数”的寻找…174 3.四元数的性质178 4.Grassmann的扩张的演算…l81 5.从四元数到向量…184 6.线性结合代数……192 第33章行列式和矩阵…197 1.引官…小07 公.行列式的一些新应用…108 3.行列式和二次型…201 4.矩阵…207 第4章十九世纪的数论 218 1.引言… …218 2。同余理论… 219 3.代数数… 224 4.Dedekind的速想 …229 5.型的理论… ,4…234
6。解析数论…4……237 第5章射影几何学的复兴…243 1.对几何学的兴趣的恢复 …243 2.综合的Clid几何学…246 3.综合的射影几何学的复兴…250 4.代数的射影几何学264 5.高次平面曲线和高次曲面…268 第6章非Euclid几何…275 1.引言…275 2.1800年左右Euelid几何的情况…275 3。平行公理的研究277 4.非clid几何的先兆…283 5.非Euclid几何的诞生…285 6.非Euclid几何的技术性内容…291 7.Lobatchevsky与Bolyai发明先后的争议…295 8.非Cuclid几何的重要意义…297 第37章Gan5s和Ri0mann的微分几何…301 1、引言301 2.Gaus的微分几何301 3.Riemann研究儿何的途径309 4.Riemann的继承者318 5.微分形式的不变量322 第8章射影几何与度量几何327 1.引言…327 2.作为非Euclid几何模型的曲面327 3.射影几何与度量几何329 4.模型与相容性问题…337 5.从变换观点来看待几何…340 6.非Enclid几何的现实345 第3章代数几何 .349 1,背景… …349 2。代数不变量理论… .350 3.双有理变换概念…… .358
iv 令 4.代数几何的函数-理论法 …360 5.单值化问题… 365 6.代数-几何方法… …366 7.算术方法… …370 8.曲面的代数几何… …371
其他各册简目 第一册 1.美索波达来亚的数学 」？.希腊人对自然形成理性观点的过程 2.埃及的数学 8.希腊世界的表替 3.古典希腊数学的产生 9.印度和阿拉伯的数学 4.Euclid和Apollonius 10.欧洲中世纪时期 5.希亚历山大里亚时期：几何与三 11.文艺复兴 角 12.文艺复兴时期数学的贡献 6.亚历山大里亚时期：算术和代数的 13.十六、十七世纪的算术和代数 复兴 14,射影几何的肇始 第 二 册 15.坐标几何 121,十八世纪的常撮分方柱 16.科学的数学化 22.十八世纪的偏微分方粒 17.微积分的创主 23.十入世纪的解析几何和横分几何 18.十七世纪的数学 24.十八世纪的变分法 19,十八世纪的撒积分 25.十入世纪的代数 20,无穷级数 26.十八世纪的数学 第四册 40,分析中注入严窖性 46.泛函分析 41.实靴和超限数的基础 47.发散级数 42.几何基础 48.张量分析和微分几何 43.十九世纪的数学 49.抽象代数的出现 44.实变函数论 50.灯扑的始 45。积分方程 51.数学基础
27 单复变函数 实城中两个真理之间的最短路程是通过复城， Jacques Hadamard 1.引宫 从技术观点来看，十九世纪最独特的创造是单复变函数的理 论.这个科目时常被称为函数论，虽然这个简称隐含有更多的意 思.这个新的数学分支统治了十九世纪，几乎象微积分的直接扩 展统治了十八世纪那样.函数论，这一最丰饶的数学分支，曾被称 为这个世纪的数学享受。它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐的理 论之一. 2。复函数论的开始 我们已经看到，复数尤其是复函数是由于与部分分式积分法， 确定负数与复数的对数，保形映射，以及实系数多项式的分解等相 联系而实际进入数学的.实际上十八世纪的人们在复数及复函数 方面所做的工作远不止此.D'Alembert在他的流体力学论文关 于流体阻力的一个新理论试论》（Es8a则on a New Theory of the Resistamce of Flid8,172)中，考虑了一个物体经过各向同性的、 无重量理想流体的运动，联系这一研究，还考虑了下面的问题.他 想确定出两个函数p及g,它们的微分是 dq-Mdx+Ndy,dp-Nda-Mdy
in 2 第27章单签变函数 由于量V及M在dp和dg中都出现，故立即推知 (2) 这些方程现在称为Cauchy-Riemann方程.方程(2)是说（第19 章第6节)gdc+pdg和pdc一gdy是某些函数的恰当微分.于是 表达式（我们将用i表示√一工，虽然Dler只是偶尔这样用，到 Gauss才成为普遍的用法.) g+g+(c-ga）-g+p）(a+g） gc+pg-i(mis-9）-(g-p)(c-g） 也是完全微分，从而9+p是+y/的函数，q-p是c一y/i的 函数.D'A1 embert设 (3) g+即=（如+）+就(c+) (④) g-p=(e-)-议（如-）， 其中专和？是有待于确定的函数，在特殊的情形下，d'Alembert曾 把它们确定出来.将(3)及(4)相加并相减，他得出p和q.这一 点的意义是，他表明了p和q是一个复函数的实部及虚部. uler指出了如何利用复函数去计算实积分的值.从1776年 起到1783年逝世时止，他写了一系列论文，这些论文从1788年起 开始发表.其中有两篇是在1793年和1797年发表的.·Dler 指出：名的任一函数，若对=如+侧具有形式M+W,其中M、 N为实函数，那么它对于名=-y,就具有形式M-N.他说， 这是复数的基本定理.他利用这个断言去求实积分的值， 假定 (1)Voa4cta4cad.8ci.Petrop.,7,1789,99~133,1pub.1793=0pera,(1),19, 144;功a,10,1792,3~19,mb.1797=0pera,(1),19,268~286
2.复函数论的开始 3业 (5) Z(②)de=V, 其中名是实的.他令名=心+y,从而V变为P+视.于是 (6) P+视-(M+N(dac+id）, 其中M+N现在是Z(2)的复形式.根据他的基本断言， (7) P.-视-(M-iN)(dc-id）, 所以将实部及虚部分开，就有 (8) P-Mdz-Ndy,Q=Nda+Mdy. 于是，Mdm一Vdy与Wdc+Mdy分别是P与Q的恰当微分，随 之有 (9) 兴-器器 这样在Z(②)中代入名=c+y,“就得到两个函数M和N,它们具 有值得注意的性质：aM/ay=-aN/e,aM/ac=aN/gP与Q 也有类似的性质”.这里Euler强调了一个复函数的实部和虚部 即M和N,满足Cauchy-Riemann方程.但是，他的主要点是利 用积分(8)去计算（⑤），因为P等于原来的V.为将(8)中的积分化 为一元函数的积分，Euler在（⑤）中把=心+y换为z=r(cos9+ Bsi8),并保持B不变.事实上这就是沿着复平面上过原点的一 条射线积分.然后他用他的方法去求一些积分的值. Laplace也使用了复函数去求积分的值.在从1782年起到他 的名著《概率的分析理论》(Theorie analytique des probabilites, 1812)为止的一系列论文中，他象ler那样，把实积分转换为复 积分来计算实积分的值.Laplace要求优先权，因为uler的论文 发表得比他晚.不过，即使是上面提到的1793年和1797年的论 文，就已在1777年三月在彼得堡科学院宣读过.在这一工作中 Laplace附带地引进了我们现在称之为解微分方程的Laplace变
in 4 第的章单复变菌数 换方法 Euler,d'Alembert和Laplace的工作构成了函数论的重要 进展.不过，在他们的工作中有一个本质的局限性，他们依靠把 f(十)的实部和虚部分开来进行他们的分析工作.复函数实际 上不是基本的实体，显然，这些人对于使用复函数还感觉到很不 自然.Laplace在他l812年的书中指出：“这个由实到虚的过渡可 以看作是一个启发式的方法，它象长期以来数学家所用的归纳法。 但是，如果十分谨慎地有约束地使用这个方法，那末所得到的结果 总是可以证明的.”他的确强调，结果都必须验证 3。复数的几何表示 使单复变函数理论的建立更为直觉合理的一个重要步骤是复 数及其代数运算的几何表示.许多人一Cotes,De Moivre,.Euler, 以及Vandermonde-一确实曾把复数看作是平面上的点，这可以 由下述事实来说明：·当他们解方程-1-0的时候，他们都把这 些解 cos 2h短+8in2k远 0 看作是一个正多边形的顶点.例如，Eler把w和y几何地幕 想为坐标平面上的点，用心十@ 代替心和y,然后将x+表为 r(cos9+i血)，再将r和9作 为极坐标画出来。因此可以说复 数作为平面上点的坐标的表示法 1 在1800年就已经知道了.不过， 图27.1 没有作出二者的决定性的同一 化，也没有给出复数的代数运算的任何几何意义.还缺少把c十侧
3,复数的几何表示 5 III 的复函数u+心的值用另一个平面的点来表示的想法. 1797年，挪威出生的自学的测量员Caspar Wessel(1745~ 1818)写了一篇论文，题目是“关于方向的分析表示；一个尝试”，这 篇论文刊载在丹麦皇家科学院1799年的论文集中.Wessel企图几 何地表示出有向线段（向量）以及它们的运算.在这篇论文中，除 寻常的具有实单位1的心轴外，他同时引进了一根虚轴，以W√一1 (他把√一1写为e)作为单位.在Wessel的几何表示法中，向量 0P(图27.1)是在具有单位+1及√一1的平面上从原点0画出 线段OP,这向量用复数a+b√一1表示.类似地，向量OQ是线 段OQ,且是用另一数c+dN-1表示. 然后Wess®l利用以几何术语定义的复数运算来定义向量的 运算.他给出的四种运算的定义实际上就是我们今天所学习的 例如a+bi与c+di的和是相邻两边OP与OQ所决定的平行四 边形的对角线.a+bi与c+d的积是一个新的向量OR,使得 OR与OQ的比等于OP与实单位之比，而OR与c轴的夹角是 OP及OQ与x轴的夹角之和.显然，与其说Wessel将复数与平 面上的点相联系，还不如说他想的是将平面上的点用向量表示。 他把他的向量几何表示法用于几何问题与三角问题.Wes9el的 论文尽管有巨大的价值，但一直未被注意，直到1897年译成法文 重新发表，才被人们重视 瑞士人Jean-Robert Argand(1768~1822)给出了复数的 0 图27.2 图27.3