第三章多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
§31二维随机变量及其分布 一、二维随机变量的联合分布函数 二维随机变量(X,Y) 一维随机变量X X和的联合分布函数 X的分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) -0<X,Jy<0 F(x)=P(X≤x) -00<X<00
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数 F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞ Fx P X x () ( ) = ≤ −∞ < < ∞ x X的分布函数 一维随机变量X 一、二维随机变量的联合分布函数 §3.1 二维随机变量及其分布
分布函数的几何意义 如果用平面上的点（化，y)表示二维 (X,Y)的一组可能的取值，则F(化，y)表示 (X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率. (K,y) X (-00,-00)
分布函数的几何意义 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率. (x, y) x y (,) −∞ −∞
F化，y)的性质 (1)关于x或y单调不减 (2)0≤F(x,y)≤1 (3)F(-0,y)=0,F(x,-oo)=0 F(-o0,-o0)=0,F(+0,+0)=1 (4)分别关于x或y右连续 (5)对x<x2,<y2,有 F(x2,y2)-F(x,y2)+F(x,y)-F(x2,y1)≥0 (区域演示图见下页)
F (x, y)的性质 （1）关于x或y单调不减 （4）分别关于x 或y右连续 （2）0 (, ) 1 ≤ ≤ Fxy （3） ( , ) 0, ( , ) 0 ( , ) 0, ( , ) 1 F y Fx F F −∞ = −∞ = −∞ −∞ = +∞ +∞ = （5）对 ∀< < x xy y 1 21 2 , ,有 2 2 12 11 21 Fx y Fx y Fx y Fx y (, ) (, ) (, ) (, ) 0 −+− ≥ (区域演示图见下页)
(5) F(x2,y2)-F(x1,y2)+F(x,y)-F(x2,y) =P(x1<Y≤x2,y1<Y≤y2)≥0 (X1y2) (X2y2) ■■■■■■■ (1y1)(X2y1） ■■■■1 ■■■■ ■■■■■■■ ■■■■■ X X2
X Y x1 y1 (x1,y1) x2 y2 (x2,y2 (x ) 1,y2) (x2,y1) 2 2 12 11 21 (5) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) Fx y Fx y Fx y Fx y −+− = P(x1 < X ≤ x2 , y1 < Y ≤ y2 ) ≥ 0
注：满足上述性质的函数可作为二维随机变量的分布函数 例 设 F(x,y)= 0,x+y<1 1,x+y≥1 讨论F(x,y)能否成为二维随机变量的分布 函数？ 解 (0,2) (2,2) F(2,2)-F(0,2) -F(2,0)+F(0,0) =1-1-1+0 (0,0 =-1 故F(X,y不能作为二维随机变量的分布函数
例 0, 1 (,) 1, 1 x y Fxy x y + < = + ≥ 设 讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布 函数？ 解 x y • • • • (0,0) (2,0) (0,2) (2,2) (2,2) (0,2) (2,0) (0,0) F F F F − − + 1110 1 =−−+ = − 故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数 注： 满足上述性质的函数可作为二维随机变量的分布函数
二维随机变量的边缘分布函数 由联合分布函数→边缘分布函数，逆不真 Fx(x)=P(X≤x) =P(X≤x,Y<+0) =F(x,十0) X F(y)=P(Y≤y) =PX<+0,Y≤y)月 =F(+0,y)
二维随机变量的边缘分布函数 F x P(X x) X ( ) = ≤ = P(X ≤ x,Y < +∞) = F(x,+∞) F y P(Y y) Y ( ) = ≤ = P(X < +∞,Y ≤ y) = F(+∞, y) x y x x y y 由联合分布函数 边缘分布函数, 逆不真
例设随机变量(X,Y)的联合分布函数为 Fcy-=48-a2c1n》 -002)
例 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为 − ∞ 2)
解DF+0+∞)=AB+ =1 F-,o)=AB-2 F民-w-8tC π B-2c 2A (2) Fx(x)=F(x,+∞) 11 X +-arctan -0<X<+0. 2 元 2
解 (1) 1 2 2 ( , ) = + +∞ +∞ = + π π F A B C 0 2 2 ( , ) = + −∞ +∞ = − π π F A B C 0 2 2 ( , ) = − +∞ −∞ = + π π F A B C 2 1 , 2 , 2 π π π B = C = A = (2) F (x) = F(x,+∞) X , . 2 arctan 1 2 1 = + − ∞ < x < +∞ x π
F,(y)=F(+o0,y) 11 。+-arctan -02)=1-P(X≤2) -+女awa -2 =1/4. 可以将二维以及其边缘分布函数的 概念推广到n维：y及其联合分布函 数与边缘分布函数
F ( y) F( , y) Y = +∞ , . 2 arctan 1 2 1 = + − ∞ 2) =1− P(X ≤ 2) = − + 2 2 arctan 1 2 1 1 π =1/ 4. 可以将二维 r.v.及其边缘分布函数的 概念推广到 n 维 r.v.及其联合分布函 数与边缘分布函数