第五章特征问题与二次型 51基本内容 51.1特征值与特征向量的定义 设A是一个n阶的方阵，若对数入，存在非零n维向量x,使A=入x成立，则称入是 A的特征值，x是A的属于入的特征向量。 注1特征值问题是对于方阵而言的。 注2特征向量必须是非零向量。 5.12特征值与特征向量的求法 ()若A仁(a,)n为具体矩阵（即a,具体给出）求解步骤为： 第一步：求出方程A一川=0的所有根入，入2，入，即为A的全部特征值。 第二步：对每个不同的入，，解其次方程组(4一入)x0,求出一个基础解系： a,a,,a,即为A的属于元，的线形无关特征向量，而 (a4+,0,+…+1a(其中任意常数41,424气不全为零)则为A的属于入，的全部 特征向量。 注1f(2)=A-川称为A的特征多项式，其为入的n次多项式 f(2)=A一入I=0称为A的特征方程，其在复数域内必有n个根（包括重根）， 所以n阶方阵总共有n个特征值，特征值入的重数称为入的代数重数，记做m, 注2方程组(A-I)x=0的解空间N(A-D称为A的属于元的特征子空间，而把 dimN(A-2)=n-r(A-2I)成为入的几何重数，记作pa· (2)若A为抽象矩阵（即没有给出A的具体元素α，），只有A满足的某些条件，则可 由定义Ax=x来分析求解。 5.1.3特征值与特征向量的性质 ()属于同一特征值入的特征向量的任意非零组合仍是属于入特征向量。 (2)若a1,a2是A的分别属于特征值入1，入2的特征向量，入≠入2，则a,+a2不是A 的征向量。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
第五章 特征问题与二次型 5.1 基本内容 5.1.1 特征值与特征向量的定义 设 A 是一个 n 阶的方阵，若对数l ，存在非零 n 维向量 x，使 Ax=l x 成立，则称l 是 A 的特征值，x 是 A 的属于l 的特征向量。 注 1 特征值问题是对于方阵而言的。 注 2 特征向量必须是非零向量。 5.1.2 特征值与特征向量的求法 (1) 若 A= aij n´n ( ) 为具体矩阵(即 aij 具体给出)求解步骤为： 第一步：求出方程 A - lI = 0 的所有根l l ln , , 1 2L ，即为 A 的全部特征值。 第二步：对每个不同的 li ，解其次方程组(A I) - li x=0，求出一个基础解系： , , , , 1 2 i k ai ai L ai 即 为 A 的 属 于 li 的 线 形 无 关 特 征 向 量 ， 而 i i k i i k i t a + t a +L+ t a 1 1 2 2 (其中任意常数 i k t t Lt 1 2 , 不全为零)则为 A 的属于 li 的全部 特征向量。 注 1 f (l) = A - lI 称为 A 的特征多项式，其为l 的 n 次多项式。 f (l) = A - lI = 0 称为 A 的特征方程，其在复数域内必有 n 个根（包括重根）， 所以 n 阶方阵总共有 n 个特征值，特征值l 的重数称为l 的代数重数，记做 ml 。 注 2 方程组(A - lI)x = 0 的解空间N(A - lI) 称为 A 的属于l 的特征子空间，而把 dimN(A - lI) = n - r(A - lI) 成为l 的几何重数，记作 rl 。 (2) 若 A 为抽象矩阵（即没有给出 A 的具体元素aij ），只有 A 满足的某些条件，则可 由定义 Ax = lx来分析求解。 5.1.3 特征值与特征向量的性质 (1) 属于同一特征值l 的特征向量的任意非零组合仍是属于l 特征向量。 (2) 若a1 a2 , 是 A 的分别属于特征值 1 2 l ,l 的特征向量，l1 ¹ l2 ，则a1 +a2 不是 A 的征向量。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(3)属于不同特征值的特征向量必线形无关。 (④)设n阶方阵A的n特征值为入，2，…，入n,则 2-2a.=m 5 72=A (62 注由(5.2)式可知，A可逆一A没有零特征值 (⑤)特征值入的几何重数P,与代数重数m,满足 (5.3) (⑥)设入为方阵A的特征值，x是对应的特征向量，k常数，m为正整数，则 ，”，+kA及a=a,+a=++a+a.分别为矩阵 入入 A",A+L,A,A及fA)的特征值，而x为对应的特征向量。 注若入，4分别是A,B的特征值，则入+4未必是A什B的特征值，！也未必是AB 的特征值。 (⑦)A与A「有相同的特征值，但特征向量未必相同。 (8)正交阵A的特征值只能是士1。 51.4相似矩阵的概念 定义：设A、B都是n阶方阵，若存在n可逆P,使PAP=B,则称A相似与B。 基本性质： 自反性：A与A相似： 对称性：A相似与B,则B也相似与A: 传递性：A相似与B,B相似与C,则A相似与C。 注若A与对角阵相似，则称A可对角化。 5.1.5相似矩阵的性质 若P-AP=B,即A相似与B,则 ()A=B. PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
(3) 属于不同特征值的特征向量必线形无关。 (4) 设 n 阶方阵 A 的 n 特征值为l l ln , , , 1 2 L ，则 ( ) 1 1 tr A n i ii n i å i = å = = = l a (5.1) Õ = A = n i i 1 l (5.2) 注 由(5.2)式可知，A 可逆Û A 没有零特征值。 (5) 特征值l 的几何重数 rl 与代数重数 ml 满足 £ rl £ ml 1 (5.3) (6) 设 l 为方阵 A 的特征值，x 是对应的特征向量，k 常数，m 为正整数，则 l l l l l A , 1 k , , k, m + 及 m m m m f = a + a + + a + a - - l l l 1l 1 0 1 ( ) L 分 别 为矩阵 kA ， * A , A I, A ,A -1 + k m 及 f (A) 的特征值，而 x 为对应的特征向量。 注 若l, m 分别是 A，B 的特征值，则l + m 未必是 A+B 的特征值，lm 也未必是 AB 的特征值。 (7) A 与 T A 有相同的特征值，但特征向量未必相同。 (8) 正交阵 A 的特征值只能是 ±1。 5.1.4 相似矩阵的概念 定义：设 A、B 都是 n 阶方阵，若存在 n 可逆 P，使 P AP = B -1 ，则称 A 相似与 B。 基本性质： 自反性：A 与 A 相似； 对称性：A 相似与 B，则 B 也相似与 A； 传递性：A 相似与 B，B 相似与 C，则 A 相似与 C。 注 若 A 与对角阵相似，则称 A 可对角化。 5.1.5 相似矩阵的性质 若 P AP = B -1 ，即 A 相似与 B，则 (1) A = B 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(2)AT与B,M与B,AT与B"也相似（其中k为常数，m为正整数） (3)当A可逆时，A1与B,，A与B也相似。 (④A-川=B-,从而A与B有相同的特征值。 (5)tr(A)=r(B). (6)(A)=r(B). 5.1.6n阶矩阵A可对角化的条件 ()A可对角化的充要条件是A有n个线形无关的特征向量 (2)若A有n个互不相等的特征值，则A可对角化。 注这是充分而非必要条件 (3)A可对角化的条件是对A的任一特征值，有 m=Pi 5.1.7将A对角化的方法 ()求出A的所有的特征值入，入2，，入。，其中互不相等的特征值为 4,2…,元r≤n) (2)若A可对角化，则k重特征值入必对应k个线形无关的特征向量，求出每一个齐次 方程组(A一入，x)=0(1,2,…)的基础解系，合并后必可得到A的n个线形无关的特征向 量a1,a2,…,a。 「2 (3)令P=[a1,a2…,a.」A= ,则P可逆，且有 P-AP=A或A=PAP (5.4) 注P的每一列4，的排列序应与人A中对应的入的排序相同。 5.1.8实对称矩阵的正交对角化 设A为实对称矩阵，则有 ()A的特征值都是实数： PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.n
(2) T A 与 T B ，kA 与 kB， T A 与 m B 也相似(其中 k 为常数，m 为正整数)。 (3) 当 A 可逆时， 1 A - 与 1 B - ， * A 与 * B 也相似。 (4) A - lI = B - lI ，从而 A 与 B 有相同的特征值。 (5) tr(A) = tr(B)。 (6) r(A) = r(B)。 5.1.6 n 阶矩阵 A 可对角化的条件 (1) A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线形无关的特征向量 (2) 若 A 有 n 个互不相等的特征值，则 A 可对角化。 注 这是充分而非必要条件。 (3) A 可对角化的条件是对 A 的任一特征值，有 ml = rl 5.1.7 将 A 对角化的方法 (1) 求 出 A 的 所 有 的 特 征 值 l l ln , , , 1 2 L ，其中 互 不 相 等 的 特 征 值 为 r li li li , , , 1 2 L (r £ n ). (2) 若 A 可对角化，则 k 重特征值l 必对应 k 个线形无关的特征向量，求出每一个齐次 方程组(A - x) = 0 k r l (k=1,2,…,r)的基础解系，合并后必可得到 A 的 n 个线形无关的特征向 量a1 a2 an , ,L, 。 (3) 令 P=[ ] a1 a2 an , ,L, ， ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é L = l n l l O 2 1 ，则 P 可逆，且有 = L - P AP 1 或 1 A P P - = L (5.4) 注 P 的每一列ai 的排列序应与 L 中对应的li 的排序相同。 5.1.8 实对称矩阵的正交对角化 设 A 为实对称矩阵，则有 (1) A 的特征值都是实数； PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(2)A的不同特征值对应的特征向量正交： (3)A可正交对角化，既存在正交阵Q使QAQ=Q'AQ=N。其中 A=dig(入1，元2…，入n),入1，乙2，，元n是A的特征值。 注正交阵Q的求法： 对A的k(k1)重特征根入，将求出的(A-Ix=0的基础解系正交化，这样合并后 得到的n个特征向量a1,a2,,a.不仅仅线形无关，而且相互正交再将每一个a,单位化，则 可得到标准正交特征向量组1,2，…，nn,令Q=1,n2…,nn]则Q为正交矩阵，且满足 Q'AQ=N。 5.1.9二次型及其矩阵形式 ()定义n变量的二次齐次函数 f(,2,,xn）=a1x+2021x2+2a1gx3++2anxx。 +a2nx+2a23x2x3+…+2a2nx2xn +annx -∑a,,其中a,=a,a,e. 称为n个变量x,x2,,x的二次型。 注若a,=0(i≠j,ij=1,2,,n)则称f为标准型 (2)矩阵形式 f(x)=xAx 其中X=k,2,,xn,A=(a,）n,这里a,=a,即A为实对称矩阵。 注1实对阵矩阵A成为二次型∫的矩阵，而A的秩称为该二次型的秩。 注2二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实 对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注3标准型的矩阵是对角阵。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
(2) A 的不同特征值对应的特征向量正交； (3) A 可正交 对 角 化 ， 既 存 在 正 交 阵 Q 使 = = L - Q Q Q AQ 1 T A 。其中 L = diag ( , , ) l1 l2 L ln ，l l ln , , , 1 2 L 是 A 的特征值。 注 正交阵 Q 的求法： 对 A 的 k（k>1）重特征根l ，将求出的(A - lI)x = 0 的基础解系正交化,这样合并后 得到的 n 个特征向量a1 a2 an , ,L, 不仅仅线形无关,而且相互正交,再将每一个ai 单位化,则 可得到标准正交特征向量组h h hn , ,L, 1 2 ,令 Q= [ ] h h hn , L, 1 2 ,则 Q 为正交矩阵,且满足 Q Q = L T A 。 5.1.9 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数 n n n f x x x x x x x x x x 12 1 2 13 1 3 1 1 2 1 2 11 1 ( , ,L, ) = a + 2a + 2a +L+ 2a 2 22 2 +a x n n x x x x 23 2 3 2 2 + 2a +L+ 2a +L 2 nn n +a x i j n i n j ij åå x x = = = 1 1 a (其中aij = a jiaij ÎR)， 称为 n 个变量 n x , x , , x 1 2 L 的二次型。 注 若aij = 0 （i ¹ j,i, j = 1,2,L, n ）则称 f 为标准型。 (2) 矩阵形式 x x Ax T f ( ) = 其中 [ ] ij n n T = x x xn A = ´ , , , , ( ) x 1 2 L a ，这里aij = a ji ，即 A 为实对称矩阵。 注 1 实对阵矩阵 A 成为二次型 f 的矩阵，而 A 的秩称为该二次型的秩。 注 2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实 对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注 3 标准型的矩阵是对角阵。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
5.1.10与二次型的标准型有关的概念 ()满秩线形变换 设1=[x,x2,…,x,y=[以，2…，y,P=(p)m可逆，则称=乃为由 名，，…，X到，少2，…，八，的满秩线形变换。 注若P为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2)合同矩阵 设A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C,使 CTAC=B 则A合同与B,C为合同变换阵。 注1若C为正交阵，满足CTAC=B,A与B既合同，又相似。 注2合同矩阵秩相等。 注3合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3)对任一个二次型∫=x'Ax,总可以通过满秩线形变换x=Py化为 f=y'PTAy=diyi+day+..+dy 成为∫的标准型。其中r=,即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注1f的标准型矩阵D=PTAP与f的矩阵A合同。 注2将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。 注3当d=…=dp=l,dp=…=d,=-1时的标准型成为f的规范型.。其形式为 ++…+y后一y-一，二次型的规范形是唯一的。 (4)惯性律 对一个二次型∫=x'Ax,无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方 项前正系数个数p和负系数个数p都是唯一确定的，称P为二次型的正惯性指数，p为 负惯性指数（其中r为A的秩），而P(rp)称为符号差。 注两个n个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 5.1.11化二次型为标准型的方法 山配方法 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
5.1.10 与二次型的标准型有关的概念 (1) 满秩线形变换 设 [ ] [ ] ij n n T n T = x x xn = y y y = p ´ , , , , , , , , ( ) x 1 2 L y 1 2 L P 可 逆 ， 则 称 x=Py 为 由 n x , x , , x 1 2 L 到 n y , y , , y 1 2 L 的满秩线形变换。 注 若 P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2) 合同矩阵 设 A，B 为 n 阶方阵，若存在 n 阶可逆阵 C，使 C AC B T = 则 A 合同与 B，C 为合同变换阵。 注 1 若 C 为正交阵，满足C AC B T = ，A 与 B 既合同，又相似。 注 2 合同矩阵秩相等。 注 3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3) 对任一个二次型 x Ax T f = ，总可以通过满秩线形变换 x=Py 化为 2 2 2 2 2 1 1 r r f = y P Ay = d y + d y +L+ d y T T 成为 f 的标准型。其中 r=r(A)，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注 1 f 的标准型矩阵 D= P AP T 与 f 的矩阵 A 合同。 注 2 将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。 注 3 当d1 = L = d p = 1, d p+1 = L = dr = -1时的标准型成为 f 的规范型。其形式为 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r y + y + + y - y - - y L + L ，二次型的规范形是唯一的。 (4) 惯性律 对一个二次型 x Ax T f = ，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方 项前正系数个数 p 和负系数个数 r-p 都是唯一确定的，称 p 为二次型的正惯性指数，r-p 为 负惯性指数（其中 r 为 A 的秩），而 p-（r-p）称为符号差。 注 两个 n 个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 5.1.11 化二次型为标准型的方法 (1) 配方法 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
对二次型 )-2a+2a 从左边先找出一个系数不为零的平方项x,把所有包含x,的项集中在一起，配成完全平方 的形式：接着寻找下一个系数不为零的平方项x,同样把所有包含x,的项集中到一起，配 成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。 注若二次型，但α，≠00≠)，则可先做满秩变换 x.=y +V x,=月-y, x4=x(k≠i,j,k=1,2,,n) 化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。 (②)正交变换法 对二次型∫=x'Ax,由于A是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交 阵Q,使 Q'AQ=A=diag(i,2,…,入n) 所以由正交变换x=Q,可得 f=x'Ax=yTAy=1+22y好++元ny 注用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A的特征值，但若用其他满秩变换化 为标准型，则平方项前系数A的特征值无关。 5.1.12正定二次形和正定矩阵的概念 对于任意n雏非零向量x,若恒有∫=xTAx>0,则称f为正定二次型，f的矩阵A称 为正定矩阵，记作A0。 注1正定矩阵必是对称阵 注2若对任意xeR",有f=xTAx≥0，且存在x。≠0，使∫=xAx=0,则称f 或A为半正定，记作A20,类似地可以定义∫或A为负定或半负定。 5.3.13正定矩阵的判别方法 设A为n阶实对称阵。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
对二次型 i j i j n i ij n i n ii f x x x å x å x x = £ ，则称 f 为正定二次型，f 的矩阵 A 称 为正定矩阵，记作 A>0。 注 1 正定矩阵必是对称阵 注 2 若对任意 n xÎ R ，有 x Ax 0 T f = ³ ，且存在x 0 0 ¹ ，使 0 = x0 Ax = T f ，则称 f 或 A 为半正定，记作 A³ 0，类似地可以定义 f 或 A 为负定或半负定。 5.3.13 正定矩阵的判别方法 设 A 为 n 阶实对称阵。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(1)若A的正惯性指数等于m,则A正定。 (2)若A的特征值全是正的，则A正定。 (3)若A的各阶前主子式均大于零，则A正定。 (4若A合同于单位阵，即A=CC(C为可逆阵)，则A正定。 (⑤)用正定的定义，即≠0，x∈R",∫=xTAx>0,则A正定 注1上述各条均为实对称阵A正定的充要条件，最常用的方法是(2)，()，（⑤）。 注2n阶矩阵A=(a,)的k阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 a1a2…ak D.=detA.d …a2 k=1,2,…m） 共有n个。 注3对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若(-)*D>0(k=1,2,…,m),则A负定。 5.1.14正定矩阵的有关结论 ()4正定，则a>0,0=1,2,…,川 注这是正定的一个必要条件，常用来判定A不是正定的，但不能用来判断A正定。 (2)A正定，则AT,A,A,Am(m为正整数)均为正定矩阵。 (3)A,B为n阶的正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。 5.2典型例题分析 1)特征值于特征向量的计算 122 例1求仁212的全部特征值和对应的特征向量 221 1-22122 8A-刘2-226-1-3 221- 12 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn
(1) 若 A 的正惯性指数等于 n，则 A 正定。 (2) 若 A 的特征值全是正的，则 A 正定。 (3) 若 A 的各阶前主子式均大于零，则 A 正定。 (4) 若 A 合同于单位阵，即 A C C T = （C 为可逆阵），则 A 正定。 (5) 用正定的定义，即 x 0 x R x Ax 0 n T " ¹ , Î , f = > ，则 A 正定。 注 1 上述各条均为实对称阵 A 正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，(5)。 注 2 n 阶矩阵 A= ( ) aij 的 k 阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 k k kk k k a a a a a a a a a L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 Dk = det Ak = k = (1,2,L.n) 共有 n 个。 注 3 对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若( 1) 0(k 1,2, , n) - k Dk > = L ，则 A 负定。 5.1.14 正定矩阵的有关结论 (1) A 正定，则 a 0,(i 1,2, , n) ii > = L 注 这是正定的一个必要条件，常用来判定 A 不是正定的，但不能用来判断 A 正定。 (2) A 正定，则 T 1 m A , A ,A , A - * （m 为正整数）均为正定矩阵。 (3) A，B 为 n 阶的正定矩阵，则 A+B 也是正定矩阵。 5.2 典型例题分析 1）特征值于特征向量的计算 例 1 求 A= 2 2 1 2 1 2 1 2 2 的全部特征值和对应的特征向量。 解 l l l l l l l - = - - - - - - = 1 2 1 1 1 2 1 2 2 (5 ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 A I PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
1221 =(5-1)0-1-10=(5-2)1+2)2 00-1- 所以A的全部特征值为入=5,23=-1· 当21=5 所以(A-x=0就可写成压+名-2x,=0 (x2-x3=0 令x2=1的基础解系n,=[,1,n,就是矩阵A对应于入=5的特征向量，全部特征向量 为kn,(k≠0)。 当入23=-1时 22211 A=元1=222-000 222000 所以，(A-x=0可写成 名+x2+x=0 取2=1，x3=0,得n=【110, 取x2=0,x3=1,得n=【1,0,。 门2，门，均为A的二重特征值223=-1的特征向量，全部特征向量为k2门2+kn,其中 k2,k不全为零。 10 例2设0是矩阵A仁020的特征值，求 1 0 a ()a:(2)A的另一特征值。 解解法一()由于A为所有特征值之积，故由已知可得A-0。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
2 (5 )(1 ) 0 0 1 0 1 0 1 2 2 (5 ) l l l l l = - + - - = - - - 所以 A 的全部特征值为l1 = 5,l2,3 = -1。 当 5 l1 = 0 0 0 0 1 1 1 1 2 ~ 0 6 6 0 6 6 2 2 4 ~ 4 2 2 2 4 2 2 2 4 ~ 2 2 4 2 4 2 4 2 2 - - - - - - - - - - - A - l1 I = 所以(A - I)x = 0 l1 就可写成 î í ì - = + - = 0 2 0 2 3 1 2 3 x x x x x 令 1 x2 = 的基础解系 [ ] T = 1,1,1 h1 ，h1 就是矩阵 A 对应于 5 l1 = 的特征向量，全部特征向量 为 ( 0) k1h1 k1 ¹ 。 当l2,3 = -1时 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ~ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A = l2 I = 所以，(A - I)x = 0 l2 可写成 0 x1 + x2 + x3 = 取 1, 0 x2 = x3 = ，得 [ ] T h = -1, 1, 0 ， 取 0, 1 x2 = x3 = ，得 [ ] T h = -1, 0, 1 。 2 3 h ,h 均为 A 的二重特征值l2,3 = -1的特征向量，全部特征向量为 2h2 3h3 k + k ，其中 2 3 k , k 不全为零。 例 2 设 0 是矩阵 A= 1 0 a 0 2 0 1 0 1 的特征值，求 (1) a；(2) A 的另一特征值。 解 解法一 (1) 由于 A 为所有特征值之积，故由已知可得 A =0。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
101 又A=020=2(a-),所以=1 10a 1-元01 (2)A-川=02-元0=-2(2-) 1 0a- 所以另一特征值为2。 解法二()A的特征多项式 1-201 |A-2川=02-20=1-22-2a-)-(2-)y 10a- 因为元=0是A的特征值，所以将入=0代入（有2a-2=0,即a=1。 (2)将1代入(，得特征方程为 (2-)（元-2）=0 从而入=2为A的另一特征值。 例3设A满足A2-3A+2I=0,试求2A·+3I的特征值。 解因为A为抽象矩阵，所以由定义求解，设入为A的特征值，对应的特征向量x≠0 则，Ax=x,从而由 (A2-3A+2x=A2x-3A+2x=(22-3+2)x=0 可得元=1入=2.又2A+3引的特征值为子+3所以2A+31的特征值为5或4. 例4设A为n阶实矩阵，AAT=,A<0,试求(A)广的一个特征值。 解由于(A)”=(A),故可先算A'的特征值，而这又只需算出A的特征值及A。 因为AAT=L,所以A2=1,既A=1,又A<0,所以A=-1。而A+1=A AT+1=AA+1=A+,故A+1=0即，元=-1是A的一个特征值。 于是可得A的一个特征值会，即为1。所以(A)即(Ay的一个特征值为1. 例5设向量a=1,a,,anJ,B=[B,B2,…,B,满足aB=0, 且a,b,≠0，记n阶方阵A=aTB,求： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
又 2( 1) 1 0 0 2 0 1 0 1 = = a - a A ，所以 a=1， (2) 2 (2 ) 1 0 0 2 0 1 0 1 l l l l l l = - - - - - - = a A I 所以另一特征值为 2。 解法二 (1) A 的特征多项式 (1 )(2 )( ) (2 ) 1 0 0 2 0 1 0 1 l l l l l l l l = - - - - - - - - - = a a A I (*) 因为l = 0 是 A 的特征值，所以将l = 0 代入(*)有 2a-2=0，即 a=1。 (2) 将 a=1 代入(*)，得特征方程为 l(2 - l)(l - 2) = 0 从而l = 2 为 A 的另一特征值。 例 3 设 A 满足 A A 2I 0 2 - 3 + = ，试求 A I 1 2 + 3 - 的特征值。 解 因为 A 为抽象矩阵，所以由定义求解，设l 为 A 的特征值，对应的特征向量x ¹ 0 则， Ax = lx ，从而由 A A 2I x A x 3A 2x x 0 2 2 2 ( - 3 + ) = - + = (l - 3l + 2) = 可得 1, 2 l1 = l2 = 。又 A I 1 2 + 3 - 的特征值为 3 2 + l 所以 A I 1 2 + 3 - 的特征值为 5 或 4。 例 4 设 A 为 n 阶实矩阵， AA = I, A < 0 T ，试求 * ( ) 1 A - 的一个特征值。 解 由于 * * 1 ( ) ( ) - - A = A 1 ，故可先算 * A 的特征值，而这又只需算出 A 的特征值及 A 。 因为AA I, T = 所以 1 2 A = ，既A = ±1，又 A < 0 ，所以 A = -1。而 A + I = A A I A A I A I T + = + = - + ，故 A + I = 0即，l = -1是 A 的一个特征值。 于是可得 * A 的一个特征值 l A ，即为 1。所以 * 1 ( ) - A 即 * ( ) 1 A - 的一个特征值为 1。 例 5 设向量 [ ] T a a a an , , , = 1 2 L ， [ ] T b b b bn , , , = 1 2 L ，满足a b = 0 T ， 且 0 a1 b1 ¹ ，记 n 阶方阵 A=a b T ，求： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
()A2:(2)矩阵A的特征值与特征向最。 解()由A=a'B及a'B=0,有 A2=(aB)(a'B)=a(B'a)B=a(a'B)B=0 (2)设入是A的任一特征值，对应入的特征向量为x,即Ax=x,于是 A'x=Ax='x 因为A2=0,所以2x=0,由x≠0得入=0，即A的特征值全为零。又 「abah…a,bn1「bb2…bn A= 00.0 a.Aa.6…a,b」00…0 故方程组0的基础解系为 a会10g%[会410a [-,0,0,1 于是A的属于特征值入=0的全部特征向量为 ka1+k,a2+…+kn-1an- 其中k,k2,…,k-是不全为零的常数。 例6已知A是n阶方阵，1，入，…，入n是它的n个特征值，a1,a2,,an是其对应的n 个线形无关的特征向量，求A一入，I的全部特征值和一组线形无关的特征向量， 解由己知可得Aa1-入，a,1=1,2,,n),将其变形可得到 Aa=,a,=(0+元-元a,=1a,+(2,-元)a 从而 Aa,-,a,=(2,-1)a, 即 (A-0a,=(2-入)a 这就说明入，-，(=1,2，…，m）。一组线形无关的特征向量为a1,2,…,an。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
(1) 2 A ；(2) 矩阵 A 的特征值与特征向量。 解 (1) 由 A=a b T 及a b = 0 T ，有 A 0 2 = = = = T T T T T T (ab )(a b ) a(b a)b a(a b)b (2) 设l 是 A 的任一特征值，对应l 的特征向量为 x，即 Ax = lx ，于是 A x Ax x 2 2 = l = l 因为 = 0 2 A ，所以 x = 0 2 l ，由 x ¹ 0 得l = 0 ，即 A 的特征值全为零。又 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 0 0 0 0 0 0 ~ 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M M M L L L M M M L L n n n n n n n b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A 故方程组 Ax=0 的基础解系为 T n n T T b b b b b b ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - ú û ù ê ë é = - - , 1, 0, , 0 , , 0, 1, , 0 , , , 0, , 0, 1 1 1 1 3 2 1 2 a1 L a L L a L 于是 A 的属于特征值l = 0 的全部特征向量为 1 + 2 2 + + n-1 n-1 k a1 k a L k a 其中 1 2 1 , , , n- k k L k 是不全为零的常数。 例 6 已知 A 是 n 阶方阵，l l ln , , , 1 2 L 是它的 n 个特征值，a a an , , , 1 2 L 是其对应的 n 个线形无关的特征向量，求 A I - l1 的全部特征值和一组线形无关的特征向量。 解 由已知可得 (i 1,2, , n) Aai = liai = L ，将其变形可得到 ai liai l li l ai l ai li l ai ( ) ( ) A = = 1 + - 1 = 1 + - 1 从而 ai liai li l ai ( ) A - = - 1 即 l ai li l ai ( ) ( ) - 1 = - 1 A I 这就说明 ( 1,2, , ) 1 i n li - l = L 。一组线形无关的特征向量为a a an , , , 1 2 L 。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn