3矩降畅秩与线性方程织 第一节矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的计算 三、小结、思考题
第一节 矩阵的秩 Ch3 矩阵的秩与线性方程组 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的计算 三、小结、思考题
一、矩阵秩的概念 定义1在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤n),位于这些行列交处的个k元素,不改 变它们在A中所处的位置次序而得的阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式, m×n矩阵A的k阶子式共有C·CA个. 上页 返回
. , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式, ),位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 ( A k A k k n k m n A k k k m 一、矩阵秩的概念 矩 阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm C
定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等 于0,那末D称为矩阵A的最高阶非零子式,数, 称为矩阵A的秩,记作r(A).并规定零矩阵的秩 等于零.即A=O台r(A)=0. m×n矩阵A的秩r(A)是A中非零子式的 最高阶数. 页
. ( ) 0. ( ) . 0 1 2 0 = = + A O r A A r A D A r D r A r 等于零 即 称为矩阵 的秩,记作 并规定零矩阵的秩 于 ,那末 称为矩阵 的最高阶非零子式,数 式 ,且所有 阶子式(如果存在的话)全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 . ( ) 最高阶数 m n 矩阵 A的秩 r A 是 A中非零子式的
注意: ()对于A',显然有r(AT)=r(A), (2)r(A)s min(m,n). (3)若A有一个阶子式不为零,则r(A)≥k. (4)若A的所有k+1阶子式均为零,则r(A)≤k (⑤)如2≠0,则r(2A)=r(A) (6)若A为n阶方阵,则r(A)≤n,且 r(A)=n→A≠0一A为可逆阵 回
(1) 对于 A T , r(A ) r(A). T 显然有 = 注意:(2) r(A ) min(m, n). mn (3)若A有一个k阶子式不为零,则r(A) k. (5) 0, ( ) ( ). (4) 1 ( ) . r A r A A k r A k = + 如 则 若 的所有 阶子式均为零,则 为可逆阵 若 为 阶方阵,则 且 r A n A A A n r A n = ( ) 0 (6) ( )
例1 求矩阵A= 5的秩 1 解在A中,二阶子式 ≠0. 又.·A的3阶子式只有一个A,且A=0, ,r(A)=2. 上页
例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩 A = − 解 在 A中,二阶子式 又 A 的 3阶子式只有一个 A,0. 2 3 1 2 且 A = 0 , r ( A ) = 2
9 25 例2求矩阵B= 的秩。 解B是一个“行阶梯形矩阵,其非零行郁行, B的所有4阶子式全为零. 2-1 3 取自非零行首非零元所在列 而0 3 -2 ≠0, r(B)=3. 0 0 说明 行阶梯形矩阵的秩即其非零行的行数, 回
例2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩 − − − − B = 解 B是一个“行阶梯形矩阵”,其非零行有3行, B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3 − − 而 r(B) = 3. 取自非零行首非零元所在列 说明 行阶梯形矩阵的秩即其非零行的行数
例3 求该矩阵的秩 解“二阶子式;-220计算4的阶子式 13-2 1323-22 1-2 2 0 2-1=0023=2,-13=00 -1 3=0, -2 0 1-205015 -2 15 =0. (A)=2
例3 已知 ,求该矩阵的秩. − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3 二阶子式 = 2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式, = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = =0, = 0, = 0. r(A) = 2
13 -22 另解 对矩阵A= 0 2 -1 3 做初等变换, -2015 得 之 -1 00 显然,非零行的行数为2, r(A)=2. 此方法简单! 问题: 这种方法到底对不对?若对,有没有理论根据?
对矩阵 做初等变换, − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 − − − − − 得 显然,非零行的行数为2, r(A) = 2. 此方法简单! 问题: 这种方法到底对不对?若对,有没有理论根据?
二、矩阵秩的计算 定义3称满足以下两个条件的m×n矩阵为 行阶梯形矩阵: ()每行的非零元(如果有的话)前的零元 个数比其上一行这种零元个数多; (2)如果某行没有非零元,则其下所有行的 元素全为零. 若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为 1,且这些1所在的列的其它元素都是0,则称其 为行最简形矩阵
二、矩阵秩的计算 定义3 称满足以下两个条件的mn 矩阵为 行阶梯形矩阵: 个数比其上一行这种零元个数多; (1) 每行的非零元(如果有的话)前的零元 . (2) 元素全为零 如果某行没有非零元,则其下所有行的 为 ,且这些 所在的列的其它元素都是 ,则称其 若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为 1 1 0 行最简形矩阵
定理1对于任何矩阵Ax,总可经过有限次初等 行变换把它变为行阶梯形矩阵, [证明略] 问题:经过初等变换后,矩阵的秩变吗? 定理2若A~B,则r(A)=r(B) 证明略 上页 区回
. , 行变换把它变为行阶梯形矩阵 对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初等 问题:经过初等变换后,矩阵的秩变吗? 定理 2 若 A ~ B,则 r(A) = r(B). 证明略 定理1 [证明略]