(常微分方程)期终考试卷 数学系本科生用2010年1月14日13：10-15：10 姓名 学号 院系 成绩 一(10分)、设q(x)在区间.JCR上连续，且y=(x)是方程 tl0 在J上的一个非零解。证明(x)在J的任一闭子区间上有至多有限个零点。 二(15分)、求下列高阶微分方程的通解 ++1=咖 三(15分)、求下列初值问题的解 四(15分)、设DCR是开区域，f(红，)在D上解析。试叙述微分方程 是=e 从D中点出发的解的存在性、唯一性和解析性定理。并给出该定理证明的主要步骤和 过程。 五(15分)、给定n阶微分方程 dy =f(.y), dr 其中f(红，y)在Rm+1的某子区域D上连续可微。试就该方程的首次积分的结构（即最大 个数、所有可能的首次积分之间的表示关系)给出你的结论。并就你的结论给出证明 的主要思想和步骤。 六(15分)、求解下列偏微分方程初值问题 器+瑞+化-列瓷=0当=1时=g+1 七(15分)、考虑二阶微分方程 票+骋+= 其中f(c)在0，o∞)上连续。试证明：如果f(c)在0，∞)上有界，则上述二阶方程的每个 解在0，∞)上有界。 1
h⑦❻➞➄➜i Ï➟⑧➪ò ê➷❳✢❽✮❫ 2010❝1✛14❋13:10–15:10 ✻➯ ➷Ò ✓❳ ↕✶ ➌ ↔10➞↕✦✗q(x)✸➠♠J ⊂ Rþë❨➜❹y = φ(x)➫➄➜ d 2 y dx2 + q(x)y = 0, ✸Jþ✛➌❻➎✧✮✧②➨φ(x)✸J✛❄➌✹❢➠♠þ❦➊õ❦⑩❻✧✿✧ ✓ ↔15➞↕✦➛❡✎♣✣❻➞➄➜✛Ï✮ d 4 y dx4 + 8 d 2 y dx2 + 16y = sin x. ♥ ↔15➞↕✦➛❡✎Ð❾➥❑✛✮ dx dt = 1 2 2 1 x + e −t e −t , x(0) = 1 0 . ♦ ↔15➞↕✦✗D ⊂ R 2➫♠➠➁➜f(x, y)✸Dþ✮Û✧➪◗ã❻➞➄➜ dy dx = f(x, y), ❧D➙✿Ñ✉✛✮✛⑧✸✺✦➁➌✺Ú✮Û✺➼♥✧➾❽Ñ❚➼♥②➨✛❒❻Ú➼Ú ▲➜✧ ✃ ↔15➞↕✦❽➼n✣❻➞➄➜ dy dx = f(x, y), Ù➙f(x, y)✸R n+1✛✱❢➠➁Dþë❨➀❻✧➪Ò❚➄➜✛➘❣➮➞✛✭✟↔❂⑩➀ ❻ê✦↕❦➀❯✛➘❣➮➞❷♠✛▲➠✬❳↕❽Ñ❭✛✭Ø✧➾Ò❭✛✭Ø❽Ñ②➨ ✛❒❻❣➂ÚÚ➼✧ ✽ ↔15➞↕✦➛✮❡✎➔❻➞➄➜Ð❾➥❑ x ∂u ∂x + y ∂u ∂y + (z − xy) ∂u ∂z = 0, ✟x = 1 ➒, u = yz + 1. Ô ↔15➞↕✦⑧➘✓✣❻➞➄➜ d 2 y dx2 + 3 dy dx + 2y = f(x), Ù➙f(x)✸[0,∞)þë❨✧➪②➨➭❳❏f(x)✸[0,∞)þ❦✳➜❑þã✓✣➄➜✛③❻ ✮✸[0,∞)þ❦✳✧ 1
