Sylow I的证明 上海交通大学数学科学学院章璞 定理0.1.设G是有限群，p为素数，r是正整数，pV是G的国子.用N(p)表示G的p阶子群 的个数.剥N(p)=1,modn. 证明.设G=pn.令2：={G的d元子集}.显然2=().考虑G在2上的如下作用： Yg∈G,YM∈，定义gM:=Mg1. 不难验证这的确为群作用.因此2是一些2的G-轨道的无交之并 n-gr.m-gk阳-gex 其中A,是轨道T中某个元M,的稳定子群，即A={g∈G|M,g1=M} 因为MA:=M,所以G的p元子集M是群A,的一些左陪集的无交之并 M=U9A,94eM,1≤j≤k 1≤jsk, 则 6=贤=局vie 于是A-p,0≤n≤m 下面我们按r:<r和：=r这两种情况来讨论（只有这两种情况） 若<，则 l-只-会=mamm 若，=r,则 因此我们看到T=n当且仅当，=r,即4=：当且仅当k:=1当且仅当M恰 是A:的一个左陪集，即M,=9A.而长为的轨道T的个数对于我们很有用，这是因为 (份9）-网-于四=品-A从m0 我们断言：，品1=N),即，长为n的轨道的条数恰好是G的p阶子群的个数NG
1 Sylow I y² ˛°œåÆÍÆâÆÆ Ÿ‚ ½n0.1. G¥kÅ+, pèÉÍ, r¥Í, p r¥|G|œf.^N(p r )L´Gp r f+ áÍ. KN(p r ) ≡ 1, mod p. y². |G| = p rn. -Ω := {G p r f8}.w,|Ω| = p rn pr . ƒG3Ω˛Xeä^µ ∀ g ∈ G, ∀ M ∈ Ω, ½¬ gM := Mg−1 . ÿJy˘(è+ä^. œdΩ¥ò ΩG-;ÃÉø: Ω = [• i∈I Ti , |Ω| = X i∈I |Ti |, |Ti | = |G| Ai , ∀ i ∈ I, Ÿ•Ai¥;Ti•,áMi½f+,=Ai = {g ∈ G | Mig −1 = Mi}. œèMiAi = Mi , §±Gp rf8Mi¥+Aiò Ü8ÃÉø: Mi = [• 1≤j≤ki gijAi , gij ∈ Mi , 1 ≤ j ≤ ki . K ki = |Mi | |Ai | = p r |Ai | , ∀ i ∈ I. u¥|Ai | = p ri , 0 ≤ ri ≤ r. e°·ÇUri < r⁄ri = r˘¸´ú¹5?ÿ(êk˘¸´ú¹). eri < rßK |Ti | = |G| Ai = p rn p ri = p r−rin ≡ 0, mod pn; eri = rßK |Ti | = |G| Ai = p rn p r = n. œd·Çw|Ti | = nÖ=ri = r, =|Ai | = p r ; Ö=ki = 1; Ö=MiT ¥AiòáÜ8, =Mi = giAi . èn;TiáÍÈu·ÇÈk^ߢ¥œè p rn p r = |Ω| = X i∈I |Ti | ≡ X i∈I,|Ti|=n |Ti | = n( X i∈I,|Ti|=n 1), mod pn. (1) ·Ç‰Û: P i∈I,|Ti|=n 1 = N(p r ), =, èn;Ti^ÍT–¥Gp r f+áÍN(p r ).
2 为了证明这一断言，令T是上述群作用下长为n的轨道的集合，日是G的Sylow p-子群 的集合.我们希望得到T到日的一个一一映射.这样就可证明上述断言. 对于任意T∈「，即T是一个长为n的轨道，令p(T)=B=g:A9:1∈日.则 1.p阶子群B:与p'元子集M=g:A:同属轨道T 2.M是子群B的一个右陪集，即M=Bg 3.子群B:的任意一个右陪集Bg=M9g均是T中元； 4.T,中任意元均形如Mg=B9:9,从而是子群B:的一个右陪集.所以 5.长为n的轨道T,中的n个元恰为某个p阶子群B,的n个右陪集； 6.另一方面易知，一个子群B的右陪集集合中只有一个陪集是子群，即这个子群本身 作成的右陪集（其它右陪集均不可能成为子群：若C:=Bg是子群，则1=g1g∈C=Bg, 故g1∈B,g∈B,从而C=Bg=B) 7.综上所述，给定任意一个长为n的轨道T,我们都得到唯一的一个p阶子群(T)= B,使得T:中的n个元恰为B:的n个右陪集： 8.显然，对于另一个不同的长为n的轨道T,我们得到p阶子群(T)=B,使得T中 的n个元恰为B,的n个右陪集 因为T≠T,B,当然是与B:不同的.即p是单射： 9.对于任意B∈日，p阶子群B的n个右陪集又恰好作成一个长为n的2的G-轨道T.即p(T)= B,即p是满射. 因此，P:下-→日是一一映射.这就证明了上述断言. 这样由(1)知，对于任意pn阶群G均有同余式 nN(p)≡ p'n mod pn. (2) 特别地，这个同余式对于p'n阶循环群G当然也是对的.而对于p'n阶循环群G来说，由循环 群的结构知N(p）=1,从而得知 p'n ≡nN(p)=n,mod pn 因此由(2)知对于任意p'n阶群G均有同余式 nN(p)≡n,nod np. 故有 N(p)≡1，modp. 这就完成了证明
2 è y²˘ò‰Û,-Γ ¥˛„+ä^eèn;8‹, Θ¥GSylow p-f+ 8‹.·ÇF"ΓΘòáòòNρ.˘“åy²˛„‰Û. Èu?øTi ∈ Γß=Ti¥òáèn;, -ρ(Ti) = Bi := giAig −1 i ∈ Θ. K 1. p r f+Bi Üp rf8Mi = giAi”·;Ti ; 2. Mi¥f+Biòám8,=Mi = Bigi ; 3. f+Bi?øòám8Big = Migig ˛¥Ti•; 4. Ti•?ø˛/XMig = Bigig, l ¥f+Biòám8. §± 5. èn;Ti•náTè,áp r f+Binám8; 6. ,òê°¥, òáf+Bm88‹•êkòá8¥f+ß=˘áf+ ä§m8(Ÿßm8˛ÿåU§èf+: eC := Bg¥f+, K1 = g −1 g ∈ C = Bg, g −1 ∈ B, g ∈ B, l C = Bg = B). 7. n˛§„,â½?øòáèn;Tiß·Ç—çòòáp r f+ρ(Ti) = Bi¶Ti•náTèBinám8¶ 8. w,,Èu,òáÿ”èn;Tj ,·Çp r f+ρ(Tj ) = Bj¶Tj• náTèBjnám8. œèTi 6= Tj , Bj,¥ÜBiÿ”. =ρ¥¸; 9. Èu?øB ∈ Θßp r f+Bnám8qT–ä§òáènΩG-;T.=ρ(T) = B,=ρ¥˜. œd,ρ : Γ −→ Θ¥òòN. ˘“y² ˛„‰Û. ˘d(1), Èu?øp rn +G˛k”{™ nN(p r ) ≡ p rn p r , mod pn. (2) AO/ߢá”{™Èup rn ÃÇ+G,è¥È. Èup rn ÃÇ+G5`,dÃÇ +(N(p r ) = 1, l p rn p r ≡ nN(p r ) = n, mod pn. œdd(2)Èu?øp rn +G˛k”{™ nN(p r ) ≡ n, mod np, k N(p r ) ≡ 1, mod p. ˘“§ y².