西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions

第一章复数与复变函数 历坐毛子代枝大” XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 第一章复数与复变函数 第一节 复数及其代数运算 第二节 复数的几何表示 第三节 复数的乘幂与方根 第四节 区域 第五节 复变函数 第六节 复变函数的极限和连续性 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 4 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 第一章 复数与复变函数 第一节 复数及其代数运算 第二节 复数的几何表示 第三节 复数的乘幂与方根 第四节 区域 第五节 复变函数 第六节 复变函数的极限和连续性

历安毛子代枝大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 第一节复数及其代数运算 一、复数的概念 二、代数运算 三、共轭复数 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 5 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 第一节 复数及其代数运算 一、复数的概念 二、代数运算 三、共轭复数

第一章复数与复变函数 历安毛子代枚大” XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 复数的概念 定义(1)设x和y是任意两个实数，将形如 z=x+iy(或者z=x+yi) 的数称为复数。其中i称为虚数单位，即i=√-1. (2)x和y分别称为复数z的实部与虚部，并分别表示为： x=Rez,y=Imz. (3)当x=0时，z=0+iy=iy称为纯虚数； 当y=0时，z=x+i0=x就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 6 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 一、复数的概念 定义 (1) 设 x 和 y 是任意两个实数， z  x  i y (或者 z  x  yi ) 的数称为复数。 (2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为： x  Re z, y  Im z. 当 y  0 时， 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 (3) 当 x  0 时， z  0 i y  i y 称为纯虚数； z  x  i0  x 就是实数。 将形如 其中i 称为虚数单位，即 i  1

历些毛子代拔大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 复数的概念 相等设1=1+y1与2=x2+y2是两个复数， 如果X1=飞2，y1=y2,则称乙1与2相等。 特别地，z=x+y=0当且仅当x=y=0. 注 复数与实数不同，两个复数（虚部不为零）不能比较大小， 它们之间只有相等与不相等的关系。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 7 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 设 z1  x1  i y1 与 z2  x2  i y2 是两个复数， 如果 , 1 2 x  x , 1 2 y  y 则称 z1 与 z2 相等。 它们之间只有相等与不相等的关系。 相等 特别地， z  x  i y  0 当且仅当 x  y  0. 注 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 一、复数的概念

历柴毛子代枚大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 二、代数运算 ·四则运算 设1=x1+y1与2=x2+y2是两个复数， ()复数的加减法 加法1+2=水1+X2+(y1+y2) 减法。 1-z2=X1-X2+i(y1-Jy2) (2)复数的乘除法 乘法 z1·z2=(x12-y1y2)+i(x1y2+x2y1); 除法 如果存在复数，使得1=22，则2=（亿，≠0）， 1 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 8 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 设 z1  x1  i y1 与 z2  x2  i y2 是两个复数， (1) 复数的加减法 ( ); 1 2 1 2 1 2 加法 z  z  x  x  i y  y ( ). 1 2 1 2 1 2 减法 z  z  x  x  i y  y (2) 复数的乘除法 ( ) ( ); 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 乘法 z z  x x  y y  i x y  x y , 1 2 z  z z 2 2 1   ( 0). z z z z 除法 如果存在复数 z，使得 则 二、代数运算 •四则运算

历安毛子代枝大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 二、代数运算 (3)运算法则 交换律 Z1+32=32+Z1; Z1Z2=Z2·Z1 结合律（亿1+2）+3=1+（亿2+z3); (312)3=乙1（亿2z3) 分配律1（亿2+3）=2+乙133· 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 9 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions (3) 运算法则 交换律 ; 1 2 2 1 z  z  z  z . 1 2 2 1 z z  z z 结合律 ( ) ( ); 1 2 3 1 2 3 z  z  z  z  z  z ( ) ( ). 1 2 3 1 2 3 z z z  z  z z 分配律 ( ) . 1 2 3 1 2 1 3 z  z  z  z z  z z 二、代数运算

历柴毛子代枚大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 三、共轭复数 1.共轭复数的定义 定义设z=x+y是一个复数， 称z=x一y为z的共轭复数，记作z。 注共轭复数有许多用途。 比如z=1=1·2=(出1+y)化2-iy2) 7232·72 (x2+iy2)(x2-iy2) =2+y2+i2y2 x,2+2 x2+乃22 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 10

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 10 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 三、共轭复数 1. 共轭复数的定义 定义 设 z  x  i y 是一个复数， 称 z  x  i y 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 注 共轭复数有许多用途。 比如 2 1 z z z  ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 x i y x i y x i y x i y      2 2 1 2 z z z z    1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x + y y x y - x y = + i x + y x + y

历安毛子代枝大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 三、 共轭复数 2.共轭复数的性质 性质（1)z=; (2) Z10乙2=Z10z2, 其中，“。”可以是+，一，×，÷； [Re]2+[Im2=x2+y2 (③)+3-Rez=x 2 2i =Imz=y 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 11 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 2. 共轭复数的性质 其中，“  ”可以是  ,  , , ; , 1 2 1 2 (2) z z  z z 2 2 2 2 zz  [Re z] [Im z]  x  y 性质 (1) z  z; 三、共轭复数 (3) + - = Re = = Im = 2 2 z z z z z x z y i

历柴毛子代枚大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 例 已知1=5-5i,1=3+4i,求1,1. 22 解(1) 名1=5-51=6-50-3-4)=-35-5i。71； i. Z2 -3+4i（-3+4i)(-3-4)25 55 7 (2) i. 72 5 例证明12+12=2Re(312). 证明 1z2+712=172+元172=172+172=2R(亿1z2). 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 12

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 12 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 解 (1) i i z z 3 4 5 5 2 1     ( 3 4 )( 3 4 ) (5 5 )( 3 4 ) i i i i         25  35  5 i  . 5 1 5 7    i . 5 1 5 7    i 2 1 z z        2 1 z z (2) 证明 1 2 1 2 z z  z z 1 2 1 2  z z  z z 1 2 1 2  z z  z z 2 Re ( ). 1 2  z z

历安毛子代枝大学 第一章复数与复变函数 XIDIAN UNIVERSITY Complex number and complex variable functions 附：历史知识一一虚数史话 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的 求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这 类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显 现出来。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 13

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 13 第一章 复数与复变函数 Complex number and complex variable functions 复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的 求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这 类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显 现出来。 附：历史知识 —— 虚数史话