A∈p(A) 若L∈p(A),由本章§1定理4(1),(A-A)x=y对于任何y∈X 有解,从定理2知,y⊥N(A-A).由y的任意性知 N(Ar-A)={0},即A-是一一映射,根据定理1证明中的, A-A是到上的,从而A∈p(A) 反之,若A∈p(A),则(Ar-A)x=y对于任意的y有解,于 是由定理2,y⊥N(-A),所以,N(4-A)={0},A-A是 的.根据定理1证明中的1,A-A到上,故A∈p(A),总之 p(A)=p(A).所以(A)=a(A) 2任取x∈N(A-A),x∈N(-A),则Ax=Ax,A x,于是 Ax(x)=(x, 1x)=(x, Ax) =(Ax,x)=(x,x)=x(x) 或(-)x(x)=0.由≠H,故 x(x)=0,N(4I-A)⊥N(-了) 3°设dimN(AI-A)=n,dmN(r-A)=n.根据定理1(4),二 者都是有限的 首先证明n≤n.若n=0,不等式自然成立.若n=0,即 N(AI-A)={0},于是AI-A是一一的,由定理1证明的1,A-A还 是到上的,即A∈p(A).由上面的1°,A∈D(A),故N(Ar-A)={0}, n=0,所说等号成立 现在考虑n,n均为非零的情况,设x2…xn是N(A-A)的一组 基,y,…y是N(r-A)的一组基,由本节引理1的证明不难知道 存在x1…x使得 x;)= 0,i≠j 又容易用归纳的方法证明,存在y…y,使得9 * λ ρ ∈ ( ) A . 若 λ ∈ ρ( ) A ，由本章§1定理 4(1) ，( ) λI − Ax y = 对于任何 y X ∈ 有解，从定理 2 知， * * yNI A ⊥ − ( ). λ 由 y 的任意性知， * * NI A ( ) {0} λ − = , 即 * λI − A 是一一映射，根据定理 1 证明中的1 D ， * * λI − A 是到上的，从而 * λ ρ ∈ ( ) A . 反之，若 * λ ρ ∈ ( ) A ，则 * ** * ( ) λI − Ax y = 对于任意的 * y 有解，于 是由定理 2， * y NIA ⊥ − ( ) λ ，所以， NIA ( ) {0} λ − = ， λI A − 是一 一的.根据定理 1 证明中的 1 D ， λI A − 到上，故 λ ∈ ρ( ) A ，总之 * ρ ρ ( ) ( ). A A = 所以 * σ σ ( ) ( ). A A = 2D 任 取 * ** x∈−∈ − N I Ax N I A ( ), ( ) λ µ ， 则 * * Ax x A x = λ , = * µx ，于是 ** * λ λ x () ( , ) ( , ) x x x x Ax = = ** * * = == ( , ) ( , ) ( ). Ax x x x x x µ µ 或 * ( ) () 0 λ µ − = x x .由 λ ≠ µ ，故 * x x( ) 0, = * * NIA N I A ( )( ) λ µ −⊥ − . 3D 设 ** * dim ( ) ,dim ( ) NIA n NI A n λ λ −= − = .根据定理1(4) ，二 者都是有限的. 首先证明 * n n ≤ . 若 * n = 0 ，不等式自然成立.若 n = 0 ， 即 NIA ( ) {0} λ − = ，于是 λI A − 是一一的，由定理 1 证明的1 D ，λI A − 还 是到上的，即 λ ∈ ρ( ) A .由上面的1 D ， * λ ρ ∈ ( ) A ，故 * * NI A ( ) {0} λ − = ， * n = 0, 所说等号成立. 现在考虑 * n n, 均为非零的情况，设 1, n x ⋅⋅⋅x 是 NIA ( ) λ − 的一组 基， * * 1 , n y y ⋅⋅⋅ 是 * * NI A ( ) λ − 的一组基，由本节引理 1 的证明不难知道， 存在 * * 1 , n x ⋅⋅⋅x 使得 * 1, . ( ) 0, . j i i j x x i j  = =   ≠ 又容易用归纳的方法证明，存在 * * 1 , n y y ⋅⋅⋅ ，使得