y,) 定义F:X→X, ∑x(x) 显然F是有界线性算子并且是有限秩算子,从而F是紧的.算子 B=A+F是紧的.我们证明AI-B是一一映射 实际上,若(AI-B)x=0,则 (A-A)x=F(x)=∑x(x)y yi, (21-A)x)=(;,2* (x)])=x, (x) 但y∈N(A-A),故 (y,(4-A)x)=(r-)y,x)=0.(=1…m) 从而x,(x)=0,代入(5-2-1)知道(I-A)x=0,x∈N(-A).由 于x,xn是的一组基,不妨设x=∑ax,由a1=x①∑ax) x(x)=0(=1,…;n)知x=0,A-B是一一的.由引理2的证明T I-B是到上的 若n<n,取x∈X,使(/-B)x=yn+1则 1=yn1(yn1)=(y1(/-B)x) =(yn1,(I-A)x)-(y1F(x) (r-A),x)-(∑x(x)y)=0 因为yn∈N(Ar-A).矛盾说明n≤n10 * 1, . ( ) 0, . j i i j y y i j  = =   ≠ 定义 FX X : , → * 1 () () n i i i F x x xy = = ∑ , ∀x X ∈ . 显 然 F 是有界线性算子并且是有限秩算子，从而 F 是紧的 . 算子 B = + A F 是紧的. 我们证明 λI B− 是一一映射. 实际上，若 ( )0 λI Bx − = ，则 * 1 ( ) () () n i i i λI Ax F x x xy = −= = ∑ , (5-2-1) * ** * 1 ( ,( ) ) ( , ( ) ) ( ). n j j iij i y I Ax y x xy x x λ = −= = ∑ 但 * ** ( ) j y NI A ∈ − λ ，故 * * ** ( ,( ) ) (( ) , ) 0 j j y I Ax I A y x λ λ −= − = . ( 1, ), j n = ⋅⋅⋅ 从而 * () 0 j x x = ，代入（5－2－1）知道 ( ) 0, ( ) λI − Ax x N I A =∈ − λ . 由 于 1, n x ⋅⋅⋅x 是的一组基，不妨设 1 n i i i x α x = = ∑ ， 由 * 1 ( ) n j j ii i α α x x = = ∑ * ( ) 0( 1, , ) j = = = ⋅⋅⋅ x xj n 知 x = 0, λI B − 是一一的. 由引理 2 的证明1 D ， λI B− 是到上的. 若 * n n < ，取 x X ∈ ，使 1 ( ) n λI Bx y − = + 则 * * 11 1 1 ( ) ( ,( ) ) nn n = =− y y y I Bx ++ + λ * * 1 1 ( ,( ) ) ( , ( )) n n = −− y I Ax y F x + + λ * ** * * 1 1 1 (( ) , ) ( , ( ) ) n nn i i λI A y x y x xy + + = =− − ∑ = 0 ， 因为 * ** 1 ( ) n y NI A + ∈ − λ . 矛盾说明 * n n ≤