《现代控制理论基础》第二章(讲义) 或 x(1) x2(1) 2e-+2e 如果初始状态为零,即Ⅹ(0)=0,可将X(t)简化为 2.3向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果,即着重讨论 Caley- Hamilton定理和最小多项式 2.3.1凯莱-哈密尔顿( Caley- amilton)定理 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时,凯莱-哈密尔顿定理是非常 有用的 考虑n×n维矩阵A及其特征方程 A-A=”+a1n 凯莱-哈密尔顿定理指出,矩阵A满足其自身的特征方程,即 为了证明此定理,注意到(λIA)的伴随矩阵adj(λI-4)是λ的n-1次多项式,即 dj(d-A)=B,2+ B,2+.+B-1+B 式中,B1=/。由于 (-A)ad/-1)=ad(-4(-4)=1-41 可得 1aI-A I=I2+,I2+.+an-Ia+a, I (-A)(B1+B2-2+…+Bn1+Bn) (Bn+B22+…+Bn1A+Bn)(-A 从上式可看出,A和B,(i=1,2,…,n)相乘的次序是可交换的。因此,如果(I-A)及 其伴随矩阵adj(λI-A)中有一个为零,则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ,显然λ I-A为零。这样《现代控制理论基础》第二章(讲义) 4 或           − − + +              − + − + − − =      − − − − − − − − − − − − t t t t t t t t t t t t e e e e x x e e e e e e e e x t x t 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 (0) (0) 2 2 2 2 ( ) ( ) 如果初始状态为零，即 X(0)=0,可将 X(t)简化为           − − + =      − − − − t t t t e e e e x t x t 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ------------------------------------------------------------------------------ 2.3 向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在 2.4 节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论 Caley-Hamilton 定理和最小多项式。 2.3.1 凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常 有用的。 考虑 n×n 维矩阵 A 及其特征方程 | | 1 0 1 − = + 1 + + − + = − n n n n I A  a   a  a 凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵 A 满足其自身的特征方程，即 1 0 1 + 1 + + − + = − A a A a A a I n n n n  (2.7) 为了证明此定理，注意到（λI-A）的伴随矩阵 adj(λI-A)是λ的 n -1 次多项式，即 n n n n I − A = B + B + + B − + B − −    1 2 2 1 1 adj( )  式中， B = I 1 。由于 (I − A)adj(I − A) = [adj(I − A)](I − A) = I − AI 可得 ( )( ) ( )( ) | | 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 B B B B I A I A B B B B I A I I a I a I a I n n n n n n n n n n n n = + + + + − = − + + + + − = + + + + − − − − − − − −                从上式可看出，A 和 Bi (i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果(λI-A）及 其伴随矩阵 adj(λI-A)中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用 A 代替λ，显然λ I-A 为零。这样