第一讲整体与部分4 姚正安 §1.4其他整体与部分问题 本节着重讨论整体区域与部分区域上函数的连续性与可积性等。显然整体区域上成立的 性质则部分区域上成立,我们这里讨论相反的问题。 问题141(1)若函数y=f(x)在(a,b][b,C)上分别连续,则y=f(x)在(a,c)上连 (2)若函数y=f(x)在(a,b),(b,C)上可积,则y=f(x)在(a,c)上可积 【分析】由y=∫(x)在(a,b]上连续,则在x=b左连续,y=f(x)在[bc)上连续, 则y=f(x)在b点右连续 【证明】(1)我们仅须证∫(x)在b点左连续且右连续,则∫(x)在b点连续(问题1.22) 由∫(x)在(a,b]上连续,于是∫(x)在b点左连续,又∫(x)在[b,c)上连续,从而∫(x)在b 点右连续 (2)由f(x)在(a,b)上可积,则在(a,b)上有界,又f(x)在(b,c)上可积,于是在 (b,c)上有界,即存在M1,M2使得 f(x)≤M,x∈(anb),|f(x)≤M2x∈(bc) 从而取M=mx{M1f(b)M2},则 (x)≤M,x∈(ac) 下证∫(x)在(a,C)上可积,任给E>0,由f(x)在(a,b)上可积,f(x)在(b,c)上 可积,则存在>0,2>0,当分划,≤,|wl2时,第一讲 整体与部分 4 姚正安 §1.4 其他整体与部分问题 本节着重讨论整体区域与部分区域上函数的连续性与可积性等。显然整体区域上成立的 性质则部分区域上成立，我们这里讨论相反的问题。 问题 1.4.1 （1）若函数 y = f (x) 在 (a,b],[b,c) 上分别连续，则 y = f (x) 在 (a,c) 上连 续。 （2）若函数 y = f (x) 在 (a,b),(b,c) 上可积，则 y = f (x) 在 (a,c) 上可积。 【分析】由 y = f (x) 在 (a,b] 上连续，则在 x = b 左连续， y = f (x) 在 [b,c) 上连续， 则 y = f (x) 在 b 点右连续。 【证明】（1）我们仅须证 f (x) 在 b 点左连续且右连续，则 f (x) 在 b 点连续（问题 1.2.2）。 由 f (x) 在 (a,b] 上连续，于是 f (x) 在 b 点左连续，又 f (x) 在 [b,c) 上连续，从而 f (x) 在 b 点右连续。 （2）由 f (x) 在 （a,b) 上可积，则在 （a,b) 上有界，又 f (x) 在 (b, c) 上可积，于是在 (b, c) 上有界，即存在 1 2 M ,M 使得 ( ) , ( , ) f x  M1 x a b ， ( ) , ( , ) 2 f x  M x b c 从而取 max{ , ( ), } 1 b M2 M = M f ，则 f (x)  M, x(a,c) 下证 f (x) 在 (a,c) 上可积，任给   0 ，由 f (x) 在 (a,b) 上可积， f (x) 在 (b, c) 上 可积，则存在  1  0， 2  0 ，当分划 T(a,b)   1， T(b,c)   2 时