动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 1.根据算符Ⅴ的微分性与矢量性,推导下列公式 V(AB)=B×(V×A)+(B.V)A+Ax(V×B)+(AV) X(VX V)A 解:1)V(A.B)=Bx(V×A)+(B.V)A+Ax(V×B)+(AV)B 首先,算符V是一个微分算符,其具有对其后所有表达式起微分的作用,对于本题, V将作用于A和B。 又V是一个矢量算符,具有矢量的所有性质。 因此,利用公式×(axb)=a·(a·b)-(·a)b可得上式,其中右边前两项是V作用于 A,后两项是V作用于B 2)根据第一个公式,令A=B可得证。 2.设u是空间坐标x,y,z的函数,证明 f(udu df A(u)= A(u)=Vux 证明 1) V(a)=200a1+9(0a1+y()a2=.a1+f.aan+f.ama2=“vn VAu= 0A(u), aAy(u)aA-E(u) dA,(u)Ou dA, (u) Ou, dA=(u) Ou_vtdu A dA V×A() )e+( A A A电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 1 - 1. 根据算符∇ 的微分性与矢量性 推导下列公式 A B B A B A A B A B r r r r r r r r r r ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇) A A A A A r r r r r ( ) 2 1 ( ) 2 × ∇ × = ∇ − ⋅∇ 解 1 A B B A B A A B A B v v v v v v v v v v ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇) 首先 算符∇ 是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ∇ 将作用于 A B v v 和 又∇ 是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 c a b a c b c a b v v v v v v v v v × ( × ) = ⋅( ⋅ ) − ( ⋅ ) 可得上式 其中右边前两项是 ∇ 作用于 A v 后两项是∇ 作用于 B v 2 根据第一个公式 令 A v B v 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 ( ) . ( ) ( ) du dA A u u du dA A u u u du df f u r r r r ∇ × = ∇ × ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 证明 1 u du df e z u du df e y u du df e du df e z f u e y f u e x f u f u x y z x u x y z = ∇ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = ∂ ∂ ( ) r ( ) r ( ) r r r r ( ) 2 du dA u z u dz dA u y u du dA u x u du dA u z A z u y A u x A u A u x y z x y z r r r r r r r r = ∇ ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = z y x y x z x z y x u y z x y z e y A x A e x A z A e z A y A A A u A u x y z e e e A u r r r r r r r r r r r r r r r r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )