动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 De, De=Vux du ay du az du az du ax 3.设r=√x-x)2+(y-y)2+(2-=2)2为源点x到场点x的距离,r的方向规定为从 源点指向场点。 1)证明下列结果,并体会对源变数求微商(V80+22)与对场变数求 微商(V=Ex+,+2)的关系 Vr=-V=-V-=-V-= 0.V V3=0(F≠0) (最后一式在人r=0点不成立,见第二章第五节)。 2)求 V·F,V×F,(a·V,V(a·P)V[ E. sin(k,)及V×[Esin(k·F),其中ak及E均为常矢量。 证明;V·r= a(x-x),a(y-y),a(=-2) az V×F 0 ax ay GaV)=(a2x+a1,+a:e1)(x+p,+:)x-x)x+(y-y)e,+(2-2)] (a1x+a,+a2(x-x)e+(y-y)e,+(2-2)e2] ae ta V(a·F)=a×(V×F)+(a·V)+rx(Vxa)+(F,V)·a =(aV)+F×(V×a)+(Fa)a =a+F×(V×a)+(V)·a V[ E sin(k,F)=(sin(k·F)E。+sin(k·F(v·E)电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 2 - du dA e u y u du dA x u du dA e x u du dA z u du dA e z u du dA y u du dA z y x y x z x y z r r r r r r r r r r = ∇ × ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 3. 设 ' 2 ' 2 ' 2 r = (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) 为源点 ' x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 ( ) ' ' ' ' z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = r r r 与对场变数求 微商( ) z e y e x ex y z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∇ = r r r 的关系 , 0, 0.( 0) 1 1 , 3 ' 3 3 3 ' ' ∇ = −∇ = ∇ = −∇ = − ∇ × = ∇ ⋅ = −∇ = r ≠ r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求 r, r,(a )r, (a r), [E0 sin(k r)]及 [E0 sin(k r)],其中a, k及E0均为常矢量 r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ ∇ × ⋅∇ ∇ ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ∇ × ⋅ 证明 3 ( ) ( ) ( ) ' ' ' = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∇ ⋅ = z z z y y y x x x r r 0 ' ' ' = − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ × = x x y y z z x y z e e e r x y z r r r r ( ) [( ) ( )][( ') ( ') ( ') ] x x y y z z x y z x y z e x x e y y e z z e z e y e x a r a e a e a e v r v v v v v v v r v − + − + − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∇ = + + ⋅ ( )[( ') ( ') ( ') ] x y z x y z x x e y y e z z e z a y a x a v r v − + − + − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = a e a e a e a x x y y z z v v v v = + + = a r a r a r r a r a v v v v v v r v v v ∇( ⋅ ) = × (∇ × ) + ( ⋅∇) + × (∇ × ) + ( ⋅∇)⋅ a r r a r a a v v v v v r v = ( ⋅∇) + ×(∇× ) + ( ⋅ )⋅ a r a r a v v v v v = + × (∇ × ) + ( ⋅∇)⋅ [ sin( )] [ (sin( )] sin( )( ) 0 0 E0 E k r k r E k r r r r r r r r r r ∇ ⋅ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ + ⋅ ∇ ⋅