动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 [ sin(k r)e,+sin(k- r)e,+o sin(k r)e Ec cos(k·F)(k,ex+k,e,+k2e:)E0=cos(k,F)k·E) V×[Esin(k·P=[sin(kf×E+sin(k·P)V×E 4.应用高斯定理证明 dV×∫=dS 应用斯托克斯( Stokes)定理证明 Vφ=dp 证明:1)由高斯定理 dv·g=9ds·g ag r. ag,, ag )dv=p g, dS, +8, dS, +g 而[Vxf f-f)i+( -fj+(f -)k]dI j[a(k-f万)+(7-k)+G1-f 又:55×7=dS,-f4S+(45:-45,)+(,46,-dS,) =4(k-f)4S+(7-/416,+(1-f1)dS 若令H=J,k-f1,H,=J1-fk,Hz=Jx-f,1 则上式就是: v,d=as.,高斯定理,则证毕 2)由斯托克斯公式有 乐d=v×7 乐/:d=(an+,d,+/) f·dS f--f ds+(f-f , -f)ds 而=乐(,+d,+9m)电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 3 - 0 [ sin( ) sin( ) sin(k r)e ]E z k r e y k r e x x y z r r r r r r r r r ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = cos( )( ) cos( )( ) k r kx ex k y ey kzez E0 k r k E r r r r r r r r r r = ⋅ + + = ⋅ ⋅ 0 0 0 [E sin(k r)] [ sin(k r)] E sin(k r) E r r r r r r r r r ∇ × ⋅ = ∇ ⋅ × + ⋅ ∇ × 4. 应用高斯定理证明 ∫ ∫ ∇ × = × V S dV f dS f r r r 应用斯托克斯 Stokes 定理证明 ∫ ∫ ×∇ = S L dS φ dl φ r r 证明 1)由高斯定理 ∫ ∫ ∇ ⋅ = ⋅ V S dV g dS g r r r 即 ∫ ∫ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ S x x y y z z V x y z dV g dS g dS g dS z g y g x g ( ) 而 f k dV y f x f j x f z f i z f y fdV z y x z y x V [( ) ( ) ( ) ] r r r r ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × = ∫ ∫ ∫ − ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ = f j f i dV z f i f k y f k f j x y z z x x y [ ( ) ( ) ( )] r r r r r r 又 dS f [( f dS f dS )i ( f dS f dS ) j ( f dS f dS )k ] y S z y y z x z z x y x x S r r r r r ∫ ∫ × = − + − + − ∫ = y − z x + z − x y + x − y dSz ( f k f j)dS ( f i f k )dS ( f j f i ) r r r r r r 若令 H f k f j H f i f k H f j f i x y z y z x Z x y r r r r r r = − , = − , = − 则上式就是 ∫ ∫ ∇ ⋅ = ⋅ V S HdV dS H r r r ,高斯定理 则证毕 2)由斯托克斯公式有 ∫ ∫ ⋅ = ∇ × ⋅ l S f dl f dS r r r r ∫ ∫ ⋅ = + + l x x y y z z l f dl ( f dl f dl f dl ) r r ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∇ × ⋅ = S z y x x z y y x z S f dS y f x f dS x f z f dS z f y f dS ( ) ( ) ( ) r r 而 ∫ ∫ = + + l i x j y k z l dl φ (φ dl φ dl φ dl ) r