动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 529(2△)+19单,图心,从 k-opD) Dds ay 若令x=中,,=,厂=9 则证毕 5已知一个电荷系统的偶极矩定义为 P()=p(x,0)d 利用电荷守恒定律V.7+9=0证明P的变化率为: =[J(x,1)d 证明:OP xdv 2.=x=-()x),M=J(-V(x万M d 若S→,则(x)d5=0.(=0) ,=J,(P)= dP 即 dt j(, t di 6.若m是常矢量,证明除R=0点以外,矢量Asm×R 的旋度等于标量q= m·R 的梯 度的负值,即 其中R为坐标原点到场点的距离,方向由原点指向场点 m×R) V×A=XR-V×[m×(V=(Vm+(mV-V(-(V)V示电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 - 4 - ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ×∇ = S y z z x x y S dS k x dS y dS j z dS x dS i y dS z dS r r r r ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ φ φ φ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = x y z i dS y j x k dS x i z j dS z k y ( ) ( ) ( ) φ r φ r φ r φ r φ r φ r 若令 x i y j z k f = φ , f = φ , f = φ 则证毕 5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ( ) ( , ) , ' ' ' ∫ = V P t x t x dV r r r ρ 利用电荷守恒定律 = 0 ∂ ∂ ∇ ⋅ + t J r ρ 证明 P r 的变化率为 ∫ = V J x t dV dt dP ' ' ( , ) r r r 证明 ∫ ∫ = − ∇ ∂ ∂ = ∂ ∂ V V x dV j x dV t t P ' ' ' ' ' ' ' r r r r r ρ ∫ ∫ ∫ = − ∇ = − ∇ ⋅ − ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ ∂ ∂ V x V x j x dV x j x j dV j x j dV t P ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) [ ( ) ( ) ] ( ( ) r r r r r ∫ ∫ = − ⋅ S j xdV xj dS r r ' 若 → ∞, ( )⋅ = 0,( = 0) ∫ S S xj dS j r r r 则 同理 ∫ ∫ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ' ' ( ) ,( ) j dV t j dV t y y z z ρ ρ r r 即 ∫ = V j x t dV dt dP ' ' ( , ) r r r 6. 若 m r 是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 3 R m R A r r r × = 的旋度等于标量 3 R m R r r ⋅ ϕ = 的梯 度的负值 即 ∇ × A = −∇ϕ r 其中 R 为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点 证明 m r m r r m r m R m R m R A v v v v v v v v ) ] 1 )] [( 1 [ ( 1 ( ) 1 )] ( ) 1 [ ( ) ( 3 = −∇ × × ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅∇ ∇ − ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅∇ × ∇ × = ∇ ×