·604. 智能系统学报 第12卷 根据文献[19]，当服务器的服务速率为时， 对于任意的ceN,fc)>0,且limf(c)=+o, 单个服务器的动态能耗为似（单位为瓦），其中k 因此f代c)∈(0，+o),在c的定义域内必存在最优 为功耗比例因子，α≥3。由于系统中服务第i类用 户请求的平均服务器数量为cp,(i=1,2),因此系统 值c·使得f(c·)=minf(c)。我们可采用边际分析 的动态能耗为 法计算c的最优值c·,即c·满足以下两个条件： P动=cp1b+p2好=k入u1+k入g- fc)<fc·-1) 系统的总体能耗为 fc)<fc·+1) P=P静+P动=cP·+k入-1+k入- 5 算例分析 4 系统成本 下面针对具有两类用户请求的云计算中心的 云计算中心作为服务系统，用户请求的等待时 间反应了的系统的服务质量，较长的等待时间必然 排队模型进行数值实验。假设h,=40,h2=20,B= 影响用户对系统的评价，从而导致系统用户的 0.8,N=100,41=2=1.5,调整参数入1，A2或服务器 失。系统可以通过增加服务器的方式减少用户请 的数目c,计算系统的性能指标，并求解系统能耗及 求的等待时间。但是服务器的增加，必然导致系统 最优的服务器的数目。 能耗增加。下面构建系统成本，对系统服务器的数 例1假设两类用户请求的到达率不变，分析 量进行优化。 系统成本包括用户的等待成本和系统能耗成 服务器数量c对系统的影响。假设h,=40,h2=20, 本。令h,表示一个第i类用户请求单位时间的逗留 B=0.8,N=100,41=2=1.5,A1=1,A2=2.5,c=1, 费用，则系统的等待成本为h,E(L,)+hE(L,);令 2,…,7。表1计算了服务器个数c取不同值的情况 B为单位能耗价格，则系统的能耗成本为BP。,其中 下，系统的服务强度p、平均队长E(L,)和E(L2)、平 h>0,B>0,i=1,2。 均等待时间E(T)、系统能耗P总及系统单位时间成 因此，系统单位时间的成本为 本f(c)。表1显示随着服务器个数c的增加，p、 f(c)=h;E(L)+h2E(L2)+BP 系统最优成本可表示为如下数学规划问题： E(L,)、E(L2)、E(T)均减小，但是P。增加。随着c minf(c) 增加，系统的单位时间成本先增大后减小，在c=4 入1 A2 时f(c)取得最小值，且f(c°)=77.6718。实际上， s.t. <1 12 对于任意的（入，入2），最优值c·总是存在的，我们都 (c∈Nt 可以通过表1的方式求解最优值c”。 表1云计算中心的性能、能耗及成本分析（例1） Table 1 The performance,power consumption and cost of cloud computing centers (example 1) E(L,) E(L2) E(T) P总 f(c) 3 0.7778 0.6757 2.0407 0.7761 15.2295 80.0262 0.5833 0.6677 1.7397 0.6878 20.2116 77.6718 0.4667 0.6667 1.6816 0.6709 25.2432 80.4922 6 0.3889 0.6666 1.6693 0.6674 30.2872 84.2795 7 0.3333 0.6666 1.6671 0.6668 35.3343 88.2751 例2假设第二类用户请求的到达率不变， 其次，令c=c·,分析系统的如下性能参数：p、 分析第一类用户请求的到达率增大对系统的影 E(L,)、E(L,)、E(T)、Pa及f(c·)。表2的数 响。假设h1=40,h2=20,B=0.8,N=100, 值结果显示随着入，增大，c·不变或增大（如 u1=u2=1.5,入2=3，入1∈[0.5,3]。首先，对 图3所示)，E(L,)、P及f(c·)均随着入1增大 于给定的入，通过例1的方法求解最优值c·。 而增大。根据文献［１９］，当服务器的服务速率为 μ 时， 单个服务器的动态能耗为 ｋμ α （单位为瓦），其中 ｋ 为功耗比例因子， α ≥３。 由于系统中服务第 ｉ 类用 户请求的平均服务器数量为 ｃρｉ（ｉ ＝ １，２）， 因此系统 的动态能耗为 Ｐ动 ＝ ｃρ１ ｋμ α １ ＋ ｃρ２ ｋμ α ２ ＝ ｋλ１μ α－１ １ ＋ ｋλ２μ α－１ ２ 系统的总体能耗为 Ｐ总 ＝ Ｐ静 ＋ Ｐ动 ＝ ｃＰ ∗ ＋ ｋλ１μ α－１ １ ＋ ｋλ２μ α－１ ２ ４ 系统成本 云计算中心作为服务系统，用户请求的等待时 间反应了的系统的服务质量，较长的等待时间必然 影响用户对系统的评价，从而导致系统用户的丢 失。 系统可以通过增加服务器的方式减少用户请 求的等待时间。 但是服务器的增加，必然导致系统 能耗增加。 下面构建系统成本，对系统服务器的数 量进行优化。 系统成本包括用户的等待成本和系统能耗成 本。 令 ｈｉ 表示一个第 ｉ 类用户请求单位时间的逗留 费用，则系统的等待成本为 ｈ１Ｅ Ｌ１ ( ) ＋ ｈ２Ｅ（Ｌ２ ）；令 β 为单位能耗价格，则系统的能耗成本为 βＰ总，其中 ｈｉ ＞ ０，β ＞ ０，ｉ ＝ １，２。 因此，系统单位时间的成本为 ｆ(ｃ) ＝ ｈ１Ｅ（Ｌ１ ） ＋ ｈ２Ｅ（Ｌ２ ） ＋ βＰ总 系统最优成本可表示为如下数学规划问题： ｍｉｎｆ（ｃ） ｓ．ｔ． λ１ ｃμ１ ＋ λ２ ｃμ２ ＜ １ ｃ ∈ Ｎ ＋ ì î í ï ïï ï ï 对于任意的 ｃ∈Ｎ ＋ ， ｆ（ｃ）＞０，且 ｌｉｍ ｃ→＋¥ ｆ（ｃ） ＝ ＋ ¥， 因此 ｆ（ｃ） ∈ （０， ＋ ¥） ，在 ｃ 的定义域内必存在最优 值 ｃ ∗ 使得 ｆ（ｃ ∗ ） ＝ ｍｉｎｆ（ｃ）。 我们可采用边际分析 法计算 ｃ 的最优值 ｃ ∗ ，即 ｃ ∗ 满足以下两个条件： ｆ（ｃ ∗ ） ＜ ｆ（ｃ ∗ － １） ｆ（ｃ ∗ ） ＜ ｆ（ｃ ∗ ＋ １） { ５ 算例分析 下面针对具有两类用户请求的云计算中心的 排队模型进行数值实验。 假设 ｈ１ ＝ ４０，ｈ２ ＝ ２０，β ＝ ０．８，Ｎ＝ １００，μ１ ＝ μ２ ＝ １．５，调整参数 λ１ ，λ２ 或服务器 的数目 ｃ，计算系统的性能指标，并求解系统能耗及 最优的服务器的数目。 例 １ 假设两类用户请求的到达率不变，分析 服务器数量 ｃ 对系统的影响。 假设 ｈ１ ＝ ４０，ｈ２ ＝ ２０， β ＝ ０．８，Ｎ ＝ １００，μ１ ＝ μ２ ＝ １．５，λ１ ＝ １，λ２ ＝ ２．５，ｃ ＝ １， ２，…，７。 表 １ 计算了服务器个数 ｃ 取不同值的情况 下，系统的服务强度 ρ、平均队长 Ｅ（Ｌ１ ）和 Ｅ（Ｌ２ ）、平 均等待时间 Ｅ（Ｔ）、系统能耗 Ｐ总 及系统单位时间成 本 ｆ（ ｃ）。 表 １ 显示随着服务器个数 ｃ 的增加，ρ、 Ｅ（Ｌ１ ）、Ｅ（Ｌ２ ）、Ｅ（Ｔ）均减小，但是 Ｐ总 增加。 随着 ｃ 增加，系统的单位时间成本先增大后减小，在 ｃ ＝ ４ 时 ｆ（ｃ）取得最小值，且 ｆ（ｃ ∗ ）＝ ７７．６７１ ８。 实际上， 对于任意的（λ１ ，λ２ ），最优值 ｃ ∗总是存在的，我们都 可以通过表 １ 的方式求解最优值 ｃ ∗ 。 表 １ 云计算中心的性能、能耗及成本分析（例 １） Ｔａｂｌｅ １ Ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ，ｐｏｗｅｒ ｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｓｔ ｏｆ ｃｌｏｕｄ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｃｅｎｔｅｒｓ （ｅｘａｍｐｌｅ １） ｃ ρ Ｅ（Ｌ１ ） Ｅ（Ｌ２ ） Ｅ（Ｔ） Ｐ总 ｆ（ｃ） ３ ０．７７７ ８ ０．６７５ ７ ２．０４０ ７ ０．７７６ １ １５．２２９ ５ ８０．０２６ ２ ４ ０．５８３ ３ ０．６６７ ７ １．７３９ ７ ０．６８７ ８ ２０．２１１ ６ ７７．６７１ ８ ５ ０．４６６ ７ ０．６６６ ７ １．６８１ ６ ０．６７０ ９ ２５．２４３ ２ ８０．４９２ ２ ６ ０．３８８ ９ ０．６６６ ６ １．６６９ ３ ０．６６７ ４ ３０．２８７ ２ ８４．２７９ ５ ７ ０．３３３ ３ ０．６６６ ６ １．６６７ １ ０．６６６ ８ ３５．３３４ ３ ８８．２７５ １ 例 ２ 假设第二类用户请求的到达率不变， 分析第一类用户请求的到达率增大对系统的影 响。 假设 ｈ１ ＝ ４０，ｈ２ ＝ ２０，β ＝ ０．８，Ｎ ＝ １００， μ１ ＝ μ２ ＝ １．５，λ２ ＝ ３，λ１ ∈ [０．５，３ ] 。 首先，对 于给定的 λ１ ，通过例 １ 的方法求解最优值 ｃ ∗ 。 其次，令 ｃ ＝ ｃ ∗ ， 分析系统的如下性能参数：ρ、 Ｅ（ Ｌ１ ） 、Ｅ（ Ｌ２ ） 、Ｅ（ Ｔ） 、Ｐ 总 及 ｆ（ ｃ ∗ ） 。 表 ２ 的 数 值结 果 显 示 随 着 λ１ 增 大， ｃ ∗ 不 变 或 增 大 （ 如 图 ３所示） ，Ｅ（ Ｌ１ ） 、Ｐ 总 及 ｆ（ ｃ ∗ ） 均随着 λ１ 增大 而增大。 ·６０４· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷