6是否存在F的一个线性变换σ,使o(E2)=E2,而对于任意不等于e2的的元素a,都有o(a)=0? 答不存在.因为如果0(E2)=e2,令a=2e,则a≠2,但o(a)=2(E2)=2e2≠0 7设V是数域F上的线性空间,σ∈g(V),a∈V.证明: ①U={g(o)g(x)∈Fx])}是F上的线性空间 ②W={g(o)a)g(x)∈FKx])}是V的子空间 ③存在0≠h(x)∈F[x]使得h(o)a)=0 证①对任意g(o),h(o)∈U任意k∈F, 记fG=g(o)+h(o),则fo)∈U kg(o)∈U 所以U是(V)的子空间,故U是F上的线性空间 ②对任意g(oa),h(oa)∈W,任意k∈F, 记fo)(a)=(g()+h(o)(a),则f(o)a)∈W kg(o(a)∈W 所以W是V的子空间 ③设dm(V=n,则V中任意n+1个向量线性相关,所以a,(α),2(a),(a)一定线性相 关,即存在不全为零的数k1,k2,…,knt使 kia+ k2o(a) k30(a)+. t km+1 o(a=0 a h(x)=kI+kxx+ k3x2++kn+ixn 则hx)∈F[x],且h(x)≠0,使得h(oa)=0 8.设V是数域F上的n维线性空间,设():{B1,B2,…,Bn}是V的一个基,对于i=1,2,,n, j=1,2,,n,令o∈(V),使得,对于t≠i,都有oi(β)=0;o(B)=β1.证明 {ol=1,2,,nj=1,2,,n} 是g(V)的一个基 证设有n×n个数k,(i=1,2,,nj=12,,n),使 k+k12012+k3G13+..+k1nGn+ 用等号两端分别对β1变换得 kIBr+k12B2+k13B3..+kInN 由于{B1,β2,…,Bn}线性无关,所以 k1=k12=k= 同理,分别用(1)对β1,P2,…,变换,会得出k全部为零的结论,即{o=12,,nj=1,2,,n} 线性无关 又,对于任意G∈(V),它在基{B1,2,…,βn}下有唯一的矩阵A,设A的第i列向量 为(ku,k2,,kn),则G可以表示为 o= k11G11+k21012+.. knIgInt6.是否存在F 3的一个线性变换σ，使σ(ε2)= ε2，而对于任意不等于ε2的V的元素α，都有σ(α)=0？ 答 不存在．因为如果σ(ε2)= ε2，令α=2ε2，则α≠ε2，但σ(α)=2σ(ε2)= 2ε2≠0． 7.设 V 是数域 F 上的线性空间，σ∈ℒ(V)，α∈V．证明： ① U={g(σ)|g(x)∈F[x])}是 F 上的线性空间． ② W={g(σ)(α)|g(x)∈F[x])}是 V 的子空间． ③存在 0≠h(x)∈F[x],使得 h(σ)(α)=0． 证 ① 对任意 g(σ) ，h(σ)∈U,任意 k∈F， 记 f(σ)= g(σ) +h(σ) ，则 f(σ)∈U kg(σ)∈U 所以 U 是ℒ(V)的子空间，故 U 是 F 上的线性空间． ②对任意 g(σ)(α) ，h(σ)(α)∈W,任意 k∈F， 记 f(σ)(α)= (g(σ) +h(σ))(α) ，则 f(σ)(α)∈W kg(σ)(α)∈W 所以 W 是 V 的子空间． ③设 dim(V)=n,则 V 中任意 n+1 个向量线性相关，所以α, σ(α), σ 2(α),..., σ n(α)一定线性相 关，即存在不全为零的数 k1，k2，...，kn+1 使 k1α+ k2σ(α)+ k3σ 2(α)+...+ kn+1 σ n(α)=0 令 h(x)= k1+ k2x+ k3x 2+...+ kn+1x n 则 h(x)∈F[x]，且 h(x)≠0，使得 h(σ)(α)=0． 8. 设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，，设(Ⅱ)：{β1，β2，...，βn }是 V 的一个基，对于 i=1,2,...,n， j=1,2,...,n，令σij∈ℒ(V)，使得，对于 t≠i，都有σij(βt)=0；σij(βi)= βj ．证明： {σij|i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} 是ℒ(V)的一个基． 证 设有 n×n 个数 kij，（i=1,2,...,n;j=1,2,...,n），使 k11σ11+k12σ12+k13σ13+... +k1nσ1n+ +k21σ21+ k22σ22+ k23σ23+...+ k2nσ2n+ ... + kn1σn1+ kn2σn2+kn3σn3+...+ knnσnn =0 （1） 用等号两端分别对β1变换得 k11β1+k12β2+k13β3+... +k1nβn=0 由于{β1，β2，...，βn }线性无关，所以 k11= k12= k13=...= k1n=0 同理，分别用（1）对β1，β2，...，βn变换，会得出 kij全部为零的结论，即{σij|i=1,2,...,n;j=1,2,...,n} 线性无关． 又，对于任意σ∈ℒ(V)，它在基{β1，β2，...，βn}下有唯一的矩阵 A，设 A 的第 i 列向量 为(k1i, k2i,..., kni)T，则σ可以表示为 σ= k11σ11+k21σ12+..., kn1σ1n+ + k12σ21+k22σ22+..., kn2σ2n+ ... +k1nσn1+k2nσn2+..., knnσnn+