.1414 工程科学学报，第41卷，第11期 相互独立的样本，其中参数0是一个未知的常数 E[h(©x=∫h(eπ(dB (6) 得到贝叶斯公式： 在后验概率分布π(x)中抽取大量的独立分布 f(xe)π(0) π(x)= (2) 样本观测值0其中=l,2,…,m,可得下式： ∑：f(axe)π(o)de 该公式中，参数0的分布是离散的.如果参数 =∑ (7) 0的分布是连续的，则贝叶斯公式则变为如下所示： 根据选择的似然函数、先验分布(y为独立分 f(xπ(0 π(x)= (3) 布样本)等，利用Proposal分布py)与不变分布 「f(x0π(0d0 q(ybyXy"为MCMC抽样后的建议新样本值)，从当 前位置抽取候选值Markov链从y转移到y的可能 其中，其中π指的是参数的概率分布，π()和π(x) 性是1： 分别指的是0的先验概率和后验概率，x)指的 是观测到的样本信息，也就是似然函数，日是0的 A(y.y)= p(y")qly) (8) p(y)g(yly) 参数空间 先验分布是贝叶斯理论的重要一环，是对事 当Proposal分布函数满足对称随机q6ly)= 件的主观经验和主观判断，先验分布的构造主要 q0y时，接受概率简化为 有扩散先验分布和共扼先验分布两类.扩散先验 A0y)=1, (9) p(vi) 分布的构造方法除最大嫡法外，还包括相对似然 函数法、蒙特卡洛方法、积累函数法等) 式中，(*)为似然度算子，其值越小表示模拟值与 似然函数是贝叶斯方法的重要基础，其理论 观测值相似程度越高，为独立样本，=1,2，…，m 发展主要得益于Fisher提出的似然原理]贝叶 通过以上公式，产生一个[0,1]间均匀分布的随机 斯方法极大后验估计方法来源于似然原理中的极 数R,如果R<A,y),则接受该测试参数并设定为 大似然估计法，目前该方法仍然广泛应用在各学 当前模型参数o,即y+)=y;否则不接收该测试 科中 参数，y+1山)=i. 若样本X,(=1,…,n)的每个样本信息相互独 通过迭代重复上述步骤，这样对足够大的 立，则样本x=(X,…,X)的似然函数x0可用下 k值，序列yk+)yk+2·ym可以认为是后验分布的 式计算 抽样2四.和独立样本一样，可以用这个序列来估 计一些数字特征，比如后验均值.这种方法可以完 f(x0= (4) 全不考虑所选的q(yy)(当然必须服从某些正则 i=l 条件)2四 1.2贝叶斯统计推断模型的求解方法 在多参数问题的反演分析中，虽然已知其后 2矿井突水水源模型样本 验分布，但是很难用显式表示，更难以用数值分析 2.1突水水源判别指标的确定 方法进行参数估计]因此，需要采用舍选法、重 各含水层中的水化学成分众多，而各含水层 要抽样法或马尔可夫链蒙特卡洛法(Markov chain 又是受天然、人为因素共同影响的统一体.水中 Monte Carlo,MCMC)等方法在后验分布空间抽样4-1， 主要离子有：Na+K*、Ca2+、Mg2+、HCO、C、SO2 进行参数估计. (这6项是水中的主要离子，也是常用分析离子)， 马尔可夫链蒙特卡洛法(MCMC)方法的样本 以及Fe、Fe2+、CO}、NO5、Mn2+等.但是，考虑每 是通过Markov链搜索变量空间u,Markov链在最 一种化学离子是不现实的，也是不经济的，必须综 可能的区间进行搜索通过迭代产生模拟序列 合考虑离子的重要性和数据的有效性4因此，本 Yo,Yi,Y2,…,Yn,其中Yo为任意初始值，Yn+的转移 文选取了Mg2+、Na+K*、Ca2+、SO、CI和HCO共 概率只与其前一个状态Yn有关，即： 6项指标作为判别因子 P(Yn+I=ylYn,Yn-1,..,Yo)=P(Yn+ilYn) (5) 2.2贝叶斯判别样本的建立 蒙特卡洛抽样方法刀基本思想是通过大量取 根据各含水层的水质特征和实际的判别需 样近似得到预期结果.根据后验概率π(x,如果 要，将矿区的突水水源分为4类：海水为I类、第 h()=0.那么h()的后验概率为 四系孔隙水为Ⅱ类、基岩裂隙水为Ⅲ类、淡水为相互独立的样本，其中参数 θ 是一个未知的常数. 得到贝叶斯公式： π(θi |x) = f (x|θi)π(θi) ∑ i f (x|θi)π(θ)dθi （2） 该公式中，参数 θ 的分布是离散的. 如果参数 θ 的分布是连续的，则贝叶斯公式则变为如下所示： π(θ|x) = f (x|θ)π(θ) r Θ f (x|θ)π(θ)dθ （3） 其中，其中 π 指的是参数的概率分布，π(θ) 和 π(θ|x) 分别指的是 θ 的先验概率和后验概率，f(x|θ) 指的 是观测到的样本信息，也就是似然函数，Θ 是 θ 的 参数空间[12] . 先验分布是贝叶斯理论的重要一环，是对事 件的主观经验和主观判断，先验分布的构造主要 有扩散先验分布和共扼先验分布两类. 扩散先验 分布的构造方法除最大熵法外，还包括相对似然 函数法、蒙特卡洛方法、积累函数法等[13] . 似然函数是贝叶斯方法的重要基础，其理论 发展主要得益于 Fisher 提出的似然原理[13] . 贝叶 斯方法极大后验估计方法来源于似然原理中的极 大似然估计法，目前该方法仍然广泛应用在各学 科中. 若样本 Xi (i=1, …, n) 的每个样本信息相互独 立，则样本 x =(X1 , …, Xi ) 的似然函数 f(x|θ) 可用下 式计算. f (x|θ) = ∏n i=1 f (x; θ) （4） 1.2    贝叶斯统计推断模型的求解方法 在多参数问题的反演分析中，虽然已知其后 验分布，但是很难用显式表示，更难以用数值分析 方法进行参数估计[13] . 因此，需要采用舍选法、重 要抽样法或马尔可夫链蒙特卡洛法（Markov chain Monte Carlo, MCMC）等方法在后验分布空间抽样[14−15] ， 进行参数估计. Y0 Y1 Y2 Yn Y0 Yn+1 Yn 马尔可夫链蒙特卡洛法（MCMC）方法的样本 是通过 Markov 链搜索变量空间[16] ，Markov 链在最 可能的区间进行搜索[10] . 通过迭代产生模拟序列 ， ， ，…， ，其中 为任意初始值， 的转移 概率只与其前一个状态 有关，即： P(Yn+1 = y|Yn,Yn−1,· · ·,Y0) = P(Yn+1|Yn) （5） π(θ|x) h(θ) = θ h(θ) 蒙特卡洛抽样方法[17] 基本思想是通过大量取 样近似得到预期结果. 根据后验概率 ，如果 ，那么 的后验概率为 E [h(θ)|x] = ∫ h(θ)π(θ)dθ （6） π(θ|x) θi 在后验概率分布 中抽取大量的独立分布 样本观测值 其中 i=1, 2, …, m，可得下式： hm = 1 m ∑m i=1 h(θi) （7） p(y) q(y ∗ |y) y ∗ y ∗ 根据选择的似然函数、先验分布（y 为独立分 布样本 ）等 ，利 用 Proposal 分 布 与不变分布 ( 为 MCMC 抽样后的建议新样本值)，从当 前位置抽取候选值 Markov 链从 转移到 y 的可能 性是[18] ： A(y, y ∗ ) = { 1, p(y ∗ )q(y|y ∗ ) p(y)q(y ∗ |y) } （8） q(y ∗ |y) = q(y|y ∗ ) 当 Proposal 分布函数满足对称随机 时，接受概率简化为[19] ： A(yi , y ∗ ) = { 1, p(y ∗ ) p(yi) } （9） R < A(yi , y ∗ ) y(i+1) = y ∗ y(i+1) = yi 式中，p(*) 为似然度算子，其值越小表示模拟值与 观测值相似程度越高，yi 为独立样本，i=1, 2, …, m. 通过以上公式，产生一个 [0, 1] 间均匀分布的随机 数 R，如果 ，则接受该测试参数并设定为 当前模型参数[20] ，即 ；否则不接收该测试 参数， . y(k+1) , y(k+2) ,··· , yn q(y ∗ |y) 通过迭代重复上述步骤. 这样对足够大的 k 值，序列 可以认为是后验分布的 抽样[21] . 和独立样本一样，可以用这个序列来估 计一些数字特征，比如后验均值. 这种方法可以完 全不考虑所选的 （当然必须服从某些正则 条件）[22] . 2    矿井突水水源模型样本 2.1    突水水源判别指标的确定 各含水层中的水化学成分众多，而各含水层 又是受天然、人为因素共同影响的统一体. 水中 主要离子有：Na++K+、Ca2+、Mg2+、HCO3 −、Cl−、SO4 2−[23] （这 6 项是水中的主要离子，也是常用分析离子）， 以及 Fe3+、Fe2+、CO3 2−、NO3 −、Mn2+等. 但是，考虑每 一种化学离子是不现实的，也是不经济的，必须综 合考虑离子的重要性和数据的有效性[24] . 因此，本 文选取了 Mg2+、Na++K+、Ca2+、SO4 2−、Cl−和 HCO3 −共 6 项指标作为判别因子. 2.2    贝叶斯判别样本的建立 根据各含水层的水质特征和实际的判别需 要，将矿区的突水水源分为 4 类：海水为Ⅰ类、第 四系孔隙水为Ⅱ类、基岩裂隙水为Ⅲ类、淡水为 · 1414 · 工程科学学报，第 41 卷，第 11 期