数列极限的性质 1有界性 定理1收敛的数列必定有界 证设 limr=,由定义,取ε=1, 则N,使得当n>N时恒有xn-a<1, 即有a-1<x,<a+1. 记M=max{x1,…,xx,a-1,a+1}, 则对一切自然数n,皆有xn≤M,故{xn有界 注意:有界性是数列 推论无界数列必定发散 收敛的必要条件定理1 收敛的数列必定有界. 证 lim x a, n n = → 设 由定义, 取 = 1, N, n  N x − a  1, 则 使得当 时恒有 n a − 1  x  a + 1. 即有 n max{ , , , 1, 1}, 记 M = x1  xN a − a + n, x M, 则对一切自然数 皆有 n  故 有界. xn 注意：有界性是数列 收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 一、数列极限的性质 1.有界性