2唯一性 定理2每个收敛的数列只有一个极限 证设imxn=a,又imxn=b,a<b由定义, b-a 对于E= 彐N1,N2使得 当n>N时恒有xn-a<;取N=max{N,N2} 当n>N2时恒有xn-b<E; 则当n>N时有xn-a< b-a b-a xu-b< a+b a+b 即 矛盾! 2 上式仅当n=时才能成立故极限睢-國2.唯一性 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 证 x a xn b a b n n n = =  → → 设 lim ,又 lim , 由定义, 对 于 , , .使 得 2 N1 N2 b a  −  = ; 1 n  N x − a   当 时恒有 n ; 2 n  N x − b   当 时恒有 n max , , 取N = N1 N2 则当n  N时有 2 b a xn a − −  即 矛盾！ 2 , 2 a b x a b xn n +  +  上式仅当a = b时才能成立. 故极限唯一. 2 b a xn b − − 