第七讲解析函数的局域性展开(续 第7页 其中 _(=)(2)2+n n=0,1,2, Jn(2)=1<04(a+m)!(2 称为n阶 Bessel函数 如果无穷远点是函数f(2)的奇点,而在无穷远点的邻域内单值解析的话,则可将f(x)在∞ 点的邻域内作 Laurent展开(有时就简单地说成在∞点作 Laurent展开) ★所谓∫(z)在∞点的邻域內内(∞点除外)单值解析,就意味着作变换t=1/z,函数∫(1/t)在 t=0点的邻域内(t=0除外)单值解析,因而 ant,0<团< f(2)=∑an2n,<l< 这里的收敛范围可以看成是以∞点为心的一个环域 ★f(1/t)的 Laurent级数中正幂项(包括常数项)部分是正则部分,负幂项是主要部分.因此, 完全对应地,我们把∫(z)在z=∞点邻城内的 Laurent级数中,z的负幂项称为正则部分, 而正幂项称为主要部分,正幂项完全反映了函数f(2)在∞点的奇异性 上面的例4和例6的第二种情形以及例7,也都可以看成是在∞点邻域内 Laurent晨开Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 7 ✎ ❪ ❫ Jn(z) =    X∞ l=0 (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n , n = 0, 1, 2, · · · ; X∞ l=−n (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n , n = −1, −2, −3, · · · ❽❑ n ❶ Bessel ✬✭❇ ➫⑩➯❷❸✴❴✬✭ f(z) ◆❁✴✹â✱➯❷❸✴◆➪❘ ❨ ❚❯✲✳◆t✹ ❱✰✿ f(z) ✱ ∞ ✴◆➪❘ ❨✵ Laurent ✶✷ (✺✻❉❹ ❚❺➟❄✱ ∞ ✴✵ Laurent ✶✷) ❇ F ❻❼ f(z) ✮ ∞ ❽➆❾ ✲ ✳ (∞ ❽✜✤) ❿➀➁➂✹❂➃➄➅➆➇➈ t = 1/z ✹✭➂ f(1/t) ✮ t = 0 ❽➆❾ ✲ ✳ (t = 0 ✜✤) ❿➀➁➂✹✵❲ f  1 t  = X∞ n=−∞ ant n , 0 < |t| < r, f(z) = X∞ n=−∞ anz −n , 1 r < |z| < ∞. ❾❿➆ ✼✽ ➉➉☞ ✌P ➎✗ ✌ ∞ ❽➐ ➊➋➆➌✻✱✲❇ F f(1/t) ➆ Laurent ✿ ➂ ➅❪✾❱ (➌➍➎➂ ❱) ➏➈✗❪➐➏➈✹ ❯ ✾❱✗➑✓ ➏➈❇✵✢✹ ➒➓➔❊→✹ ◆❖➀ f(z) ✮ z = ∞ ❽❾ ✲ ✳➆ Laurent ✿ ➂ ➅✹z ➆ ❯ ✾❱➣➐❪➐➏➈✹ ❲ ❪✾❱➣➐➑ ✓ ➏➈❇❪✾❱ ➒➓↔↕ ➏ ✭➂ f(z) ✮ ∞ ❽➆➙➛➜❇ ❙➝◆⑦ 4 s⑦ 6 ◆➞➟➠❵P❏r⑦ 7 ✹➜➡✰❏➢❄❴✱ ∞ ✴➪ ❘ ❨ Laurent ✶✷❇