§73单值函数的孤立奇点 第8页 873单值函数的孤立奇点 定义设f(2)为单值函数(或多值函数的一个单值分枝),b点是它的奇点.如果在b点存 在一个邻域,在该邻域内(除b点外),f(2)处处可导,则称b为f(2)的孤立奇点 非狐立奇点的例子 对于函数1/sin(1/z),显然,1/z=mπ,即z=1/n,n=0.,±1,±2,…是它的奇点.则z=0 是这些奇点的聚点极限点):在z=0的任意一个邻域中,总存在无穷多个奇点,故z=0是非孤 立奇点 如果z=b是单值函数f(x)的孤立奇点,则一定存在一个环域0<|z2-b<R,在该环域内, f(2)可以展开成 Laurent级数, f(2) 这时可能出现三种情况 ★级数展开式不含负幂项:b点称为f(z)的可去奇点 z=0就是函数 (2n+1)! <∞ 945 z|<π 的可去奇点 级数展开式只含有限个负幂项:b点称为f(2)的极点 ★级数展开式含有无穷多个负幂项:b点称为f(x)的本性奇点 下面分别讨论函数在三种奇点处的行为 可去奇点由于在可去奇点处,级数展开式中不含负幂项,故级数不只是在环域内收敛,而 且在环域的中心,即可去奇点z=b处也是收敛的 这时的收敛区域是一个圆,圆心在可去奇点z=b,级数在收敛圆内的任一闭区域中一致收敛 和函数连续 lim f(a)=lim>an2-b)=aoWu Chong-shi §7.3 ➤➥✆✝✞➦➧➨➩ ✍ 8 ✎ §7.3 ➫➭✥✦✧➯➲➳➵ ●➸ ■ f(z) ❑❚❯✬✭ (➺➻❯✬✭◆✪✫❚❯♣✉) ✹ b ✴❴ ❀ ◆❁✴❇➫⑩✱ b ✴➼ ✱✪✫➪ ❘ ✹✱➽➪ ❘ ❨ (✮ b ✴✸) ✹ f(z) ➾➾✰➚✹ ❱ ❽ b ❑ f(z) ◆➾➚❁✴❇ ➪➾➚❁✴◆⑦➶❇ ❲❳✬✭ 1/ sin(1/z) ✹ß à ✹1/z = nπ ✹➡ z = 1/nπ ✹n = 0, ±1, ±2, · · · ❴ ❀ ◆❁✴❇❱ z = 0 ❴ ❈➹❁✴◆➘✴ (➴➲✴) ➙✱ z = 0 ◆❩❜✪✫➪ ❘ ❫ ✹ ➷➼✱➯❷➻✫❁✴✹ å z = 0 ❴ ➪➾ ➚❁✴❇ ➫⑩ z = b ❴❚❯✬✭ f(z) ◆➾➚❁✴✹ ❱✪❏➼✱✪✫❖ ❘ 0 < |z − b| < R ✹✱➽❖ ❘ ❨✹ f(z) ✰❏✶✷❄ Laurent ❆✭✹ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n . ❈✻✰➩➬➮➱➠❵✃➙ F ❆✭✶✷④➦❐➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆✰❒❁✴❇ z = 0 ❉ ❴✬✭ sin z z = X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n , |z| < ∞ s 1 z − cot z = 1 3 z + 1 45 z 3 + 2 945 z 5 + · · · , |z| < π ◆✰❒❁✴❇ F ❆✭✶✷④❴ ❐✺➲✫➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆➴✴❇ F ❆✭✶✷④❐✺➯❷➻✫➬ ❅➥➙ b ✴❽❑ f(z) ◆ ❧Ó❁✴❇ ❮ ➝♣q↔↕✬✭✱➱➠❁✴➾◆❰❑❇ ûÏÐÑ ä❳✱✰❒❁✴➾✹❆✭✶✷④ ❫➦❐➬ ❅➥✹å ❆✭➦ ❴❴✱❖ ❘ ❨➸➺✹â Ò✱❖ ❘ ◆ ❫ ▼✹➡✰❒❁✴ z = b ➾➜❴ ➸➺◆❇ w w  ❈✻◆ ➸➺◗❘❴✪✫ ▲✹▲▼✱✰❒❁✴ z = b ✹❆✭✱➸➺ ▲ ❨ ◆❩✪❞◗❘ ❫✪➱➸➺✹ w w  s✬✭✇Ó ✹ lim z→b f(z) = lim z→b X∞ n=0 an(z − b) n = a0