第七讲解析函数的局域性展开(续) 第9页 函数在可去奇点处的极限值是有限的 用此极限值作为f(2)的定义 2≠b; f(2)=1imf(2) b 这样得到的f(z)在b点也就是解析的了 这正是可去奇点这一称谓的由来 反之,如果z=b是函数f(x)的孤立奇点,而且f(x)在z=b的邻域内有界,则z=b是f(2) 的可去奇点 证将∫(2)在z=b的邻域内作 Laurent展开, f(e) an(z-b)2,0<|z-b≤ 因为在圆C:|z-b=p上,|f(z)<M,所以 lanl=2ti (-b)m+ dz< 令p→0,即得 0,n=-1,-2,-3 □ 极点函数在极点邻域内的 Laurent展开有有限个负幂项 =a-m(z-b)m+a-m+(2-b)-m+1+…+a-1(z-b)-1+a0+a1(2-b)+ (2-b)-m[a-m+a-m+1(2-b)+a-m+2(z-b)2+ (2-b)-mo(a) o(x)在z=b点及其邻域内是解析的,a_m≠0.b点就称为f(x)的m阶极点 只要|z-b足够小,|∫(2)可以大于任何正数,即 imnf(z)=∞ 函数在极点处的极限值是∞,或者说,函数在极点附近是无界的 反之,如果b是f(2)的孤立奇点,且imf(2)=∞,则b是f(2)的极点 证因为limf(2)=∞0,故当|2-b<6时 f(2)> f)-<立Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 9 ✎ ✬✭✱✰❒❁✴➾◆➴➲ ❯❴ ✺➲◆❇ w w  ❭❞ ➴➲ ❯✵❑ f(z) ◆❏Ô✹ f(z) =    f(z), z 6= b; lim z→b f(z), z = b, ❈Õ❊❋◆ f(z) ✱ b ✴➜❉ ❴✲✳◆✯❇ ❈ ➤❴✰❒❁✴❈✪❽Ö◆ ä❼❇ Ð× ✹➫⑩ z = b ❴✬✭ f(z) ◆➾➚❁✴✹â Ò f(z) ✱ z = b ◆➪❘ ❨✺ ♦✹❱ z = b ❴ f(z) ◆✰❒❁✴❇ ♠ ✿ f(z) ✱ z = b ◆➪❘ ❨✵ Laurent ✶✷✹ f(z) = X∞ n=−∞ an(z − b) n , 0 < |z − b| ≤ ρ. á❑✱ ▲ C : |z − b| = ρ ❙✹ |f(z)| < M ✹❑❏ |an| =     1 2π i I C f(z) (z − b) n+1 dz     ≤ 1 2π I C |f(z)| |z − b| n+1 |dz| < M ρ n . ❶ ρ → 0 ✹➡❊ an = 0, n = −1, −2, −3, · · ·. Ø Ñ ✬✭✱➴✴➪ ❘ ❨◆ Laurent ✶✷✺✺➲✫➬ ❅➥✹ f(z) = X∞ n=−m an(z − b) n = a−m(z − b) −m + a−m+1(z − b) −m+1 + · · · + a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + · · · = (z − b) −m a−m + a−m+1(z − b) + a−m+2(z − b) 2 + · · · = (z − b) −mφ(z), φ(z) ✱ z = b ✴r ❪ ➪ ❘ ❨❴✲✳◆✹ a−m 6= 0 ❇ b ✴❉ ❽❑ f(z) ◆ m ❶➴✴❇ ❴ ✾ |z − b| ÙÚ➵✹ |f(z)| ✰❏Û❳ ❩❬➤✭✹➡ lim n→b f(z) = ∞. q ìíØ ÑòÖØÜ♣Ý ∞ ✹Þßà✹ q ìíØ ÑáâÝãäÖ❇ Ð× ✹➫⑩ b ❴ f(z) ◆➾➚❁✴✹ Ò lim z→b f(z) = ∞ ✹ ❱ b ❴ f(z) ◆➴✴❇ ♠ á❑ lim z→b f(z) = ∞ ✹ å ❮ |z − b| < δ ✻ ✹ |f(z)| > M, |f(z)| −1 < 1 M = ε,