§73单值函数的孤立奇点 第10页 于是可令 f(a)=(2- b)"g(z), 其中img(2)≠0,且g(z)在z=b及其邻域内解析.所以 f(2)=(z-b) 0(2)=(2-b)-mo2) 如果z=b是∫(x)的π阶极点,则必定是1/∫(∞)的m阶零点,反之亦然 利用这个关系,可以帮助我们寻找极点 z=n丌是1/sinz的一阶极点; z=2kπi,k=0,±1,±2…是1/(e2-1)的一阶极点; ·z=1是1/(2-1)2的二阶极点 本性奇点函数在本性奇点邻域内的 Laurent展开具有无穷多个负幂项 如果z=b是函数∫(z)的本性奇点,则当z→b时,f(2)的极限不存在 更准确地说,z→b的方式不冋,∫(z)可以逼近不冋的数值 例如,z=0是 0<|z|<∞o 的本性奇点.当z以不同方式趋于0时,就有不同的结果 ·当z沿正实轴趋于0时,e1/2→∞; ·当z沿负实轴趋于0时,el/a→0 当z沿虚轴趋于0时,el1/2不趋于一个确定的数 特别是 当z以序列±i/2mπ,n=1,2,3,…趋于0时,e1/恒为1(因而以1为其聚点) 当z以序列土i/(2n+1)π,n=0,1,2,3,…趋于0时,e1/2恒为-1(因而以-1为其聚点) ·当z以序列土i/(2n+1/2)r,n=0,1,2,…趋于0时,e/2恒为(因而以干i为其聚点) 可以证明,对于本性奇点z=b来说,任意给定一个数A(有限或∞),总可以找到一个 序列zn→b,使得∫(zn)→A(不证) 更准确地说,在本性奇点的任意一个小邻域内,函数f(2)可以取(并且取无穷多次) 任意的有限数值,顶多可能有一个例外Wu Chong-shi §7.3 ➤➥✆✝✞➦➧➨➩ ✍ 10 ✎ ➡ lim z→b 1 f(z) = 0. ❳ ❴✰❶ 1 f(z) = (z − b) mg(z), ❪ ❫ lim z→b g(z) 6= 0 ✹ Ò g(z) ✱ z = b r ❪ ➪ ❘ ❨✲✳❇❑❏ f(z) = (z − b) −m · 1 g(z) = (z − b) −mφ(z). å ❈ z = b ✗ f(z) ➆ m æç❽✹➐è✰ ✗ 1/f(z) ➆ m æé❽❇↔✣êë❇ ⑦❭❈✫❣ ➠✹✰❏ìíîïðñ➴✴❇ • z = nπ ❴ 1/ sin z ◆✪❶➴✴✃ • z = 2kπ i, k = 0, ±1, ±2, · · · ❴ 1/ ￾ e z − 1
◆✪❶➴✴✃ • z = 1 ❴ 1/(z − 1)2 ◆➟❶➴✴❇ ò ÙÐÑ ✬✭✱❧Ó❁✴➪ ❘ ❨◆ Laurent ✶✷ó ✺➯❷➻✫➬ ❅➥❇ • å ❈ z = b ✗ ✭➂ f(z) ➆ô➜➙❽✹➐ õ z → b ✒ ✹ f(z) ➆çö✶÷✮❇ • øùú→û✹ z → b ➆✩➄ ✶ ◗✹ f(z) ☞ ✌üý✶ ◗➆ ➂ ➀❇ ⑦➫✹ z = 0 ❴✬✭ e 1/z = X∞ n=0 1 n!  1 z n , 0 < |z| < ∞ ◆ ❧Ó❁✴❇❮ z ❏➦Û▲④þ ❳ 0 ✻ ✹ ❉✺➦Û◆⑨⑩➙ • õ z ÿ❪ ￾✁✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z → ∞ ✃ • õ z ÿ ❯ ￾✁✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z → 0 ✃ • õ z ÿ✄✁✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✶ ✂✬ ➌ ✻ ú ✰ ➆ ➂❇ ☎ q❴✹ • õ z ✌✆✝ ±i/2nπ, n = 1, 2, 3, · · · ✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✞➐ 1 (✵❲ ✌ 1 ➐✟✠❽) ✃ • õ z ✌✆✝ ±i/(2n + 1)π, n = 0, 1, 2, 3, · · · ✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✞➐ −1 (✵❲ ✌ −1 ➐✟✠❽) ✃ • õ z ✌✆✝ ±i/(2n + 1/2)π, n = 0, 1, 2, · · · ✂✬ 0 ✒ ✹ e 1/z ✞➐ ∓i (✵❲ ✌ ∓i ➐✟✠❽) ❇ ✰❏æ ③ ✹ ❲❳❧Ó❁✴ z = b ❼➟✹❩❜✡❏✪✫✭ A(✺➲➺ ∞) ✹ ➷✰❏ñ❋✪✫ ☛☞ zn → b ✹➢❊ f(zn) → A(➦ æ) ❇ ✌✍④ ❺✎✏✑✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢ ✣✏✤✥ f(z) ✦✧★ (✩✪★✫✬✭✮) ✗✘✖✯✰✥✱✏✲✭✦✳✯✙✚✴✵✶