S(B)=min S(B) (1.2.9) 或记为 Y-xp -E →mm (1.2.10) 因为S(B)是B的二次可微函数,极值点处的各偏导数为0。采用矩阵微商记法 aS(P)=C[()(Y-XB) (rY-2YXB+BXXB -2XY+2XB=0 (1.2.11) (XXB=X (1.2.12) 它称为正规方程。若X列满秩,则X"X为非奇异阵,其逆矩阵存在,左乘(1.2.12)两边得β 的最小二乘解 B=(XXXY (1.2.13) 可以验证(1.2.13)确能使S(B)达最小值。分解S(B)得: S(=(r-XB)(r-XB Or-XB+XB-xB)(r-XB+XB-XB (-B)(-B)+(B-B)XX(B-B) S(B)+(B-B)XX(B-B) 2.14) 这是因为中间两个交叉项为0: (B-B)X(Y-XB)=(B-B)'X'TY-X(XX)"] (B-B)IXY-XX(XX)XY=0 (r- XB)X(B-B)=0 (1.2.15) 观察(1.2.14)第二项(B-B)XX(B-B)为非负定二次型,当且仅当B=B时它取得最小 值0,即SB)当且仅当B=B对取得最小值S() 下面研究B的基本统计性质,我们以定理形式叙述并证明。8 ) min ( ) ˆ S( = S  （1.2.9） 或记为 − ⎯→min  Y X （1.2.10） 因为 S(β)是β的二次可微函数，极值点处的各偏导数为 0。采用矩阵微商记法 ( 2 ) [( ) ( )] ( )          Y Y Y X X X Y X Y X S  −  +     = −  −   =   = −2X Y + 2X X = 0 （1.2.11） 即 (X ' X ) = X 'Y （1.2.12） 它称为正规方程。若 X 列满秩，则 X ' X 为非奇异阵，其逆矩阵存在，左乘(1.2.12)两边得β 的最小二乘解 = X X X Y −1 ( )  ˆ （1.2.13） 可以验证(1.2.13)确能使 S(β)达最小值。分解 S(β)得： ) ˆ ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ ( ) ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ( ( ) ( ) ( )                = −  − + −   − = − + −  − + − = −  − Y X Y X X X Y X X X Y X X X S Y X Y X ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ = S( +  −  X X  −  （1. 2.14） 这是因为中间两个交叉项为 0： ) [ ( ) ] 0 ˆ ( ) [ ( ) ] ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ( 1 1 = −   −    = −   − = −   −   − − X Y X X X X X Y X Y X X Y X X X X Y        ) 0 ˆ ) ( ˆ (Y − X X  −  = （1.2.15） 观察(1.2.14)第二项 ) ˆ ) ( ˆ ( −  X X  −  为非负定二次型，当且仅当   ˆ = 时它取得最小 值 0，即 S(β)当且仅当   ˆ = 对取得最小值 ) ˆ S( 。 下面研究  ˆ 的基本统计性质，我们以定理形式叙述并证明