定理1.2.1( Gauss markov)线性回归模型 Y=XB+8, E(a=0, Var(8)=o'l 中回归系数β的最小二乘解 XX-XY 1.2.17) 是B的唯一最小方差线性无偏估计 证明从β的表达式知B是子样Y的线性函数。又 E(B)=EIOXX-XY=(XX)"XE(Y))))))))) (XX)XXB=B (1.2.18) 故B是B的无偏估计。 B的协方差阵是 B=Cov(BL, B1)=(Xrr)XCov(r, n)X(rx) X)"XoI,X(XX) 0(XX) (1.2.19) 若7=C′Y是B的另一线性无偏估计,由无偏性要求,应有 E(刀=E(C=CE(=CXB=B 对一切B成立,即有 而T的协方差阵为 2r=Cov(TT)=C′Cov(yY)C=a2(C′C) (1.2.20) 因为 CC-(YY)-=CC+(XX)--(Yx--Y'X CC+(XX)(XX)"XC-CX(XX) C′-(XX)xC-(Xx)X]≥ (1.2.21) 这里矩阵≥0表示非负定矩阵。于是 X (1.2.22) 即有 2(XX)-≤a2(C9 定理 1.2.1 (Gauss Markov)线性回归模型 n Y X I 2 =  + , E( ) = 0,Var( ) =  （1.2.16） 中回归系数β的最小二乘解 X X X Y 1 1 ( ) ˆ −  =  （1.2.17） 是β的唯一最小方差线性无偏估计。 证明 从  ˆ 的表达式知  ˆ 是子样 Y 的线性函数。又 ) [( ) ] ( ) ( ) ˆ ( 1 1 E = E X X X Y = X X X E Y − −  =    =  − X X X X 1 ( ) （1.2.18） 故  ˆ 是β的无偏估计。  ˆ 的协方差阵是 1 2 1 1 1 ˆ ( ) ( ) ) ( ) ( , ) ( ) ˆ , ˆ ( − − − − =     = =    X X X I X X X Cov X X X Cov Y Y X X X n L L     2 1 ( ) − =  X X （1.2.19） 若 T=C′Y 是β的另一线性无偏估计，由无偏性要求，应有 E(T)=E(C′Y)=C′E(Y)=C′Xβ=β 对一切β成立，即有 C′X=Im+1 而 T 的协方差阵为 ΣT=Cov(T,T)=C′Cov (Y,Y)C=σ2 (C′C) (1.2.20) 因为 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − =  +  −   −    −  =  +  −  −  C C X X X X X C C X X X C C X X C C X X X X X X [ ( ) ][ ( ) ] 0 1 1 =  −    −    − − C X X X C X X X (1.2.21) 这里矩阵≥0 表示非负定矩阵。于是 C′C≥(X′X)-1 (1.2.22) 即有 X X C C = T  =    − ( ) ( ) 2 1 2 ˆ    (1.2.23)