第八章反常积分 习题8.1反常积分的概念和计算 1.物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q的点电 荷产生的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为 F=kq(k为常数),求距电场中心x处的电位 解U=「k9d q 图8.1.4 2.证明:若厂f(x)和gx)收敛,k和k为常数, 则「[kf(x)+k2g(x)t也收敛,且 [k,f(x)+k2g(x)]dx=k, f(x)dx+k2 g(x)dx 证设f(x)x=lmf(x),「8(x)=1mg(x,则 HKk,/(x)+k2g(xk= lim Kk,/(x)+k2g(x)kx =k如m(x)+k21m8(xk=k(x)+k2厂g()h。 3.计算下列无穷区间的反常积分(发散也是一种计算结果) (1)∫。 e-2x sin5xhx; (2)*e-3xcos2xdx dx 2)(x2+b2 x2+x+1 (a>0,b>0) dx(a∈R) dx(P∈R) In/ 267第八章 反常积分 习 题 8.1 反常积分的概念和计算 ⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+ q的点电 荷产生的电场对距离 r 处的单位正电荷的电场力为 F k q r = 2 （k 为常数），求距电场中心 x处的电位。 ∞ x q 图 8.1.4 解 ∫ +∞ = = x x kq dr r q U k 2 。 ] ⒉ 证明：若 和 收敛，k 为常数， 则 也收敛，且 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx k 1和 2 [ ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ + = + a a a [k f (x) k g(x)]dx k f (x)dx k g(x)dx 1 2 1 2 。 证 设∫ ， ，则 +∞ a f (x)dx ∫ →+∞ = A a A lim f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx ∫ →+∞ = A a A lim g(x)dx [ ] ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 [ ] = ∫ + →+∞ A a A lim k f (x) k g(x) dx 1 2 ∫ →+∞ = A a A k lim f (x)dx 1 ∫ →+∞ + A a A k lim g(x)dx 2 ∫ ∫ +∞ +∞ = + a a k f (x)dx k g(x)dx 1 2 。 ⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ; ⑵ e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ; ⑶ 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ; ⑷ 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ (a > 0,b > 0) ; ⑸ ∫ +∞ ∈ 0 e ( ) 2 x dx a R ax ; ⑹ ( ) ln 1 2 ∈ R ∫ +∞ dx p x x p ; 267