第八章反常积分 习题8.1反常积分的概念和计算 1.物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q的点电 荷产生的电场对距离r处的单位正电荷的电场力为 F=kq(k为常数),求距电场中心x处的电位 解U=「k9d q 图8.1.4 2.证明:若厂f(x)和gx)收敛,k和k为常数, 则「[kf(x)+k2g(x)t也收敛,且 [k,f(x)+k2g(x)]dx=k, f(x)dx+k2 g(x)dx 证设f(x)x=lmf(x),「8(x)=1mg(x,则 HKk,/(x)+k2g(xk= lim Kk,/(x)+k2g(x)kx =k如m(x)+k21m8(xk=k(x)+k2厂g()h。 3.计算下列无穷区间的反常积分(发散也是一种计算结果) (1)∫。 e-2x sin5xhx; (2)*e-3xcos2xdx dx 2)(x2+b2 x2+x+1 (a>0,b>0) dx(a∈R) dx(P∈R) In/ 267
第八章 反常积分 习 题 8.1 反常积分的概念和计算 ⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所 做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+ q的点电 荷产生的电场对距离 r 处的单位正电荷的电场力为 F k q r = 2 （k 为常数），求距电场中心 x处的电位。 ∞ x q 图 8.1.4 解 ∫ +∞ = = x x kq dr r q U k 2 。 ] ⒉ 证明：若 和 收敛，k 为常数， 则 也收敛，且 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx k 1和 2 [ ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ + = + a a a [k f (x) k g(x)]dx k f (x)dx k g(x)dx 1 2 1 2 。 证 设∫ ， ，则 +∞ a f (x)dx ∫ →+∞ = A a A lim f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx ∫ →+∞ = A a A lim g(x)dx [ ] ∫ +∞ + a k f (x) k g(x) dx 1 2 [ ] = ∫ + →+∞ A a A lim k f (x) k g(x) dx 1 2 ∫ →+∞ = A a A k lim f (x)dx 1 ∫ →+∞ + A a A k lim g(x)dx 2 ∫ ∫ +∞ +∞ = + a a k f (x)dx k g(x)dx 1 2 。 ⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ; ⑵ e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ; ⑶ 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ; ⑷ 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ (a > 0,b > 0) ; ⑸ ∫ +∞ ∈ 0 e ( ) 2 x dx a R ax ; ⑹ ( ) ln 1 2 ∈ R ∫ +∞ dx p x x p ; 267
(x2+1)y2 (9)J x ff (1) J e-2 sin 5xdxr=-oe-2xd cos 5x=2- 5 5Jo ecos 5xdx 所以 5xdx (2)*e-3t 1 6-3x d sin 2x=aJo e- xsin 2xdx -3x d cos 2x 44 cos 2xax 所以 3 (3)∫ 2c+∞ dx dx 2x+1 1 (4)当a≠b时 dx (x2+a2)(x2+b2) 2b) 2ab(a+b) 当a=b时, x+n°x21x)=x-1x 2 2 2a34a34a3
⑺ 1 1 2 3 2 ( ) / x dx + −∞ +∞ ∫ ; ⑻ 1 0 2 (e e ) x x dx + − +∞ ∫ ; ⑼ 1 1 0 4 x dx + +∞ ∫ ； ⑽ ln x x dx 1 0 2 + +∞ ∫ 。 解（1） e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx ∫ +∞ − = − 0 2 e cos5 5 1 d x x ∫ +∞ − = − 0 2 e cos5 5 2 5 1 xdx x ∫ +∞ − = − 0 2 e sin 5 25 2 5 1 d x x ∫ +∞ − = − 0 2 e sin 5 25 4 5 1 xdx x ， 所以 e sin − +∞ ∫ 2 0 5 x xdx 29 5 = 。 （2） e cos − +∞ ∫ 3 0 2 x xdx ∫ +∞ − = 0 3 e sin 2 2 1 d x x ∫ +∞ − = 0 3 e sin 2 2 3 xdx x ∫ +∞ − = − 0 3 e cos 2 4 3 d x x ∫ +∞ − = − 0 3 e cos 2 4 9 4 3 xdx x ， 所以 ∫ = +∞ − 0 3 e cos2xdx x 13 3 。 （3） 1 1 2 x x dx + + −∞ +∞ ∫ ∫ +∞ −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = dx x 2 2 2 3 2 1 1 ∫ +∞ −∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = 3 2 1 3 2 1 1 1 3 2 2 x d x = + = +∞ −∞ 3 2 1 arctan 3 2 x 3 2π 。 （4）当a ≠ b时， 1 0 2 2 2 2 ( ) x a (x b ) dx + + +∞ ∫ ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + = 2 2 0 2 2 2 2 1 1 1 dx b a x a x b ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = b a 2a 2b 1 2 2 π π 2ab(a + b) π ； 当a = b 时， ∫ +∞ + 0 2 2 2 ( ) 1 dx x a ∫ +∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = 0 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 dx x a x a x a ) 1 ( 2 1 2 3 2 ∫0 2 2 +∞ + = + x a xd a a π ∫ +∞ + = − 3 2 0 2 2 2 1 2 x a dx a a π 3 3 2a 4a π π = − 3 4a π = ， 268
此结果等于在a≠b时的结果中以b=a代入后的结果 (5)当a≥0时积分发散;当a1时, d=-1(m ln b)(h2)。 (7)令x=tant,则 8)令ex=t,则 dx (1+12)22 (9)利用第六章第3节习题1(10)的结果 √2,x2+√2x+1√2 lr +--arctan( l)+ arctan(√2x-1)+C, 即可得到 dx (10)-mx I Inxdx+ +∞lnx 对等式右端任一积分(例如第二个积分)作变量代换 x=-, 则 In 所以 ddx=o
此结果等于在a ≠ b时的结果中以b = a 代入后的结果。 （5）当a ≥ 0时积分发散；当a 1时， ∫ +∞ − + +∞ = − + = 2 2 1 (ln ) 1 1 ln 1 p p x p dx x x 1 (ln 2) 1 1 − + − p p 。 （7）令 x = tan t ，则 = + ∫ +∞ −∞ dx x 2 3/ 2 ( 1) 1 ∫ = − 2 2 cos π π tdt 2。 （8）令ex = t ，则 1 0 2 (e e ) x x dx + − +∞ ∫ ∫ +∞ +∞ = + = − + = 1 2 2 2 1 2(1 ) 1 (1 t ) t tdt 4 1 。 （9）利用第六章第 3 节习题 1(10)的结果 ∫ = + dx x 1 1 4 x x C x x x x + + + − + − + + + arctan( 2 1) 4 2 arctan( 2 1) 4 2 2 1 2 1 ln 8 2 2 2 ， 即可得到 = + ∫ +∞ 0 4 1 1 dx x 2 2 π 。 （10） = + ∫ +∞ dx x x 0 2 1 ln + + ∫ dx x 1 x 0 2 1 ln dx x x ∫ +∞ + 1 2 1 ln , 对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换 t x 1 = ，则 dx x x ∫ +∞ + 1 2 1 ln dt t t ∫ + = − 1 0 2 1 ln ， 所以 0 1 ln 0 2 = + ∫ +∞ dx x x 。 269
4.计算下列无界函数的反常积分(发散也是一种计算结果) dx (4) (2-xy1 sIn d x tan x 解(1)∫ Joe dI- (2) x√-1n2x d(nx)= arcsin(n x)s2° In' (3)令√x-1=1,则 (4)令√1-x=1,则 dx =2 (5)∫snd=Csin+ snd=-2m=-)=2(s 由于m2(c0)极限不存在,所以积分sina发散;同理积分 sin -dx也发散 (6)令√anx=t,再利用上面习题3(9),得到 dx=2 dt丌
⒋ 计算下列无界函数的反常积分（发散也是一种计算结果）： ⑴ x x dx 1 0 2 1 − ∫ ; ⑵ 1 1 1 2 x x dx − ∫ ln e ; ⑶ x x dx − ∫ 1 1 2 ; ⑷ 1 2 1 0 1 ( ) − − ∫ x x dx ; ⑸ 1 1 1 3 2 1 x x sin dx −∫ ; ⑹ ∫ 2 0 tan 1 π dx x ; 解（1） x x dx 1 0 2 1 − ∫ ∫ − − = − 1 0 2 2 1 (1 ) 2 1 x d x 1 0 2 = (− 1− x ) = 1。 （2） 1 1 1 2 x x dx − ∫ ln e ∫ − = e 1 2 (ln ) 1 ln 1 d x x = = e x 1 arcsin(ln ) 2 π 。 （3）令 x −1 = t ，则 x x dx − ∫ 1 1 2 = ∫ + = 1 0 2 2 (1 t )dt 3 8 。 （4）令 1− x = t ，则 1 2 1 0 1 ( ) − − ∫ x x dx ∫ = + = 1 0 2 1 2 t dt 2 π 。 （5） 1 1 1 3 2 1 x x sin dx −∫ ∫− = 0 1 3 2 1 sin 1 dx x x + ∫ 1 0 3 2 1 sin 1 dx x x 。 ∫ 1 0 3 2 1 sin 1 dx x x = − ∫ 1 0 2 2 ) 1 ( 1 sin 2 1 x d x 1 0 2 ) 1 (cos 2 1 = + x ， 由于 ) 1 (cos 2 1 lim 2 x→0+ x 极限不存在，所以积分∫ 1 0 3 2 1 sin 1 dx x x 发散；同理积分 ∫− 0 1 3 2 1 sin 1 dx x x 也发散。 （6）令 tan x = t，再利用上面习题 3（9），得到 ∫ 2 0 tan 1 π dx x ∫ +∞ + = 0 4 1 2 t dt 2 π = 。 270
5.求极限lim 解 lim In In xdx=-1 →nk=1n 所以 li n→0n 6.计算下列反常积分: (1 JUncos.xdx (2。 xIn sin xdx o (3 xcotxdx Inx (5 解(1)令x=x-1,再利用例81.11,得到 ∫ In cos xdx= Isin tdr= --ln2。 (2)令x=-t,由 oxInsin xdx=Jo r Insintdt-JotInsin tdt 得到 ∫ a xInin xo= In sin xdx=r∫ In sin xd ln2。 (3)J]cot xdx=J2 xd In sin x=(xIn sin x)2-J2 Inin xdx=)In2 (4)令 t= arcsinx ,得到 I arcsin s dr= i cot tdt="In 2
⒌ 求极限lim ! n n n →∞ n 。 解 = →∞ n n n n ! lim ln ∑ = = →∞ n k n n k n 1 ln 1 lim ∫ = − 1 0 ln xdx 1, 所以 n e n n n ! 1 lim = →∞ 。 ⒍ 计算下列反常积分： (1) ln cos xdx 0 2 π ∫ ; (2) x ln sin x 0 π ∫ dx。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx ; (4) arcsin x x dx 0 1 ∫ ; (5) ln x x dx 1 0 2 1 − ∫ 。 解 (1) 令 x = − t 2 π , 再利用例 8.1.11，得到 ln cos xdx 0 2 π ∫ = ∫ = 2 0 ln sin π tdt ln 2 2 π − 。 (2) 令 x = π − t , 由 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ − π π0 lnsin tdt ∫ π 0 t lnsin tdt , 得到 ∫ = π 0 x lnsin xdx ∫ π π 0 ln sin 2 xdx = ∫ 2 0 ln sin π π xdx ln 2 2 2 π = − 。 (3) ∫ 2 0 cot π x xdx = ∫ 2 0 ln sin π xd x x x xdx = − ∫ 2 0 2 0 ( ln sin ) ln sin π π ln 2 2 π = 。 (4) 令t = arcsin x , 得到 ∫ = 1 0 arcsin dx x x ∫ 2 0 cot π t tdt ln 2 2 π = 。 271
(S) Inx dr=JoIn xd arcsinx=(n x)b0-5oS arcsin x dx ln2。 7.求下列反常积分的 Cauchy主值: 1+x (1)(cp)-1+dx, (2)(cpy)「 PV 解(1)(cpv)∫ 1+x dx= lim [arctanx+in(1+x2)]=A (2)(cpy2bk=m22+(mx2)]=m2。 (3)(cpv)Ju2xIn d=1mmn对品+(mmx 8.说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 证设/(x是一个无界函数反常积分,x=b是f(x)的唯一奇点 即/()在x=b的左领域无界)。令1=b-a,则 f/(xk=(b-o∫fb 等式右端就是一个无穷区间的反常积分。 9.(1)以∫f(x)为例,叙述并证明反常积分的保序性和区间可加 性 (2)举例说明,对于反常积分不再成立乘积可积性。 解(1)保序性: 设∫f(x)与∫g(x)收敛,且在[a+∞)成立f(x)2g(x),则 f(x)dx2」g(x)dx; 证明:由定积分的保序性,可知f(x)2g(x),再令A→+ 72
(5) ∫ = − 1 0 2 1 ln dx x x ∫ 1 0 ln xd arcsin x 1 0 = (ln x arcsin x) − ∫ 1 0 arcsin dx x x ln 2 2 π = − 。 ⒎ 求下列反常积分的 Cauchy 主值： ⑴ (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx ; ⑵ (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ ; ⑶ (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx 。 解 (1) (cpv) 1 1 2 + + −∞ +∞ ∫ x x dx = + + = π + − →+∞ A A A x ln(1 x )] 2 1 lim [arctan 2 。 (2) (cpv) 1 2 1 4 x dx − ∫ = − + − = − + → + lim [(ln 2 ) (ln 2 ) ] 2 1 4 2 0 η η η x x ln 2。 (3) (cpv) ln / 1 1 2 2 x x ∫ dx = + = − + → + lim [(ln ln ) (ln ln ) ] 1 1/ 2 2 1 0 η η η x x 0。 ⒏ 说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。 证 设∫ 是一个无界函数反常积分， b a f (x)dx x = b是 f (x)的唯一奇点 （即 f (x)在 x = b的左领域无界）。令 b x b a t − − = ，则 ∫ b a f (x)dx 1 2 ( ) t dt t b a b a f b ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − ， 等式右端就是一个无穷区间的反常积分。 ⒐ ⑴ 以 为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加 性； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。 解 （1）保序性： 设∫ 与 收敛，且在 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx [a,+∞)成立 f (x) ≥ g(x)，则 ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ≥ a g(x)dx； 证明：由定积分的保序性，可知∫ ，再令 。 A a f (x)dx ≥ ∫ A a g(x)dx A → +∞ 272
区间可加性 设∫f(x)k收敛,则对任意c∈[a+∞),「。f(x)x收敛,且 f(x) dx=l,f(x)dx+f(x)dx: 证明:由定积分的区间可加性,可知∫f(x=f(x+(x)t,再 令A (2)设(x)=g()=512,则∫/(x)k与门8(x)收敛,但∫(x(x)k 不收敛。 10.证明当a>0时,只要下式两边的反常积分有意义,就有 aInt d=lnd∫ dx 证 In o glade In x-In dx ∞ [ x aIn dx 对上式右端两积分中任意一个(例如第二个)作变量代换x=,则 当 时 0;且 nx-Ina Int-In a 于是由 Int-In dt, 得到 In x a a t a Int-Ina dt=0
区间可加性： 设∫ 收敛，则对任意 +∞ a f (x)dx c ∈[a,+∞) ，∫ 收敛，且 +∞ c f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx ∫ +∞ + c f (x)dx ； 证明：由定积分的区间可加性，可知 ，再 令 。 ∫ A a f (x)dx = ∫ c a f (x)dx + ∫ A c f (x)dx A → +∞ （2）设 x x f x g x sin ( ) = ( ) = ，则 与 收敛，但 不收敛。 ∫ +∞ 1 f (x)dx ∫ +∞ 1 g(x)dx ∫ +∞ 1 f (x)g(x)dx 10. 证明当a > 0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 0 1 ln dx x x a a x a f 。 证 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 0 1 ln dx x x a a x a f dx x x a x a a x f ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + +∞ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ + dx x x a x a a x f a ln ln 0 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ ， 对上式右端两积分中任意一个（例如第二个）作变量代换 t a x 2 = ，则 当 x : a → +∞ 时，t : a → 0 ；且 + = x a a x t a a t + ， dt t t a dx x ln x ln a ln − ln = − ， 于是由 dx x x a x a a x f a ln − ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + +∞ dt t t a t a a t f a ln ln 0 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = −∫ + ， 得到 ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 ln dx x x x a a x f ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + 0 1 ln dx x x a a x a f 0 a x a x ln ln a f dx a x x ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 0 ln ln 0 a t a t a f dt a t t ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ ∫ 。 273
11.设∫f(x)收敛,且imnf(x)=A。证明A=0 证用反证法。不妨设A>0,则对E=A>0,3X>a,Yx>X J(x)-4A。由 2八(xk=2(x)+9(>(x+1B-x), 可知1mJ。fx)=+,与∫f(x)x收敛发生矛盾 同理也可证明不可能有A<0,所以A=0 12.设f(x)在a+2)上可导,且∫。f(x)与厂f(xl都收敛,证明 limf(x)=0。 证 f' (x)dx= df(x)=lim f(x)-f(a) 由∫f(x)的收敛性,可知mf(x)存在且有限,再利用第1题的结 论,得到 limf(x)=0
11．设∫ 收敛，且 +∞ a f (x)dx f x A x = →+∞ lim ( ) 。证明 A = 0。 证 用反证法。不妨设 A > 0 ，则对 0 2 1 ε = A > ， ∃X > a ， ∀x > X ： f x A A 2 1 ( ) − 。由 ∫ B a f (x)dx = ∫ X a f (x)dx + ∫ B X f (x)dx ( ) 2 1 f (x)dx A B X X a > ∫ + − ， 可知 ∫ = +∞ ，与 收敛发生矛盾。 →+∞ B a B lim f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 同理也可证明不可能有 A < 0，所以 A = 0。 12．设 在 上可导，且 与 都收敛，证明 。 f (x) [a,+∞) ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ ′ a f (x)dx lim ( ) = 0 →+∞ f x x 证 ∫ +∞ a f '(x)dx = ∫ = +∞ a df (x) lim f (x) f (a) x − →+∞ ， 由 的收敛性, 可知 存在且有限, 再利用第11题的结 论，得到 ∫ +∞ a f '(x)dx lim f (x) x→+∞ lim ( ) = 0 →+∞ f x x 。 274