习题6.2换元积分法和分部积分法 1.求下列不定积分 du (2)「 dx e (5)∫(2x+3)dx; dx +5x (7)sin5xdx; (8)」 tan x sec2xtx; (9)sin 5x cos 3xdx ()cos25xdx sIn +4x+5) =2 d x sIn- x (arcsin x x2-2x+2 an v1+x d x (0)[sInx cosx 解(1)(d-1(4(4x-3))4x-3+C (2)J-a d(√2x)1 arcsin(√2x)+C (3)「 d e_Inl C 12e2+1 (4)Je3n2 dr=Je3x2d(3x+2)
习 题 6.2 换元积分法和分部积分法 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 3 x − ∫ ; ⑵ dx 1 2x 2 − ∫ ; ⑶ dx x x e e − − ∫ ; ⑷ e3 2 x dx + ∫ ; ⑸ ( ) 2 3 x x 2 ∫ + dx ; ⑹ 1 2 5 2 + ∫ x dx ; ⑺ sin5 ∫ xdx ; ⑻ ∫ x xdx 10 2 tan sec ; ⑼ ∫sin 5x x cos3 dx ; ⑽ cos2 ∫ 5xdx ; ⑾ ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ ; ⑿ sin x x ∫ dx ; ⒀ x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ ; ⒁ ∫ − dx 1 sin x 1 ; ⒂ sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 ; ⒃ dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ ; ⒄ dx x x 2 − 2 2 + ∫ ; ⒅ 1 9 4 2 − − ∫ x x dx ; ⒆ ∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 ; ⒇ sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ . 解 （1） dx 4 3 x − ∫ = 1 (4 3) 1 ln 4 3 4 4 3 4 d x x C x − = − + − ∫ 。 （2） dx 1 2x 2 − ∫ = 2 1 ( 2 ) 1 arcsin( 2 ) 2 2 1 2 d x x C x = + − ∫ 。 （3） dx x x e − e− ∫ = 2 e 1 e 1 ln e 1 2 e 1 x x x x d C − = + − + ∫ 。 （4）∫ e3 2 x+ dx = 1 1 3 2 3 2 e (3 2) e 3 3 x x d x C + + + = + ∫ 。 172
(5)(2+3)d=(2+262+32)d 2 In 2 In 6 2 In 3 (6)∫ arctan,-=x+C 2+5x 10 (7)]sins xdr=(-cos'x)'sin xdr=-(-2cos'x+cosx)d cosx (8) dx (10)cos25xdr=/(1+ cos 10x)dx-2 10 10x+C,>cos2x+C (9)J 5x cos 3xdx=(sin 8x+ sin 2x)dr=-1 cos8x (11x+44=x+3= x2+4x+5 (12)5dx=]sin dvx==2 cos vx+C (13) (1-2x3)+C (14) X Z d t( C。 (15) sin x+ cosx d x d (sin x-cos x) )3+C SInx- cos x SInx- cos x (16) d arcsin x (arcsin x)1-x2 J(arcsin x) arcsinx (17) =[d(x-1) 1+(x-1)2 = arctan(x-1)+C。 (18)∫ d(2x) 21 arcsin -x+ (19)tan 1+xdx=t tan√1+x2d√1+x2=- In cost1+x2+C
（5）∫ ( ) 2 3 x x + 2 dx = 2 2 1 2 2 1 2 (2 2 6 3 ) 2 6 3 2ln 2 ln 6 2ln 3 x x x x x x + ⋅ + dx = + + +C ∫ 。 （6） 1 2 5 2 + ∫ x dx = 2 1 1 1 5 ( 5 ) arctan 5 1 2 5 0 2 d x x x = +C + ∫ 。 （7）∫sin5 xdx = ∫ ∫ (1− cos x) sin xdx = − (1− 2cos x + cos x)d cos x 2 2 2 4 2 1 3 5 cos cos cos 3 5 = − x + x x − +C 。 （8） = ∫ x xdx 10 2 tan sec 10 1 11 tan tan tan 11 xd x = x +C ∫ 。 （9）∫sin 5x x cos3 dx = 1 1 1 (sin 8 sin 2 ) cos8 cos 2 2 16 4 x + x dx = − x − x + C ∫ 。 （10）∫ cos2 5xdx = 1 1 (1 cos10 ) sin10 2 2 20 x + = x dx + x C ∫ + 。 （11） ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ = 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 5) 4 5 d x x C x x x x + + = − + + + + + ∫ 。 （12） sin x x ∫ dx =2 sin xd x = − + 2cos x C ∫ 。 （13） x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ = 3 3 3 4 4 3 1 (1 2 ) 2 (1 2 ) 6 9 1 2 d x x C x − − = − − − ∫ + 。 （14）∫ − dx 1 sin x 1 2 1 ( ) cot( ) 2 4 2 4 sin ( ) 2 4 x x d C x π π π = − = − − ∫ − + 。 （15） sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 = 2 3 3 (sin cos ) 3 (sin cos ) sin cos 2 d x x x x x x − = − +C − ∫ 。 （16） dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ = 2 arcsin 1 (arcsin ) arcsin d x C x x = − + ∫ 。 （17） dx x x 2 − 2 2 + ∫ = 2 ( 1) arctan( 1) 1 ( 1) d x x C x − = − + + − ∫ 。 （18） 1 9 4 2 − − ∫ x x dx = 2 2 2 1 (2 ) 1 (9 4 2 8 9 4 9 4 d x d x ) x x − + − − ∫ ∫ 。 1 2 1 2 arcsin 9 4 2 3 4 = +x − x +C 。 （19）∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 = 2 2 2 tan 1+ x d x 1+ = −ln cos 1+ x +C ∫ 。 173
(20)∫ sin x cos x d sinx 1+sinx 21+sin r 2 arctan(sin x)+C dx 求下列不定积分: xvI+x 1+Inx (3) x(1+x) x nx (5)∫(x-1)(x+2)d (6)∫x2(x+1ydx; (7) (8)∫ (9)∫ dx 04∫x2 d x d 解(1)∫ ln(√1 1)-x+C (2)当x>0时, d =In
（20） sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ = 2 2 4 1 sin 1 arctan(sin ) 2 1 sin 2 d x x C x = + + ∫ 。 ⒉ 求下列不定积分： ⑴ dx x 1 2 + ∫ e ; ⑵ dx x x 1 2 + ∫ ; ⑶ ∫ + dx x x x (1 ) arc tan ; ⑷ 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx . ⑸ ∫ ( ) x x − + 1 2 ( ) d 20 x ; ⑹ x x dx 2 n ( +1) ∫ ; ⑺ dx x x 4 2 1+ ∫ ; ⑻ x x dx 2 − 9 ∫ ; ⑼ dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ ; ⑽ dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 ; ⑾ x a x a dx − + ∫ ; ⑿ x x a x dx 2 − ∫ ; ⒀ dx 1 2 + x ∫ ; ⒁ x x 2 3 ∫ 1− dx ; ⒂ dx x x 2 −1 ∫ ; ⒃ x a x dx 2 2 2 − ∫ ; ⒄ a x x dx 2 2 4 − ∫ ; ⒅ dx 1 1 x 2 + − ∫ ; ⒆ ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) ; ⒇ ∫ + dx x x n ( 1) 1 ; 解（1） dx x 1 2 + ∫ e = 2 2 ln( e 1) e 1 x x x x de e C − − − − − = − + + + ∫ + 2 ln( 1 1) x = + e − − x +C。 （2）当 x > 0时， dx x x 1 2 + ∫ = 1 2 2 2 2 1 1 ln 1 1 dx dx x C x x x x − − − + − = − = + + ∫ ∫ + ； 174
当x0时 dh x4√l+x 当x0时 dx √x2-9+3 当x<0时,也有相同结果。 注:本题也可令x=3sect化简后解得。 (9)令x=sint,则
当 x 0时， dx x x 4 2 1+ ∫ = ∫ ∫ − − − − + + − = − + 2 2 2 5 2 1 ( 1 1) 2 1 1 x x dx x x dx 3 2 2 2 3 1 (1 ) 1 3 x x C x x + + = − + + ； 当 x 0时， x x dx 2 − 9 ∫ = ∫ ∫ ∫ − − − + − = − − 2 1 2 2 2 1 9 (3 ) 3 9 9 9 x d x x xdx dx x x x 2 3 x 9 3arcsin C x = − + + ； 当 x < 0时，也有相同结果。 注：本题也可令 x = 3sect 化简后解得。 （9）令 x = sint ，则 175
cos tdt =sec'tdt=tant +c= (10)令x= a tan t,则 sint+c= (x2+a2) (11 x-a (12) 2 d x dx=-√2ax-x2dh dx d(2ax-x 2ax-x 2ax-x x-a ax-x+-a arcsin x+3 2ax-x 2 arcsin x-a 注:本题答案也可写成-x+3√2ax-x2+2 arcsin,I+C (13)令t=√2x,则x=112,a=t,于是 2 1+√2 1+t 1-ln++c=√2x-lm(+√2x)+C (14)令t=1-x,则x=1-1,dx=-32d,于是 ∫x2-xax=」(1-)2rbh=-3(2-21+r) (15) marcos -+C x (16)令x= asin,则
dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ = 2 3 2 cos sec tan cos 1 tdt x tdt t c C t x = = + = − ∫ ∫ + 。 （10）令 x = a tan t ，则 dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 = 2 2 2 2 2 cos 1 sin t x dt t c C a a a x a = + = + ∫ + 。 （11） x a x a dx − + ∫ = 2 2 2 2 2 2 ln x a dx x a a x x a C x a − = − − + − + − ∫ 。 （12） x x a x dx 2 − ∫ = ∫ ∫ ∫ − = − − + − dx ax x ax dx ax x dx ax x x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ − + − − = − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 ax x dx a ax x d ax x ax x dx a 2 2 3 2 2 arcsin 2 2 2 2 x a x a ax x a a ax x C a − − = − − + − − + 3 3 2 2 2 arcsin 2 2 x a x a ax x a C a + − = − − + + 。 注：本题答案也可写成 3 2 2 2 x a ax x + − − + 2 3 arcsin 2 x a C a + 。 （13）令t = x x = t , dx = tdt 2 1 2 ，则 2 ，于是 dx 1 2 + x ∫ = ln 1 2 ln(1 2 ) 1 tdt t t c x x t = − + + = − + + + ∫ C 。 （14）令t x x t dx t dt 3 3 2 = 1− ，则 = 1− , = −3 ，于是 x x d 2 3 ∫ 1− x = ∫ ∫ − 3 (1− t ) t dt = −3 (t − 2t + t )dt 3 2 3 3 6 9 4 7 10 3 3 3 3 6 3 (1 ) (1 ) (1 ) 4 7 10 = − − + x − − x − x +C 。 （15） dx x x 2 −1 ∫ = 1 2 2 2 1 arccos 1 1 dx dx C x x x x − − − = − = − − ∫ ∫ + 。 （16）令 x = asint ，则 x a x dx 2 2 2 − ∫ = ∫ ∫ = − t dt a a tdt (1 cos 2 ) 2 sin 2 2 2 176
t--sin 2t+c=-arcsin a2-x2+C。 2 (17)令x= acos t,则 sin 2t tan td tan a-·cos"t 1√a2-x) tan t+c=- 18) (1-√1-x2)dx x-1 d x 注:本题也可令x=sint后,解得 d x r==arcsin x-tan(-arcsin x)+C (19) 1r(t+1) 31 4t 8t InIx4-1 C 4(x2 x+-1)2 (20 x(x"+ In 1 求下列不定积分 (1)∫xed (2)∫xln(x-1)dx; (3)∫x2sn3xdt (4)∫-2-a SIn-x
2 2 2 1 2 2 sin 2 arcsin 2 4 2 2 a a a x t t c x a x a = − + = − − +C 。 （17）令 x = a cost ，则 a x x dx 2 2 4 − ∫ = ∫ ∫ − = − td x a dt t t a tan tan 1 cos 1 sin 2 4 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 1 1 ( ) tan 3 3 a x t c C a a x − = − + = − ⋅ + 。 （18） dx 1 1 x 2 + − ∫ = ∫ ∫ − − = − − − − dx x x x x x x dx 2 2 2 2 2 1 (1 1 ) 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 arcsin 2 1 1 dx dx x x C x x x x − − − − = − + + = + + − − ∫ ∫ 。 注：本题也可令 x = sint 后，解得 2 1 arcsin tan( arcsin ) 1 1 2 dx x x C x = − + − ∫ + 。 （19）令t = x 4 −1，则 ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) = ∫ ∫ + = − dt t t dx x x 3 3 4 4 3 12 ( 1) 4 1 4 ( 1) 1 2 3 2 1 3 3 1 1 3 3 1 (1 ) ln 4 4 4 4 dt t t C t t t t t = + + + = + − − + ∫ 8 4 4 4 4 2 1 3 3 1 ln 1 4 4 4( 1) 8( 1) x x C x x = + − − − + − − 。 （20）∫ + dx x x n ( 1) 1 = ∫ ∫ − − + − + = − + n n n n x dx n dx x x 1 1 (1 ) 1 1 1 1 ln 1 ln 1 n n n x x c C n n − = − + + = + + x 。 ⒊ 求下列不定积分： ⑴ x dx e2 ∫ x ; ⑵ ∫ x x ln( −1) dx ; ⑶ x x 2 ∫ sin 3 dx ; ⑷ x x dx sin2 ∫ ; 177
(5)∫xcos2xdr (6)arcsinxdx (7)arc tan xdx (8)x arc tan xdx arcsin x (9)「xtan2xx 0!1-x D∫x2 Inxdx 03」 e-x sin 5xdx ( er sin2xdx (16)cos(In.x)dx 07∫( arcsin x)2t; 8√xedh (19)er+l dx (20)In(x+√+x2)dx 解(1)∫xe2= jea=2x-1)+C。 4 (2)xIn(x-1)dx=xIn(x-1) dx=2(x2-1)ln(x-1) +C。 (3)Jx2 sin 3xdx=-1x2cos 3x+2 acos 3xdx (2xsin 3x-3x cos 3x) 3xdx )cos 3x+C (4) ot x+In (5)Jxcos2 xdx=)x(+ cos 2x)dx =(x2+xsin x)-sin2xdx (x+xsin 2x) (6)arcsin x dx=xarcsinx ==xarcsinx-+ (7)「 arc tan xdx= x arctan x-「 dx =xarctanx--In(1+x)+C (8)x arc tan xdx=-x'arctanx- Ir xdx dx=-x arctan x 31+x Ix arctanx-Ix2+IIn(+x2)+C
⑸ x x cos d 2 ∫ x ; ⑹ ∫ arcsin x dx ; ⑺ ∫ arc tan xdx ; ⑻ ∫ x arc tan xdx 2 ; ⑼ ∫ x xdx 2 tan ; ⑽ arcsin x x dx 1− ∫ ; ⑾ ln2 ∫ x dx ; ⑿ x x d 2 ∫ ln x ; ⒀ e sin − ∫ x 5xdx ; ⒁ e sin x x dx 2 ∫ ; ⒂ ln3 2 x x ∫ dx ; ⒃ ∫ cos(ln x d) x ; ⒄ (arcsin x) dx 2 ∫ ; ⒅ x dx ∫ e x ; ⒆ e x dx + ∫ 1 ; ⒇ ln(x + + x ) ∫ 1 2 dx x . 解（1）∫ x d e2x = −x xe 2 2 1 1 1 2 2 e (2 1 2 4 x x dx = e x − +) C ∫ 。 (2) ∫ x x ln( −1) dx = 2 1 1 2 2 1 1 1 ln( 1) ( 1)ln( 1) 2 2 1 2 4 2 x 2 x x dx xxx x x − − = − − − − + − ∫ C d 2 ∫ sin 3 。 （3） x x x = ∫ x x + x cos3xdx 3 2 cos3 3 1 2 − ∫ = x x − x x − sin 3xdx 9 2 (2 sin 3 3 cos3 ) 9 1 2 2 1 2 2 sin 3 ( ) cos3 9 3 27 = − x x x − x +C。 （4） x x dx sin2 ∫ =− + x cot x x cot dx = −x cot x + ln sin x + ∫ C cos2 ∫ 。 （5） x xdx = ∫ ∫ x + x dx = x + x x − sin 2xdx 4 1 ( sin 2 ) 4 1 (1 cos 2 ) 2 1 2 1 1 2 ( sin 2 ) cos 2 4 8 = + x x x + x +C 。 （6）∫ arcsin x dx = 2 2 arcsin arcsin 1 1 xdx x x x x x x − = + − C − ∫ + 。 （7）∫ arc tan xdx 2 2 1 arctan arctan ln(1 ) 1 2 xdx x x x x x C x = − = − + + + ∫ 。 （8）∫ x arc tan xdx = 2 ∫ ∫ + = − + + − 2 3 2 2 3 3 3 1 1 6 1 arctan 3 1 3 1 1 arctan 3 1 x xdx dx x x x x x x x 1 1 3 2 1 arctan ln(1 ) 3 6 6 2 = − x x x + + x +C 。 178
(9)xtan'xdx=x(sec'x-1dr=x)x2-tan xdx (10)fx=-2 arcsin xo小-x=-2- x arcsin x+2(如 (11)Jn2xdx=xln2x-2「 (13)Je-sin5xdx="sin 5x+5e"cos.5xdx (sin 5x+5cos 5x)-25e- sin 5xdx 所以 (14)Je sin? dx=fJedx-fe cos 2 xdx=e'-5Jecos 2xd Je cos 2xdx=e cos 2x +2] sin 2xdr=e"(cos 2 x+2sin 2 x)-4fecos2xdr 从而 e cos 2xdx ==e(cos 2x+2sin 2x)+C 所以 e'sin2x dx ==e --e(cos 2x+2sin 2x)+C In2 (15) In3 In x+3In2x ln In x+3In-x+6In In x+3ln x+6 (16)cos(In x)dx=xcos(In x)+[xsin(Inx)-cx x[cos(In x)+sin(In x)]-cos( 所以
（9） = ∫ x xdx 2 tan ∫ ∫ x x − dx = x x − x − tan xdx 2 1 (sec 1) tan 2 2 1 2 tan ln cos 2 = − x x x + x +C 。 （10） arcsin x x dx 1− ∫ = ∫ ∫ + − − = − − + x dx xd x x x 1 2 arcsin 1 2 1 arcsin 2 = −2 1− x arcsin x + 4 1+ x +C 。 （11）∫ ln2 x dx = ∫ x ln x − 2 ln xdx 2 2 = x ln x x − + 2 ln x 2x + C 。 2 （12）∫ x x ln dx 1 1 3 2 1 3 1 3 ln ln 3 3 3 9 = − x x x dx = x x − x ∫ +C dx 。 （13） e sin = − ∫ x 5xdx sin 5 5 cos5 x x e x e x − − − + ∫ (sin 5 5cos5 ) 25 sin 5 x x e x x e x − − = − + − dx ∫ ， 所以 e sin − ∫ x 5xdx = 1 (sin 5 5cos5 ) 26 x e x x − − + +C 。 （14） e sin x x dx 2 ∫ ∫ ∫ = e dx − e xdx x x cos 2 2 1 2 1 ∫ = e − e xdx x x cos 2 2 1 2 1 。 ∫ ∫ ∫ e xdx = e x + e xdx = e x + x − e xdx x x x x x cos 2 cos 2 2 sin 2 (cos 2 2sin 2 ) 4 cos 2 ， 从而 ∫ e xdx x cos 2 1 (cos 2 2sin 2 ) 5 x = + e x x +C ， 所以 e sin x x dx 2 ∫ = −x e 2 1 1 (cos 2 2sin 2 ) 10 x e x + x +C 。 （15） ln3 2 x x ∫ dx ∫ ∫ + + = − + = − dx x x x x x dx x x x x 2 3 2 2 3 2 ln 6 ln ln 3ln 3 ln ∫ + + + = − dx x x x x x 2 3 2 1 6 ln 3ln 6ln 3 2 ln x x 3ln 6ln x 6 C x + + + = − + 。 （16）∫ cos(ln x d) x = ∫ + dx x x x x x 1 cos(ln ) sin(ln ) ∫ = x[cos(ln x) + sin(ln x)] − cos(ln x)dx， 所以 179
∫cos(nx)d= Icos(In x)+sin(nx)+C。 注:若令t=lnx,则可看出本题与第(13)题本质上是同一种类型题。 (17)(arcsin x) dx=x(arcsin x)2-2] arcsinxdx x(arcsinx)2+2 arcsinxdv1 x(arcsinx)2+2 1-x2 arcsinx-2x+C (18)令t=√x,则x=t2,于是 ∫√xe"d=2」lt=212-4」eh=2e(2-2)+4et (19)令t 则x=t2 于是 ∫ed=eh=2-2edm=2(-1)+c=2c(x+1-)+C。 (20)「mx+x)hk=xm(x+√+x)-「 dx xIn(x+ x+ 4.已知f(x)的一个原函数为 Sin x 1+xsin x 求∫(x)f(x)d 解由题意 sIn x cos x f(x)= 1+ x sin x丿(1+ sinx)2 于是 ∫(xy(xt(0=f(+c=m+C。 5.设f(sin2x)=cos2x+tn2x,求f(x) 解设t=sin2x,则 f()=1-2sin2x+ sIn. x l-21+ 1-sin 2x
∫ cos(ln x d) x 1 [cos(ln ) sin(ln )] 2 = + x x x +C 。 注：若令t = ln x，则可看出本题与第（13）题本质上是同一种类型题。 （17）∫ (arcsin x)2 dx = ∫ − − xdx x x x x arcsin 1 (arcsin ) 2 2 2 ∫ = + − 2 2 x(arcsin x) 2 arcsin xd 1 x 2 2 = + x(arcsin x x ) 2 1− arcsin x − 2x +C 。 （18）令t = x ，则 ，于是 2 x = t x dx ∫ e x = te tdt = t ∫2 e t te dt t t ∫ 2 − 4 2 = e t t e dt t t ∫ 2 ( − 2 ) + 4 2 = 2 2 ( 2 2) 2 ( 2 2) t x e t − +t + c = e x − x + +C 。 （19）令t = x +1，则 x = t 2 −1 ，于是 e x dx + ∫ 1 = 1 2 e 2 2 2 ( 1) 2 ( 1 1) t t t t x tdt te e dt e t c e x C + = − = − + = + − + ∫ ∫ 。 （20）∫ ln(x+ 1+ x )dx 2 = ∫ + + + − dx x x x x x 2 2 1 ln( 1 ) 2 2 = + x ln(x x 1+ ) − 1+ x +C 。 4． 已知 f (x)的一个原函数为 x x x 1 sin sin + ，求∫ f (x) f ′(x)dx 。 解 由题意 f (x) = 2 2 (1 sin ) cos sin 1 sin sin x x x x x x x + − = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ， 于是 ∫ f (x) f ′(x)dx = 2 2 2 4 1 (cos sin ) ( ) ( ) ( ) 2 2(1 sin ) x x f x df x f x C C x x − = + = + + ∫ 。 5．设 f ′(sin2 x) = cos 2x + tan2 x ，求 f (x)。 解 设t = sin 2 x，则 t t t t t x x f t x 2 1 1 1 1 2 1 sin sin ( ) 1 2sin 2 2 2 − − = − = − + − ′ = − + ， 180
从而 f(x)=「f(x) 6.设f(nx) 求「f x 解令t=lnx, 则x=e,如h(1+),于是 f(xdx= In(1+e) d ln(1+e2) dx In(1+ In(1+er d e (e +lIn(+e)+x+C 7.求不定积分∫。与 解记=∫ sInx 12 则 sin x+ cos x sin x+ cos x 4+1==x+C,1-1=413+93=mmx+cosx+C2, 于是 (x+In sin x+ cos xp+C,I (x-In sin x+cos x)+C 8.求下列不定积分的递推表达式(n为非负整数): (1)Ln=sin”xdhx (2)Ln=∫ In=∫ (6)In (7)In dx (8)In 解(1) I n= sin"xdx=-"-xd cos x=-sin"-xcosx+(n-1)sin"- xdx x cosx+(n +(n-1(1n2-Ln), 于是
从而 f (x) = 1 2 ( ) ( 2 ) ln 1 1 f x dx x dx x x C x ′ = − = − − − + − ∫ ∫ 。 6．设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，求∫ f (x)dx 。 解 令t = ln x，则 t t t e e x e f t ln(1 ) , ( ) + = = ，于是 ∫ f (x)dx = ∫ ∫ − = − + + x x x x dx e de e e ln(1 ) ln(1 ) = ∫ + + + − − dx e e e e e x x x x x 1 ln(1 ) ln(1 ) 1 ln(1 ) ln( 1) 1 x x x x x x x e e de e C e e e − − − + + = − − = − − + + + ∫ ( 1)ln(1 ) x x e e − = − + + + x +C 。 7. 求不定积分∫ + dx x x x sin cos cos 与∫ + dx x x x sin cos sin 。 解 记I1=∫ + dx x x x sin cos cos ，I 2= ∫ + dx x x x sin cos sin ，则 1 I + I 2= 1 dx = +x C ∫ ， 1 I 2 − I = 2 (sin cos ) ln sin cos sin cos d x x x x C x x + = + + + ∫ ， 于是 1 I = 1 ( ln sin cos ) 2 x + +x x +C ，I 2= 1 ( ln sin cos ) 2 x − x + + x C 。 8．求下列不定积分的递推表达式（n为非负整数）： ⑴ I n = ∫ xdx n sin ; ⑵ I n = ∫ xdx n tan ; ⑶ I n = dx x n cos ∫ ; ⑷ I n = x x d n ∫ sin x ; ⑸ I n = e sin x n ∫ x dx ; ⑹ I n = ∫ x xdx n ln α ; ⑺ I n = x x dx n 1 2 − ∫ ; ⑻ I n = dx x x n 1+ ∫ . 解（1） I n = = ∫ xdx n sin ∫ ∫ − − − − xd x = − x x + n − x xdx n 1 n 1 n 2 2 sin cos sin cos ( 1) sin cos ∫ = − + − − − − x x n x x dx n n sin cos ( 1) sin (1 sin ) 1 2 2 = −sinn−1 x x cos + (n −1)(In−2 − In )， 于是 181
