《数学分析》函数的幂级数展开

教案 函数的幂级数展开 1.教学内容 函数的幂级数( Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法,比较 它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算 能力。 指导思想 1)函数的幂级数( Taylor级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论, 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展 开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变。 (2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题,虽然我们有函 数的幂级数展开公式(见下面的(*)式),但一般来说,直接利用(*)式来求 函数的幂级数展开往往很不方便,因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法,提高学生的实际计算能力,这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3.教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f(x)在x0的某个邻域 O(xo,n)中能展开幂级数,则它的幂级数展开就是f(x)在x0的 Taylor级数 * f(x) f"(x0) (x-x0)",x∈O(xa2r) 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式: (1)/(r)=er= fr" 1+x+ (2)f(x)=sinx=∑ (-1) x-2+x 2n+ x∈( (2n+1)! (3)f(x)=cosx=∑

教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整 个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较 它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如 何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算 能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学 中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论， 而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数 的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展 开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函 数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求 函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级 数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质 教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域 O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数： （*） ).,(,)( ! )( )( 0 0 0 0 )( rxOxxx n xf xf n n n = ∑ − ∈ ∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x) = ex = ∑ ∞ =0 ! n n n x !!3!2 1 32 n xxx x n ++++= LL + …, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x) = sin x = ∑ ∞ = + + − 0 12 !)12( )1( n n n x n )!12( )1( !5!3 53 12 + −+−+−= + n xx x x n LL n + …, x∈(-∞, + ∞)。 (3) f (x) = cos x = ∑ ∞ = − 0 2 !)2( )1( n n n x n 1

+(-1) (2m) (4)f(x)=arctan x 2n+1 (-1) ∈[-1,1 (5)f(x)=ln(+x)=∑ (6)f(x)=(1+x)2,a≠0是任意实数。 当a是正整数m时, (x)=(+x)y=1+mx+mm=1)x2+…+mx"+x,x∈(-∞,+∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开,只有有限项 当α不为0和正整数时, 11),当a≤-1, (1+x)2= x∈(-1,1l当-1<a<0, x∈ 其中 (α-1)…(a-n+1) (n=1,2…)和 0 设函数f(x)在x0的某个邻域Oxp)中任意阶可导,要求它在Oxo,r)中的幂级数 展开,一开始就考虑利用公式(*)往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法: 1.通过各种运算与变换,将函数化成已知幂级数展开的函数的和 例1求f(x) 在x=0的幂级数展开 3+5x-2 解利用部分分式得到 2(1 f(x)= x7(1+2 再利用(6)式(a=-1),得到 f(x) 例2求f(x)=sin3x在x=2的幂级数展开。 A f(x)=sinx==sin x--sin 3x +(x一 coS 3(x 33 8sn(x-2)+=cos(x-)-cos3(x-2)

)!2( )1( !4!2 1 42 2 n xx x n n LL −+−+−= + …, x∈(-∞, + ∞)。 (4) f (x) = arctan x = ∑ ∞ = − − − − 1 12 1 12 )1( n n n x n 12 )1( 53 53 12 + −+−+−= + n xx x x n LL n + …, x∈[-1, 1]。 (5) f (x) = ln (1 + x) = ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n x n n xxx x x n n 1 432 )1( 432 − LL −++−+−= + …, x∈(-1, 1]。 (6) fx x () ( ) = +1 α ，α≠0 是任意实数。 当α 是正整数 m 时， f (x) = (1 + x) m = 1 + mx + 2 2 )1( x mm − + … + + x m−1 mx m，x∈(-∞, +∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当α不为 0 和正整数时， ∑ ∞ = α ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α =+ 0 )1( n n x n x , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > <<− −≤ −∈ −∈ −∈ .0 ,01 ,1 ],1,1[ ],1,1( ),1,1( α α α 当 当 当 x x x 其中 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n α ! )1()1( n α α LL −α− n + , (n = 1,2,…) 和 。1 0 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α 设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数 展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 例 1 求 2 253 1 )( x x xf −+ = 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用部分分式得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅+ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅= x x xf 21 1 7 2 3 1 1 21 1 )( ， 再利用（6）式（α −= 1），得到 ( ) n n n n xf ∑ x ∞ = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = −− 0 1 1 2 3 1 7 1 )( ， ). 2 1 , 2 1 x (−∈ 例2 求 = sin)( 3 xxf 在 6 π x = 的幂级数展开。 解 ) 6 (3cos 4 1 ) 6 ( 6 sin 4 3 3sin 4 1 sin 4 3 sin)( 3 ππ π ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ xxxxf x −+=−== x ) 6 (3cos 4 1 ) 6 cos( 8 3 ) 6 sin( 8 33 π π π = x x −−+− x − ， 2

利用(2)式与(3)式,即得到 3√3 f(x)= ∑ (x-2)-3()(2.32-1-1x-2 8z(2n+1) 例3求f(x)=lnx,(x>0)关于变量的幂级数展开 x 解令1=x+1则x=1=1,(01 0. 2.对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例4求∫(x)=-2在x=1的幂级数展开 解由于g(xyf) (x-1),利用逐项求导,即可得到 f(x)=-g(x)=∑m(x-1)=∑(m+1(x-1)”,x∈(0,2) 例5求f(x)= arcsin X在x=0的幂级数展开 解利用6试(a=-2),可知当xe(1.)时 =(1-x2) ) n 8 (2m)! 对等式两边从0到x积分,利用幂级数的逐项可积性与 d t arcsin x, 即得到 arcsinx=x+ (2n-1) m(2m)!2n+1 x∈[-1,1] 其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性,可用Rabe判别法得到 特别,取x=1,我们得到关于π的一个级数表示: n=0(2n)!2n∠1° 3.对形如(x)(x),(x)的函数,可分别用Chy乘积与“待定系数法” 设f(x)的幂级数展开为∑anx",收敛半径为R,g(x)的幂级数展开为∑bnx 收敛半径为R2,则f(x)g(x)的幂级数展开就是它们的 Cauchy乘积

利用（2）式与（3）式，即得到 ).,(,) 6 )(132( )!2( )1( 8 3 ) 6 ( )!12( )1( 8 33 )( 12 2 0 0 12 −−⋅ +∞−∞∈ − −− + − = − ∞ = ∞ = + ∑ ∑ x x n x n xf n n n n n n n π π 例3 求 = xxxf > )0(,ln)( 关于变量 1 1 + − x x 的幂级数展开。 解 令 , 1 1 + − = x x t 则 )10(, 1 1 + − ⋅ + =⋅ + = ∑ ∑ ∞ = + + ∞ = x x x n t n n n n n 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例 4 求 2 1 )( x xf = 在 x = 1 的幂级数展开。 解 由于 ∑ ∞ = −= −+ == 0 )1( )1(1 11 )( n n x xx xg ，利用逐项求导，即可得到 ).2,0(,)1)(1()1()(')( 1 0 1 ∑ ∑ ∈−+=−=−= ∞ = ∞ = − xnxgxf xxn n n n n 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用(6)式 ) 2 1 (α −= ，可知当 x∈(-1,1)时， 2 1 1 − x = 2 1 2 )1( − − x = ∑ ∞ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 0 2 2 1 )( n n x n = 1 + 2 2 1 x + 4 8 3 x + … + n x n n 2 !)!2( − !)!12( + …， 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 ∫ − x t t 0 2 1 d = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ∑ ∞ = + + − 1 12 12!)!2( !)!12( n n n x n n ， x∈[-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点 x = ±1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： 2 π = 1 + ∑ ∞ = + ⋅ − 0 12 1 !)!2( !)!12( n nn n 。 3．对形如 xgxf )()( ， )( )( xg xf 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。 设 f (x) 的幂级数展开为∑ ，收敛半径为R ∞ n=0 n n xa 1，g(x) 的幂级数展开为∑ , 收敛半径为R ∞ n=0 n n xb 2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： 3

f(x)(x)=C∑anx"∑bnx")=∑ 其中cn=∑ qbnk,∑c的收敛半径R≥min{R1,R2} 当b≠0时,我们可以通过待定系数法求了(x)的幂级数展开:设 g(x) f(x) C x g(x) (∑bx")(∑cnx")∑anx”, 分离x的各次幂的系数,可依次得到 bo bo boci+ bi o=a a1-b,co bo boC+blc+ b2 a2-b,c,-b2co 直继续下去,可求得所有的cn。 例6求 e sin x的幂级数展开(到x3) 解 e sin x=(1+x+-+ 2!3!4! =X+x-+-X 由于e与sinx的收敛半径都是R=∞,所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞,+∝ 都成立 例7求tanx的幂级数展开(到x3) 解由于tanx是奇函数,我们可以令 sin x OS x 于是 2!4! 比较等式两端x,x3与x3的系数,就可得到 3 15 因此 Nx-x 4.“代入法” 对于例7,我们还可采用如下的“代入法”求解:在

f (x)g(x) = (∑ )( ) = , ∞ n=0 n n xa ∑ ∞ n=0 n n xb ∑ ∞ n=0 n n xc 其中cn = ∑ , 的收敛半径 = − n k knkba 0 ∑ ∞ n=0 n n xc R ≥ min｛R1，R2｝。 当b0 ≠ 0 时，我们可以通过待定系数法求 )( )( xg xf 的幂级数展开：设 )( )( xg xf = ∑ , ∞ n=0 n n xc 则 (∑ ) ( )= , ∞ n=0 n n xb ∑ ∞ n=0 n n xc ∑ ∞ n=0 n n xa 分离 x 的各次幂的系数，可依次得到 b0 c0 = a0 ⇒ c0 = 0 0 b a , b0 c1 + b1 c0 = a1 ⇒ c1 = 0 011 b − cba ， b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 ⇒ c2 = 0 02112 b − − cbcba ， …… 一直继续下去，可求得所有的cn 。 例 6 求e x sin x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 e x sin x = ( !4!3!2 1 432 xxx x ++++ + …)( −+− L !5!3 53 xx x ) = x + 2 3 5 30 1 3 1 −+ xxx + …， 由于e x 与sin x 的收敛半径都是 R = ∞ ，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞, + ∞) 都成立。 例 7 求tan x的幂级数展开( 到x 5 )。 解 由于 tan x 是奇函数，我们可以令 tan x = x x cos sin = c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + …， 于是 (c1 x + c3 x 3 + c5 x 5 + …)( −+− L !4!2 1 42 xx ) = −+− L !5!3 53 xx x ， 比较等式两端x, x 3 与x 5 的系数，就可得到 c1 = 1, c3 = 3 1 , c5 = 15 2 , 因此 tan x = x + 3 1 x 3 + 15 2 x 5 + …。 4． “代入法” 对于例 7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在 4

u" =1+u+u+ 中,以=x-x+…代入,可得到 COS x 然后求sinx与1的 Cauch乘积,同样得到上述关于anx的幂级数展开。 cos x 需要向学生指出的是,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们目 前无法得到它的收敛范围,而只能知道在x=x0的小邻域中,幂级数展开是成立 的(事实上,tanx的幂级数展开的收敛范围是(-,x),它的证明需要用到复 变函数的知识)。 “代入法”经常用于复合函数,例如形如e,ln(1+f(x)等函数的求幂级数展 开问题。 例8求f(x)=emx在x=0的幂级数展开(到x4) 解以n=smx=∑()x2=x-x+…代入 ()=ein=2sn=l+sin x+I sin x+2 sin x+ a-sinx+ 即可得到 f(x)=emx=1+x+x2--x4+…,x∈(-∞,+∞)。 注对于求函数f(x)=ex在x=0的幂级数展开问题,我们不能采用以 u= cosx=1-x2 代入f(x)=∑的方法,请学生思考为什 么,并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例9求n当x的幂级数展开(到),其中函数x应理解为 SIn x f() ≠0, 1,x=0. 解首先,利用sinx的幂级数展开,可以得到 sin x 令 代入ln(1+l)=u- ,即得 SInx

1− u 1 = ∑ = 1 + u + u ∞ n=0 n u 2 + … 中，以 u = +− L !4!2 42 xx 代入，可得到 cos x 1 = 1 + ( +− L !4!2 42 xx ) + ( +− L !4!2 42 xx ) 2 + … = 1 + x 2 + 24 5 x 4 + …， 然后求 sin x 与 cos x 1 的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- 0 x 2 π , 2 π )，它的证明需要用到复 变函数的知识）。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x) ，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 在 的幂级数展开( 到x x exf sin )( = x = 0 4 ) 解 以 +−= L + − == + ∞ = ∑ )!12( 6 )1( sin 3 12 0 x xx n xu n n n 代入 == ∑ ++++= +L ∞ = xxxx n x exf n n x 2 3 4 0 sin sin 24 1 sin 6 1 sin 2 1 sin1 ! sin )( ， 即可得到 ),(, 8 1 2 1 1)( sin 2 4 xxxxexf +∞−∞∈+−++== x L 。 注 对于求函数 )( = exf cos x 在 x = 0 的幂级数展开问题，我们不能采用以 2 4 −+−== L 24 1 2 1 1cos xxxu 代入 ∑ ∞ = = 0 ! cos )( n n n x xf 的方法，请学生思考为什 么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例 9 求ln x sin x 的幂级数展开( 到x 4 )，其中函数 x sin x 应理解为 f (x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ .01 ,0, sin x x x x ， 解 首先，利用 sin x 的幂级数展开，可以得到 x sin x = −+− L !5!3 1 42 xx 。 令 u = −+− L !5!3 42 xx 代入 ln (1 + u) = u - −+ L 32 32 uu ，即得 ln x sin x = ( −+− L !5!3 42 xx ) - 2 1 ( −+− L !5!3 42 xx ) 2 + … 5

利用例9,我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 sIn x ∏ 两边取对数,再分别将n(1--2)展开成幂级数 sIn x ∑ln(l 2 将上式与本例中的结果相比较,它们的x2系数,x4系数都对应相等,于是就得到 等式 6 如果我们在计算时更精细些,也就是将nx的幂级数展开计算到x,x8,…, 还可以获得S1, 2n,2n,“的精确值 注意点 如果∫(x)在x邻域的幂级数展开存在,则幂级数必然是它在x0的 Taylor 级数(*);但反之则不然。事实上,我们举出过在x=x0任意阶可导的函 数∫(x),它在x的 Taylor级数并不收敛于f(x)。但一般来说,对于有解析 表达式的初等函数f(x),只要它在x=x0任意阶可导,则它在x0的 Taylor 级数就是它在xn邻域的幂级数展开 2.要让学生知道,遇到求函数的幂级数展开问题,不要首先想到用(*)式 事实上,上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法,比起直接利用公式(*) 来都要方便,而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法 3.一般来说,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们往往只 能求出幂级数的初始几项,而不易求出幂级数的一般项,也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题,只要求出幂级数的初始几项就够了, 例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径,等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定

= −−− L 1806 42 xx 。 利用例 9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式 x sin x = ∏ ∞ = π − 1 22 2 )1( n n x , 两边取对数，再分别将 ln )1( 22 2 π − n x 展开成幂级数， ln x sin x = ∑ ∞ = π − 1 22 2 )1ln( n n x = - ∑ ∞ = + π + 1 π 44 4 22 2 ) 2 1 ( n n x n x L 。 将上式与本例中的结果相比较，它们的x 2 系数，x 4 系数都对应相等，于是就得到 等式 ∑ ∞ =1 2 1 n n = 6 2 π , ∑ ∞ =1 4 1 n n = 90 4 π 。 如果我们在计算时更精细些，也就是将ln x sin x 的幂级数展开计算到x 6 ，x 8 ，…， 还可以获得∑ ∞ =1 6 1 n n ，∑ ∞ =1 8 1 n n ，…的精确值。 注意点 1． 如果 xf )( 在 邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x 0 x 0 的Taylor 级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在 0 = xx 任意阶可导的函 数 ，它在 的Taylor级数并不收敛于 。但一般来说，对于有解析 表达式的初等函数 ，只要它在 xf )( 0 x xf )( xf )( 0 = xx 任意阶可导，则它在 的Taylor 级数就是它在 邻域的幂级数展开。 0 x 0 x 2． 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。 事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*） 来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方 法。 3． 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只 能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数 的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了， 例如例 9 中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后 就很容易确定。 6