复旦大学2005~2006学年第一学期期末考试试卷 课程名称:数学分析I课程代码:318.157.101 开课院系:数学科学学院 学生姓名: 学号: 专业: 题目1 4 78总分 得分 填充题 1.(每空格5分,共40分) (1) a+bn+cn (2)lim arctan x x→0 (3)设f(x)= x sin- x>0 0 x≤0 当a在_ 范围时,f(x)在x=0连续 当a在 范围时,f"(0)存在 (4)y=-(xva2-x2+a?arcsin),duUy'= (5)y= 则 (6)曲线ye2+3y-x2=4在(0,1)点处的切线方程为 (7)不定积分 求不定积分 Vc+(10分)
复旦大学 2005～2006 学年第一学期期末考试试卷 课程名称： 数学分析I 课程代码： 318.157.1.01 开课院系： 数学科学学院 学生姓名： 学号： 专业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分 得 分 填充题 1．（每空格 5 分，共 40 分） （1） 111 lim 3 n nnn n abc →∞ ⎛ ⎞ ⎜ + + = ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ 。 （2） 2 1 0 arctan lim x x x → x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 。 （3）设 1 sin 0 ( ) 0 0 x x f x x x ⎧ α ⎪ > = ⎨ ⎪ ⎩ ≤ ， 当α 在 范围时， ′ xf )( 在 连续； x = 0 当α 在 范围时， f ′′ )0( 存在。 （4） 1 22 2 ( arcsin 2 ) x y x axa ，则 a = −+ y ' = 。 （5） 2 1 x y x + = ，则 2 d y = 。 （6）曲线 在(0 点处的切线方程为 2 3 4 x ye y x +−= ,1) 。 （7）不定积分 2 cos dx x = ∫ 。 2．求不定积分： 1 1 x x e dx e − + ∫ （10 分）。 1
3.设00>0),使过(n,y)点的切线 与x轴,y轴所围的三角形面积最小?并求出最小的面积(10分)
3．设0 > 0, 0) ，使过( ) 00 , yx 点的切线 与 x轴， y 轴所围的三角形面积最小？并求出最小的面积（10 分）。 2
5.设f(x)>0,问是否存在δ>0,使f(x)在(x-6,x+)上单调增加? 是的话,证明你的断言,不一定的话,举出反例(10分)。 6.设P(x)=1+xxy》+…+,F(x)=P(x)Pn1(x),证明F(x)=0有唯 的实根(10分)
5. 设 f x'( ) 0 0 > ，问是否存在δ > 0，使 f ( ) x 在 0 0 ( , x x −δ +δ )上单调增加？ 是的话，证明你的断言，不一定的话，举出反例（10 分）。 6．设 2 3 () 1 2! 3! ! n n x x x Px x n =+ + + + + L ， 1 () () () Fx P xP x = n n+ ，证明 有唯 一的实根（10 分）。 F x() 0 = 3
7.讨论函数y=x,的单调性、凹凸性、极值与拐点、渐近线,并 作出它的图象(10分)
7. 讨论函数 3 2 ( 1) x y x = − 的单调性、凹凸性、极值与拐点、渐近线，并 作出它的图象（10 分）。 4
