复旦大学数学类基础课程《数学分析》教学大纲

复旦大学数学类基础课程 《数学分析》教学大纲 218003.1数学分析(I)学分数5周学时4+2 总学时96 (讲课64,习题课32) 2180032数学分析(Ⅱ)学分数5周学时4+2 总学时96 (讲课64,习题32) 218003.3数学分析(Ⅲ)学分数4周学时3+2 总学时80 (讲课48,习题32) 课程性质与基本要求 课程性质:数学分析是数学系最重要的一门基础课,是许多后继 课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算 方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学系本科一、二年 级学生的必修课。 本课程总学时为272学时,其中讲课为176学时,习题课为96 学时,共分三学期完成,分别为数学分析(Ⅰ),数学分析(Ⅱ), 数学分析(Ⅲ) 基本要求:通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的 基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练 的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决 实际应用问题的能力。 教学方式与指导思想 教学方式:以课堂教学为主,充分利用现代化技术,结合计算机 实习与多媒体辅助教学,提高教学效果。 指导思想:微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等 学科的发展,在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的 联系,强调应用背景,充实理论的应用性内容 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代 数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方 法,提高学生的数学修养

1 复旦大学数学类基础课程 《数学分析》教学大纲 218.003.1 数学分析（ I ） 学分数 5 周学时 4+2 总学时 96 （讲课 64，习题课 32） 218.003.2 数学分析（ II ） 学分数 5 周学时 4+2 总学时 96 （讲课 64，习题 32） 218.003.3 数学分析（ III ） 学分数 4 周学时 3+2 总学时 80 （讲课 48，习题 32） 课程性质与基本要求 课程性质：数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继 课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算 方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年 级学生的必修课。 本课程总学时为 272 学时，其中讲课为 176 学时，习题课为 96 学时，共分三学期完成，分别为数学分析（ I ），数学分析（ II ）， 数学分析（ III ）。 基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的 基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练 的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决 实际应用问题的能力。 教学方式与指导思想 教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机 实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。 指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等 学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的 联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代 数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方 法，提高学生的数学修养

教学内容,教学要求与学时分配 学时(含习题课 数学分析(I) 第一章集合与映射 8 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求:理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示 法,函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 16 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求:掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收 敛准则,理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列 基本定理。 第三章函数极限与连续函数 16 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求:掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系, 无穷小量与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质 第四章微分 15 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求:理解微分,导数,高阶微分与高阶导数的概念,性质 及相互关系,熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 2

2 教学内容，教学要求与学时分配 学时（含习题课） 数学分析（ I ） 第一章 集合与映射 8 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示 法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章 数列极限 16 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收 敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列 基本定理。 第三章 函数极限与连续函数 16 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系， 无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章 微 分 15 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质 及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章 微分中值定理及其应用 21 §1.微分中值定理

§2.L′ Hospital法则 §3.插值多项式和 Taylor公式 §4.函数的 Taylor公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求:掌握微分中值定理与函数的 Tay lor公式,并应用于 函数性质的研究,熟练运用L′ Hospital法则计算极限,熟练应用微 分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求:掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和 分部积分法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分 的方法。 第七章定积分(§1-§3) §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 期末考试 数学分析(Ⅱ) 第七章定积分(§4—§6) §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求:理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:牛顿 莱布尼兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物 理与实际应用中的问题,初步掌握定积分的数值计算 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求:掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收敛

3 §2.L＇Hospital 法则 §3.插值多项式和 Taylor 公式 §4.函数的 Taylor 公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式，并应用于 函数性质的研究，熟练运用 L＇Hospital 法则计算极限，熟练应用微 分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章 不定积分 9 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和 分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分 的方法。 第七章 定积分（§1 —§3） 11 §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 期末考试 数学分析（ II ） 第七章 定积分（§4 —§6） 15 §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿 —莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物 理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章 反常积分 9 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛

判别法与反常积分的计算 第九章数项级数 21 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求:掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极 限的概念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘 积的敛散性。 第十章函数项级数 21 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求:掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致 收敛性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练 展开函数为幂级数,了解函数的幂级数展开的重要应用 第十一章 Euclid空间上的极限和连续9 §1. Euclid空间上的基本定理 §2.多元连续函数 §3.连续函数的性质 本章教学要求:了解 Euclid空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限 与连续性的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧 集上连续函数的性质。 第十二章多元函数的微分学(§1—§5)21 §1.偏导数与全微分 §2.多元复合函数的求导法则 §3. Taylor公式 §4.隐函数 §5.偏导数在几何中的应用 期末考试

4 判别法与反常积分的计算。 第九章 数项级数 21 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极 限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘 积的敛散性。 第十章 函数项级数 21 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致 收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练 展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。 第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 9 §1.Euclid 空间上的基本定理 §2.多元连续函数 §3.连续函数的性质 本章教学要求：了解 Euclid 空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限 与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧 集上连续函数的性质。 第十二章 多元函数的微分学（§1—§5） 21 §1.偏导数与全微分 §2. 多元复合函数的求导法则 §3.Taylor 公式 §4.隐函数 §5.偏导数在几何中的应用 期末考试

数学分析(Ⅲ) 第十二章多元函数的微分学(§6-§7)7 §6.无条件极值 §7.条件极值问题与 Lagrange乘数法 本章教学要求:掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与 元函数对应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方 法,掌握偏导数在几何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件 极值的方法。 第十三章重积分 19 §1.有界闭区域上的重积分 §2.重积分的性质与计算 §3.重积分的变量代换 §4.反常重积分 §5.微分形式 本章教学要求:理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算 方法,会熟练应用变量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重 积分变量代换的表示公式上的应用。 第十四章曲线积分与曲面积分 §1.第一类曲线积分与第一类曲面积分 §2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 §3. Green公式, Gauss公式和 Stokes公式 §4.微分形式的外微分 §5.场论初步 本章教学要求:掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方 解外微分的引入在给出 Green公式,Gas公式和 Stokes公 法,掌握 Green公式, Gauss公式和 Stokes公式的意义与应用, 形式上的意义,对场论知识有一个初步的了解。 第十五章含参变量积分 §1.含参变量的常义积分 §2.含参变量的反常积分 §3. Euler积分 本章教学要求:掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量 反常积分一致收敛的概念,一致收敛的判别法,一致收敛反常积分的 性质及其在积分计算中的应用,掌握 Euler积分的计算

5 数学分析（ III ） 第十二章 多元函数的微分学（§6—§7） 7 §6.无条件极值 §7.条件极值问题与 Lagrange 乘数法 本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一 元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方 法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件 极值的方法。 第十三章 重积分 19 §1.有界闭区域上的重积分 §2.重积分的性质与计算 §3.重积分的变量代换 §4.反常重积分 §5.微分形式 本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算 方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重 积分变量代换的表示公式上的应用。 第十四章 曲线积分与曲面积分 28 §1.第一类曲线积分与第一类曲面积分 §2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 §3.Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式 §4.微分形式的外微分 §5.场论初步 本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方 法，掌握 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用，理 解外微分的引入在给出 Green 公式，Gauss 公式和 Stokes 公式统一 形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。 第十五章 含参变量积分 12 §1.含参变量的常义积分 §2.含参变量的反常积分 §3.Euler 积分 本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量 反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的 性质及其在积分计算中的应用，掌握 Euler 积分的计算

第十六章 Fourier级数 §1.函数的 Fourier级数展开 §2. Fourier级数的收敛判别法 §3. Fourier级数的性质 §4. Fourier变换和F curler 积分 §5.快速 Fourier变换 本章教学要求:掌握周期函数的 Fourier级数展开方法,掌握 Fourier 级数的收敛判别法与 Fourier级数的性质,对 Fourier变换与 Fourier 积分有一个初步的了解。 期末考试 考核方式 闭卷考试 教材和参考书 教材 《数学分析》(第二版),陈纪修,於崇华,金路编 高等教育出版社上册:2004年6月,下册:2004年10月 参考书 (1)数学分析习题全解指南,陈纪修,徐惠平,周渊,金路, 邱维元高等教育出版社上册:2005年7月,下册:2005年 11月 (2)《高等数学引论》(第一卷),华罗庚著 科学出版社(1964) (3)《微积分学教程》,菲赫金哥尔兹编,北京大学高等数学 教研室译,人民教育出版社(1954) (4)《数学分析习题集》,吉米多维奇编,李荣?译 高等教育出版社(1958) (5)《数学分析原理》,卢丁著,赵慈庚,蒋铎译 高等教育出版社(1979) (6)《数学分析》,陈传璋等 高等教育出版社(1978)

6 第十六章 Fourier 级数 14 §1.函数的 Fourier 级数展开 §2. Fourier 级数的收敛判别法 §3. Fourier 级数的性质 §4. Fourier 变换和 Fourier 积分 §5.快速 Fourier 变换 本章教学要求：掌握周期函数的 Fourier 级数展开方法，掌握Fourier 级数的收敛判别法与Fourier级数的性质，对Fourier变换与Fourier 积分有一个初步的了解。 期末考试 考核方式 闭卷考试 教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版）， 陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社 上册：2004 年 6 月，下册：2004 年 10 月 参考书： （1）数学分析习题全解指南，陈纪修，徐惠平，周渊，金路， 邱维元 高等教育出版社 上册：2005 年 7 月，下册：2005 年 11 月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学 教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣？译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等 高等教育出版社（1978）