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复旦大学数学类基础课程《数学分析》教学大纲

课程性质:数学分析是数学系最重要的一门基础课,是许多后继 课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算 方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学系本科一、二年 级学生的必修课。
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复旦大学数学类基础课程 《数学分析》教学大纲 218003.1数学分析(I)学分数5周学时4+2 总学时96 (讲课64,习题课32) 2180032数学分析(Ⅱ)学分数5周学时4+2 总学时96 (讲课64,习题32) 218003.3数学分析(Ⅲ)学分数4周学时3+2 总学时80 (讲课48,习题32) 课程性质与基本要求 课程性质:数学分析是数学系最重要的一门基础课,是许多后继 课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算 方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学系本科一、二年 级学生的必修课。 本课程总学时为272学时,其中讲课为176学时,习题课为96 学时,共分三学期完成,分别为数学分析(Ⅰ),数学分析(Ⅱ), 数学分析(Ⅲ) 基本要求:通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的 基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练 的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决 实际应用问题的能力。 教学方式与指导思想 教学方式:以课堂教学为主,充分利用现代化技术,结合计算机 实习与多媒体辅助教学,提高教学效果。 指导思想:微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等 学科的发展,在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的 联系,强调应用背景,充实理论的应用性内容 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代 数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方 法,提高学生的数学修养

1 复旦大学数学类基础课程 《数学分析》教学大纲 218.003.1 数学分析( I ) 学分数 5 周学时 4+2 总学时 96 (讲课 64,习题课 32) 218.003.2 数学分析( II ) 学分数 5 周学时 4+2 总学时 96 (讲课 64,习题 32) 218.003.3 数学分析( III ) 学分数 4 周学时 3+2 总学时 80 (讲课 48,习题 32) 课程性质与基本要求 课程性质:数学分析是数学系最重要的一门基础课,是许多后继 课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算 方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学系本科一、二年 级学生的必修课。 本课程总学时为 272 学时,其中讲课为 176 学时,习题课为 96 学时,共分三学期完成,分别为数学分析( I ),数学分析( II ), 数学分析( III )。 基本要求:通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的 基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练 的运算能力与技巧;提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解决 实际应用问题的能力。 教学方式与指导思想 教学方式:以课堂教学为主,充分利用现代化技术,结合计算机 实习与多媒体辅助教学,提高教学效果。 指导思想:微积分理论的产生离不开物理学,天文学,几何学等 学科的发展,在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的 联系,强调应用背景,充实理论的应用性内容。 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代 数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方 法,提高学生的数学修养

教学内容,教学要求与学时分配 学时(含习题课 数学分析(I) 第一章集合与映射 8 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求:理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示 法,函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 16 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求:掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收 敛准则,理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列 基本定理。 第三章函数极限与连续函数 16 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求:掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系, 无穷小量与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质 第四章微分 15 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求:理解微分,导数,高阶微分与高阶导数的概念,性质 及相互关系,熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 2

2 教学内容,教学要求与学时分配 学时(含习题课) 数学分析( I ) 第一章 集合与映射 8 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求:理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示 法,函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章 数列极限 16 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求:掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收 敛准则,理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列 基本定理。 第三章 函数极限与连续函数 16 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求:掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系, 无穷小量与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质。 第四章 微 分 15 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求:理解微分,导数,高阶微分与高阶导数的概念,性质 及相互关系,熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章 微分中值定理及其应用 21 §1.微分中值定理

§2.L′ Hospital法则 §3.插值多项式和 Taylor公式 §4.函数的 Taylor公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求:掌握微分中值定理与函数的 Tay lor公式,并应用于 函数性质的研究,熟练运用L′ Hospital法则计算极限,熟练应用微 分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求:掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和 分部积分法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分 的方法。 第七章定积分(§1-§3) §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 期末考试 数学分析(Ⅱ) 第七章定积分(§4—§6) §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求:理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:牛顿 莱布尼兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物 理与实际应用中的问题,初步掌握定积分的数值计算 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求:掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收敛

3 §2.L'Hospital 法则 §3.插值多项式和 Taylor 公式 §4.函数的 Taylor 公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求:掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式,并应用于 函数性质的研究,熟练运用 L'Hospital 法则计算极限,熟练应用微 分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章 不定积分 9 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求:掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和 分部积分法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分 的方法。 第七章 定积分(§1 —§3) 11 §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 期末考试 数学分析( II ) 第七章 定积分(§4 —§6) 15 §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求:理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:牛顿 —莱布尼兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物 理与实际应用中的问题,初步掌握定积分的数值计算。 第八章 反常积分 9 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求:掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收敛

判别法与反常积分的计算 第九章数项级数 21 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求:掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极 限的概念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘 积的敛散性。 第十章函数项级数 21 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求:掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致 收敛性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练 展开函数为幂级数,了解函数的幂级数展开的重要应用 第十一章 Euclid空间上的极限和连续9 §1. Euclid空间上的基本定理 §2.多元连续函数 §3.连续函数的性质 本章教学要求:了解 Euclid空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限 与连续性的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧 集上连续函数的性质。 第十二章多元函数的微分学(§1—§5)21 §1.偏导数与全微分 §2.多元复合函数的求导法则 §3. Taylor公式 §4.隐函数 §5.偏导数在几何中的应用 期末考试

4 判别法与反常积分的计算。 第九章 数项级数 21 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求:掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极 限的概念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘 积的敛散性。 第十章 函数项级数 21 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求:掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致 收敛性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练 展开函数为幂级数,了解函数的幂级数展开的重要应用。 第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 9 §1.Euclid 空间上的基本定理 §2.多元连续函数 §3.连续函数的性质 本章教学要求:了解 Euclid 空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限 与连续性的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧 集上连续函数的性质。 第十二章 多元函数的微分学(§1—§5) 21 §1.偏导数与全微分 §2. 多元复合函数的求导法则 §3.Taylor 公式 §4.隐函数 §5.偏导数在几何中的应用 期末考试

数学分析(Ⅲ) 第十二章多元函数的微分学(§6-§7)7 §6.无条件极值 §7.条件极值问题与 Lagrange乘数法 本章教学要求:掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与 元函数对应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方 法,掌握偏导数在几何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件 极值的方法。 第十三章重积分 19 §1.有界闭区域上的重积分 §2.重积分的性质与计算 §3.重积分的变量代换 §4.反常重积分 §5.微分形式 本章教学要求:理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算 方法,会熟练应用变量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重 积分变量代换的表示公式上的应用。 第十四章曲线积分与曲面积分 §1.第一类曲线积分与第一类曲面积分 §2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 §3. Green公式, Gauss公式和 Stokes公式 §4.微分形式的外微分 §5.场论初步 本章教学要求:掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方 解外微分的引入在给出 Green公式,Gas公式和 Stokes公 法,掌握 Green公式, Gauss公式和 Stokes公式的意义与应用, 形式上的意义,对场论知识有一个初步的了解。 第十五章含参变量积分 §1.含参变量的常义积分 §2.含参变量的反常积分 §3. Euler积分 本章教学要求:掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量 反常积分一致收敛的概念,一致收敛的判别法,一致收敛反常积分的 性质及其在积分计算中的应用,掌握 Euler积分的计算

5 数学分析( III ) 第十二章 多元函数的微分学(§6—§7) 7 §6.无条件极值 §7.条件极值问题与 Lagrange 乘数法 本章教学要求:掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与一 元函数对应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方 法,掌握偏导数在几何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件 极值的方法。 第十三章 重积分 19 §1.有界闭区域上的重积分 §2.重积分的性质与计算 §3.重积分的变量代换 §4.反常重积分 §5.微分形式 本章教学要求:理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算 方法,会熟练应用变量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重 积分变量代换的表示公式上的应用。 第十四章 曲线积分与曲面积分 28 §1.第一类曲线积分与第一类曲面积分 §2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 §3.Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式 §4.微分形式的外微分 §5.场论初步 本章教学要求:掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方 法,掌握 Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用,理 解外微分的引入在给出 Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式统一 形式上的意义,对场论知识有一个初步的了解。 第十五章 含参变量积分 12 §1.含参变量的常义积分 §2.含参变量的反常积分 §3.Euler 积分 本章教学要求:掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量 反常积分一致收敛的概念,一致收敛的判别法,一致收敛反常积分的 性质及其在积分计算中的应用,掌握 Euler 积分的计算

第十六章 Fourier级数 §1.函数的 Fourier级数展开 §2. Fourier级数的收敛判别法 §3. Fourier级数的性质 §4. Fourier变换和F curler 积分 §5.快速 Fourier变换 本章教学要求:掌握周期函数的 Fourier级数展开方法,掌握 Fourier 级数的收敛判别法与 Fourier级数的性质,对 Fourier变换与 Fourier 积分有一个初步的了解。 期末考试 考核方式 闭卷考试 教材和参考书 教材 《数学分析》(第二版),陈纪修,於崇华,金路编 高等教育出版社上册:2004年6月,下册:2004年10月 参考书 (1)数学分析习题全解指南,陈纪修,徐惠平,周渊,金路, 邱维元高等教育出版社上册:2005年7月,下册:2005年 11月 (2)《高等数学引论》(第一卷),华罗庚著 科学出版社(1964) (3)《微积分学教程》,菲赫金哥尔兹编,北京大学高等数学 教研室译,人民教育出版社(1954) (4)《数学分析习题集》,吉米多维奇编,李荣?译 高等教育出版社(1958) (5)《数学分析原理》,卢丁著,赵慈庚,蒋铎译 高等教育出版社(1979) (6)《数学分析》,陈传璋等 高等教育出版社(1978)

6 第十六章 Fourier 级数 14 §1.函数的 Fourier 级数展开 §2. Fourier 级数的收敛判别法 §3. Fourier 级数的性质 §4. Fourier 变换和 Fourier 积分 §5.快速 Fourier 变换 本章教学要求:掌握周期函数的 Fourier 级数展开方法,掌握Fourier 级数的收敛判别法与Fourier级数的性质,对Fourier变换与Fourier 积分有一个初步的了解。 期末考试 考核方式 闭卷考试 教材和参考书 教材: 《数学分析》(第二版), 陈纪修,於崇华,金路编 高等教育出版社 上册:2004 年 6 月,下册:2004 年 10 月 参考书: (1)数学分析习题全解指南,陈纪修,徐惠平,周渊,金路, 邱维元 高等教育出版社 上册:2005 年 7 月,下册:2005 年 11 月 (2)《高等数学引论》(第一卷),华罗庚著 科学出版社(1964) (3)《微积分学教程》,菲赫金哥尔兹编,北京大学高等数学 教研室译,人民教育出版社(1954) (4)《数学分析习题集》,吉米多维奇编,李荣?译 高等教育出版社(1958) (5)《数学分析原理》,卢丁著,赵慈庚,蒋铎译 高等教育出版社(1979) (6)《数学分析》,陈传璋等 高等教育出版社(1978)

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