习题7.3 设函数f(x)连续,求下列函数F(x)的导数: (1)F(x)=.f(m)d; (2)F(x)=f( (3)F(x)= dt 解(1)F(x)=-(0M,所以F()=-f(x) (2)F'(x)=f(In x).(Inx)'=-f(In x) (3)F(x)= SIn x= 2 tdt 4+(x- sin cosr)2° 2.求下列极限 cost dt lim (arc tan v)c (4)lim x→+ 解(1) lim o cost2t = lim cos x2=1。 (2)lim 2 -lim--casx(sin x (arc tan v)dv (3)lim (arctan x) lim (arctan x) 1+x edu (4)1im lim =Im
习 题 7.3 ⒈ 设函数 f (x)连续，求下列函数F x( )的导数： ⑴ F x( ) = ∫ b x f (t)dt ; ⑵ F x( ) = ∫ x a f t dt ln ( ) ; ⑶ F x( ) = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + x tdt a dt t 0 2 sin 2 1 1 . 解（1） F x( ) = − ∫ ，所以 x b f (t)dt F′(x) = − f (x)。 （2）F′(x) = (ln ) 1 (ln ) (ln ) f x x f x ⋅ x ′ = 。 （3）F′(x) = x tdt x 2 2 0 2 sin 1 sin 1 ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ 2 2 4 ( sin cos ) 4sin x x x x + − = 。 ⒉ 求下列极限： ⑴ x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim ; ⑵ ∫ → − 1 cos 2 0 2 e lim x x w dw x ; ⑶ 2 0 2 1 (arc tan ) lim x v dv x x + ∫ →+∞ ; ⑷ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ x u x u x e du e du 0 2 2 0 2 2 lim 。 解（1） x t dt x x ∫ → 0 2 0 cos lim =limx→0 cos x 2 = 1。 （2） e e x x dw x x x x x w 2 ( sin ) 2 lim e lim 2 1 2 0 cos cos 2 0 = − − = → − → − ∫ 。 （3） 4 lim (arctan ) 1 (arctan ) lim 1 (arc tan ) lim 2 2 2 2 2 0 2 π = = + = + →+∞ →+∞ →+∞ ∫ x x x x x v dv x x x x 。 （4） 0 2 2 lim 2 lim lim 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ ∫ ∫ x x x x x x u x x u x u x xe e e e e du e du e du 。 216
∫。1f()dt 3.设f(x)是+∞)上的连续函数且恒有r(x)>0,证明s(x)=Jf()d 是定义在[0,+∞)上的单调增加函数 证因为 (x(x0d00x-00y ≥0, (odt 所以g(x)= f(1) 11b是定义在[0,+∞)上的单调增加函数。 4.求函数f(x)=(-)(-2y3d的极值。 解f(x)=(x-1(x-2)2,令f(x)=0,得到x=1,2。因为当x2时,f(x)>0,所以x=1是极小值点,x=2 不是极值点。由 f()-(-2)+(-2y)Mh=-1, 可知f(x)在x=1处有极小值f(1) 5利用中值定理求下列极限: (1) lir dt (2) d(p∈N) n→ 解(1)由积分第一中值定理, lim/" +r d= boxer=lim =0(0≤5≤1) 1+5n+1 (2)由积分第一中值定理,3∈mm+n,使得『x=厘mpP 所以 +p sinx lim dt=0。 217
⒊ 设 f (x)是[ , 0 + ∞)上的连续函数且恒有 f x( ) > 0，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 证 因为 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 0 ≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x f t dt f x x t f t dt f t dt f x x f t dt tf t dt g x ， 所以 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞)上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 解 f ′(x) = (x −1)(x − 2) 2 ，令 f ′(x) = 0，得到 x = 1, 2。因为当 x 2时， f ′(x) > 0，所以 x = 1是极小值点，x = 2 不是极值点。由 12 17 (1) [( 2) ( 2) ] 1 0 3 2 = − + − = − ∫ f t t dt , 可知 f (x)在 x = 1处有极小值 12 17 f (1) = − 。 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 解（1）由积分第一中值定理， lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 = 1 0 1 1 1 lim lim 0 (0 1) 1 1 1 n n n x dx n ξ →∞ ξ ξ →∞ = ⋅ = ≤ ≤ + + + ∫ 。 （2）由积分第一中值定理，∃ξ ∈[n, n + p]，使得 n p dx p x n p x n = ≤ ∫ + ξ sin sinξ ， 所以 0 sin lim = ∫ + →∞ n p n n dt x x 。 217
6.求下列定积分 d (2) 2(x-1)(x (3)「(2+3)at (5)∫ (x +l)d arcsinxax x2+2x+5)2 x tan xax 3 cos- x (10 sin(In x)dx (11)x arc tan xd (12「x2(x=d (13)「 dx d dh (15) (16 7 (19) d x 2 解(1)∫x(2-x)d=4 57105 l)(x2-x+1) x (3)「(2+3)ax=(4+2.62+9157040 In 4 In6 In 3 4)「 (-4xyd(-4)=-(-4x)y (5) x )2-[(x+1)2+42x2+2x+5)16 (6)5 arcsin xdx=xaresinzb-5o 2-dr=3-1 218
6. 求下列定积分： ⑴ x x dx ∫ − 1 0 2 2 2 (2 ) ; ⑵ ∫ 2 − − + 1 2 2 2 ( 1)( 1) dx x x x x ; ⑶ ∫ + 2 0 2 (2 3 ) dx x x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 10 x(1 4x ) dx ; (5) ∫− + + 1 + 1 2 2 ( 2 5) ( 1) x x x dx ; (6) ∫ 1 0 arcsin xdx ; (7) x x dx cos2 4 4 −∫ π π ; (8) ∫ 4 0 2 tan π x xdx ; (9) e sin x x dx 2 0 2 π ∫ ; (10) sin(ln ) e x dx 1 ∫ ; (11) ∫ 1 0 2 x arc tan xdx ; (12) ∫ + − e 1 1 2 x ln(x 1)dx 。 (13) ∫ − ln 2 0 3 2 x e dx x ; (14) ∫ + 1 0 2 1 e dx x ; (15) ∫ + 1 0 2 1 e x dx ; (16) ∫− − 2 1 2 1 2 3 (1 x ) dx ; (17) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 − 0 4 1 1 dx x x ; (18) ∫ + 1 + 0 4 2 1 1 dx x x ; (19) ∫ + 2 1 2 x 1 x dx ; (20) ∫ − 1 0 2 dx x x x ; 解 （1） 1 1 2 2 2 2 4 6 0 0 441 71 (2 ) (4 4 ) 3 5 7 105 x x − = dx x − x + x dx = − + = ∫ ∫ 。 （2） 2 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 ( 1 ) ln 2 2 2 2 x x x x dx dx x x x − − + 2 = − + − = − ∫ ∫ 。 （3） 2 2 2 0 0 15 70 40 (2 3 ) (4 2 6 9 ) ln 4 ln 6 ln 3 x x x x x + = dx + ⋅ + dx = + + ∫ ∫ 。 （4） 1 2 1 1 2 10 2 2 10 2 2 11 2 0 0 0 1 1 (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) (1 4 ) 8 88 x x − = dx − − x d − x = − − x = ∫ ∫ 1 88 。 （5） 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 2 5) 2 [( 1) 4] 2( 2 5) 1 x dx d x x x x x x − − − + + = = − + + + + + + ∫ ∫ 6 = 。 （6） 1 1 1 0 0 0 2 arcsin arcsin 1 1 2 x xdx x x dx x π = = − − ∫ ∫ − 。 218
(7)∫=0。(奇函数在对称区间上的积分为零) (8)Sx tan'xdx=Sa ec'xdx-So xdr= tan x o-S tan xdr-So 丌 (9) n2 xdx e(1-cos2x)dx,由 e cos 2xdx :9 e' sin 2xdx=-ef-1+2e sin 2x=-4e' cos 2xdx 得到「ccos2xdk 所以 xdx=(e2-1) (10)∫snk= x sin(In x))∫ox)k e(sin 1-cos 1)+1- sin(In x)dx 所以 L, sin(In x)arse (sin 1-cos1) (11)x2 arctan xdx=-xarctanxl- d rn )dx 12 ln2-1 (12)Jxmx-=3xm(x--x2+x+1+1)h (x3-l)ln(x-1) 3 所以 ∫"x-)h=3( x-1)In(x- (13) 2e 1r√m2 In 2 1 Vin 1-ln2 4 219
（7） 4 4 2 0 cos x dx x π π − = ∫ 。（奇函数在对称区间上的积分为零） （8） 4 4 4 4 4 2 2 0 0 0 0 0 tan sec tan tan 4 0 x xdx x xdx xdx x x xdx xdx π π π π π = − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ π ∫ 2 1 ln 2 4 2 32 π π = − − 。 （9） 2 2 2 0 0 1 e sin (1 cos 2 ) 2 x x xdx e x dx π π = − ∫ ∫ ，由 2 2 2 0 0 0 cos 2 cos 2 2 sin 2 x x x e xdx e x e xdx π π π = + ∫ ∫ 2 2 2 0 0 1 2 sin 2 4 cos 2 x x e e x eπ π π = − − + − ∫ xdx， 得到 2 2 0 1 cos 2 5 x e e xdx π π + = − ∫ ，所以 2 2 2 2 2 0 1 1 3 e sin ( 1) 2 10 x e e xdx e π π π π 2 5 + − = − + = ∫ 。 （10） e 1 1 1 sin(ln ) sin(ln ) cos(ln ) e e x dx = x x − x dx ∫ ∫ , e 1 = − e x (sin1 cos1) +1− sin(ln ) ∫ dx 所以 e 1 1 sin(ln ) (sin1 cos1) 2 2 e x dx = − ∫ + 。 （11） 3 1 1 2 3 1 0 2 2 0 0 1 1 1 arctan arctan ( ) 3 3 1 12 3 1 x x 1 0 x xdx x x dx x dx x x π = − = − − + + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 ln 2 1 ( ln 2) 12 3 2 2 12 6 π π − = − − = + 。 （12） 2 3 1 1 2 1 ln( 1) ln( 1) ( 1 ) 3 3 1 x x dx x x x x dx x − = − − + + + − ∫ ∫ 1 1 3 3 1 1 ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 2 x x x x x ⎛ ⎞ = − − − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ c , 所以 e 1 2 3 1 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ln( 1) ( 1)ln( 1) 3 3 3 2 e e x x dx x x x x x + + ⎛ ⎞ + − = − − − ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ∫ 2 3 2 1 9 2 = + e e 。 （13） ln 2 2 2 ln 2 3 2 ln 2 0 0 0 1 1 e e 2 2 x x 2 x 2 x dx x e dx − − = − + ∫ ∫ − 2 ln 2 0 ln 2 1 1 ln 2 4 2 4 x e− − = − − = 。 219
(14)令t=√x+1,则x=t2-1,于是 √2 (15) dx √1 evrs-In(e+V1+e-2r) =In e( +v2) n(√1+e2-1)+ln(√2+1)-1。 (16)令 2 tan t x2) (17)令t 2dt dx 于是 dx ∫a2h=212+21+3 (1-1)2 =2|13+t2+3+4n(1-1)+ 8In 2 注:本题也可令t=x+1,得到 dx 2(t-2 x+1 nd=1-8ln2。 (18) d x d(x 2x (19 v 2 dx v2 d x√/1+x2 dx 2x-x2 dx (2-
（14）令 2 t x = +1，则x = t −1，于是 1 2 2 2 1 2 2 2 2t 0 1 1 1 e 2 x t t dx e tdt te e dt + = = − ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 2 ( 2 ) 2 2 = − e e − 。 （15） 1 1 2 1 0 0 2 2 0 (1 2) ln( 1 e ) ln 1 e 1 e 1 1 e x x x x x dx de e e − − − − + = − = − + + = 2 + + + ∫ ∫ + ln( 1 1) ln( 2 1) 1 2 = + e − + + − 。 （16） 令 x = sin t，则 1 2 6 6 1 0 2 6 2 2 3 2 2 tan 3 (1 ) cos 3 dx dt t x t π π π − − = = = − ∫ ∫ 。 （17）令 1 1 x t x − = + ，则 2 1 , 1 (1 t x dx t t 2 ) + dt = = − − ，于是 4 4 1 0 2 0 1 1 2 1 (1 ) x t dx dt x t − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + − ∫ ∫ 0 2 2 1 4 1 2 2 3 1 (1 ) t t d t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + − + ⎝ ⎠ − − ∫ t 0 1 1 1 3 2 2 3 4ln(1 ) 3 1 t t t t t − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + + − + = − ⎝ ⎠ − 17 8ln 2 3 。 注：本题也可令t = x +1，得到 8ln 2 3 ( 2) 17 1 1 2 1 4 4 1 0 4 = − − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∫ ∫ dt t t dx x x 。 （18） 2 1 2 1 1 1 0 0 4 1 2 0 1 ( ) 1 1 arctan 1 ( ) 2 2 2 x d x x x dx x x x x 2 4 π − − + − − = = + − + ∫ ∫ = 。 （19） 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ln( 1 ) ln 1 1 1 3 dx dx x x x x x − − − − + = − = − + + = + + + ∫ ∫ 。 （20） 2 1 1 0 0 2 2 2 x x x dx dx x x x = − − ∫ ∫ 2 2 1 1 1 0 0 2 2 0 2 (2 ) 2 2 2 x x d x x dx dx 2 x x x x 2x − − = − − + − − ∫ ∫ ∫ − x 0 1 2 2 1 1 0 0 2 1 2 2 2 1 ( 1) dx t dt x x x − = − − − − + − − ∫ ∫ 220
注:本题也可令x=1+sint,得到 J(+sin('dr 7.求下列极限: lP+2p+3P+…+i li (p>0) 2丌 (3) (n-1) n 解(1)原式 xdx 2)原式 n (3)原式 2 求下列定积分: cos xax (2)「 sin"x dx (4)x2(1-4x2)d (6∫xln"xd 解(1)「 cos" xdx= cos"xdx+ cos" xdx 在第二个积分中,令t=丌-x,则 xx=-.cos"(x-1)d=(-1) tdu 所以当n为奇数时,∫ cos"xdx=0;
3 2 2 2 4 2 4 π π = − − + ⋅ = π − 。 注：本题也可令 x = 1+ sint，得到 2 4 3 (1 sin ) 2 0 2 2 1 0 = + = − − ∫ ∫− dx π t dt π x x x 。 7. 求下列极限： ⑴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + →∞ 2 2 2 2 1 2 3 1 lim n n n n n n " ; ⑵ lim n p p p p n →∞ n + 1 2 + + 3 + + 1 " p ( p > 0 ); ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + →∞ n n n n n n π π ( 1)π sin 2 sin sin 1 lim " 。 解（1）原式= 1 0 1 2 3 1 1 1 limn 2 n xdx →∞ nnn n n ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ + + + + = = ⎝ ⎠ " ∫ 。 （2）原式= 1 0 1 1 1 lim 1 p n p n i i x dx →∞ = n n p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⋅ = = ⎝ ⎠ + ∑ ∫ 。 （3）原式= 1 1 0 1 1 2 lim sin sin n n i i xdx n n π π π − →∞ = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∫ 。 8. 求下列定积分： ⑴ 0 cos n xdx π ∫ ; ⑵ sinn x dx −∫ π π ; ⑶ ( ) a x dn a 2 2 0∫ − x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 2 10 x (1 4x ) dx ; (5) ∫ 1 0 x ln xdx n m ; (6) ∫ e n x xdx 1 ln . 解（1） 2 2 0 0 cos cos cos n n n xdx xdx xdx π π π π = + ∫ ∫ ∫ ， 在第二个积分中，令t = π − x ，则 2 2 2 0 0 cos cos ( ) ( 1) cos n n n n xdx t dt tdt π π π π = − π − = − ∫ ∫ ∫ ， 所以当n为奇数时， 0 cos 0 n xdx π = ∫ ; 221
当n为偶数时,cosy=2 2 cos"xdx=(==3):。 (2)当n为奇数时,显然[sm”x=0 当n为偶数时, sIn x sin xdx+ 在积分上sm"x中,令 t=丌-X, sin"xdx=- sin"(T-ndt= sin"tdt, 所以 in"xdx= 4 sin”t(n-1)n-3)…1 n(n-2)…2 (3)令x= asin,则 o(a'-xy"ax=a"". COS (4)令x=snt,则 x2(1-4x)ax=C cos2"tdt=[2(cost-cos2t)dt 8 1(2012222120 8(2I-23)1842m° (5)「x"ln x"In"- xdx ml (n+1 (6)[xn”xax=x2ln”x-[ xIn"-lxdx xIn"xdx= 2 22
当n为偶数时， 2 0 0 ( 1)( 3) 1 cos 2 cos ( 2) 2 n n n n xdx xdx n n π π π − − = = − ∫ ∫ " " 。 （2）当n为奇数时，显然 sin 0 n xdx π −π = ∫ ； 当n为偶数时， 2 2 0 0 sin 2 sin 2 sin 2 sin n n n n xdx xdx xdx xdx π π π π π −π = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ， 在积分 2 sinn xdx π π ∫ 中，令t = π − x ，则 2 2 2 0 0 sin sin ( ) sin n n n xdx t dt tdt π π π π = − π − = ∫ ∫ ∫ ， 所以 sin 4 n xdx π −π = ∫ 2 0 ( 1)( 3) 1 sin 2 ( 2) 2 n n n tdt n n π π − − = − ∫ " " 。 （3）令 x a = sin t，则 2 2 2 1 2 2 1 2 ! 0 0 (2 )!! ( ) cos (2 1)!! a n n n n n a x dx a tdt a n π + + + − = = + ∫ ∫ 。 （4）令 1 sin 2 x = t ，则 1 2 2 2 10 2 2 21 0 0 1 (1 4 ) sin cos 8 x x dx t tdt π − = ∫ ∫ ∫ = − 2 0 21 23 (cos cos ) 8 1 π t t dt 21!! 20!! 184 1 23!! 22!! 21!! 20!! 8 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 。 （5） 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ln ln ln 1 1 n m n m m n m x xdx x x x xdx n n + − = − + + ∫ ∫ 1 1 0 ln 1 m n m x xdx n − = − = + ∫ " 1 1 0 ! ! ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) m n m m m m m x dx n n + = − = − + + ∫ 。 （6） 2 1 2 1 1 1 1 1 ln ln ln ln 2 2 2 2 e e n n e n n n n 1 1 e x x dx x x x x dx e x x dx − − = − = − ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 1 1 ln 2 2 2 2 e n n n e e x x dx ⎛ ⎞ − − = − − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∫ " 222
nn(n-1 1) xdx n+m(n-1) t! (-)2m+ 9.设f(x)在0上连续,证明: (1)f(cosx)dx f(sin x)dx (2) f(sin x)dx=Af(sinx)dx 证(1)令 则 f(cos x)dx= f(sint)dt=l f(sinx)dx (2)令 f(sin x)dx=L(T-of(sinn)dt=f(sin x)dx-.xf(sinx)dx 所以 (imx)d=/(smx)h。 10.利用上题结果计算 (1)Isin+xdx; (2) xAnax 1+sin2 x 解(1)∫xs (2) sIn x arctan cos x=-丌2 (3) tan x dx +sin x 2 Jo 1+sin2x 1+sin2x Jo 1+2 tan2x 11.求下列定积分: (1)x2[x]dx (2)sgn(x-x)dx
2 1 2 1 1 ( 1) ! ! [1 ( 1) ] ( 1) 2 2 2 2 2 e n n n n e n n n n n xdx − − − = − + − + − + − " ∫ 2 1 2 1 ( 1) ! ! [1 ( 1) ] ( 1) 2 2 2 2 2 n n n n e n n n n + n + +1 − = − + −"+ − + − 。 9. 设 f x( )在[ , 0 1]上连续，证明： ⑴ f x (cos ) dx 0 2 π ∫ = ∫ f (sin x) d 0 2 π x ; ⑵ xf (sin x) dx 0 π ∫ = π π 2 0∫ f (sin x) dx 。 证（1）令 2 t x π = − ，则 2 2 2 0 0 0 f (cos x d) x f (sin t)dt f (sin x d) x π π π = = ∫ ∫ ∫ 。 （2）令t = π − x ，则 0 0 0 0 xf x (sin )dx ( t) f (sin t)dt f (sin x)dx xf (sin x)d π π π π = − π π = − ∫ ∫ ∫ ∫ x ， 所以 xf (sin x) dx = 0 π ∫ π π 2 0∫ f (sin x) dx 。 10. 利用上题结果计算： ⑴ x sin x d 4 0 π ∫ x ; ⑵ x x x dx sin 1 cos 0 2 + ∫ π ; ⑶ x x dx 10 2 + ∫ sin π 。 解（1） 4 4 2 4 0 0 0 3 sin sin sin 2 1 x xdx xdx xdx π π π 2 6 π = = π = π ∫ ∫ ∫ 。 （2） 2 0 0 2 2 0 sin sin 1 arctan cos 1 cos 2 1 cos 2 4 x x x dx dx x x x π π π π π = = − π + + ∫ ∫ = 。 （3） 2 2 2 2 2 0 0 0 0 tan 1 sin 2 1 sin 1 sin 1 2 tan2 x dx dx d x dx x x x π π π π x π = =π π= + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 2 arctan( 2 tan ) 2 4 x π π = = π 。 11. 求下列定积分： ⑴ x x dx 2 0 6 [ ] ∫ ; ⑵ ∫ sgn(x x − ) dx 3 0 2 ; 223
(3)「x|x-a|dx (4 oIe"Jo 解(1)x图hk=∫x2+2x+x+xh+xh=28 (2)gVx-x)d=「+∫(-)d=0。 (3)当a≤0时 xlx-aldx=x(x-a)dx 当0<a<1时 noxlx-aldx=J x(a-x)dx+(x-adr=a-a 当a≥1时 Ix-aldx=L x(a-x)ds 23 (4)∫2ckk=m+「m2+m,3+m4 bdr 7dx =14-n(7!)。 12.设f(x)在[a,b上可积且关于x=T对称,这里a<T<b。则 f(x)dx=f(x)dx+2 并给出它的几何解释。 证∫f(x)=∫”(x+D(x+/(x 由于f(x)关于x=T对称,所以f(27-x)=f(x),于是,令x=27-1,则 21(x)k=-.(2r-)d=丁/(27-Mh=()=丁(x 所以 f(x)tk=(x)x+21/(x)d。 从几何上说,由于f(x)关于x=7对称,所以积分(x)与积 分f(xhx表示的是相同的面积,从而上述等式成立
⑶ ∫ x x| | − a dx 0 1 ; (4) ∫ 2 0 [e ]dx x . 解（1） 。 6 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 x [ ] x dx = + x dx 2 x dx + 3 x dx +4 x dx + 5 x dx = 285 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ （2） 2 1 2 3 0 0 1 sgn(x − = x )dx 1dx + (−1)dx = 0 ∫ ∫ ∫ 。 （3）当a ≤ 0时， 1 1 0 0 1 | | ( ) 3 2 a x x − = a dx x x − a dx = − ∫ ∫ ； 当0 < a <1时， 1 1 3 0 0 1 1 | | ( ) ( ) 3 2 a a a x x − = a dx x a − x dx + x x − a dx = a − + ∫ ∫ ∫ 3 ； 当a ≥1时， 1 1 0 0 1 | | ( ) 2 3 a x x − = a dx x a − x dx = − ∫ ∫ 。 （4） 2 ln 2 ln3 ln 4 ln5 0 0 ln 2 ln3 ln 4 [ ] 1 2 3 4 x e dx = + dx dx + dx + dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ln 6 ln 7 2 ln5 ln 6 ln 7 + + 5 6 dx dx + dx ∫ ∫ ∫ 7 = − 14 ln(7!) 。 12．设 f x( )在[a b, ]上可积且关于 x = T 对称，这里a T < < b。则 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 并给出它的几何解释。 证 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b T b T b a a T b T f x dx f x dx f x dx f x dx − − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ， 由于 f x( )关于 x = T 对称，所以 f T (2 − x) = f (x)，于是，令 x T = 2 −t ，则 2 ( ) (2 ) (2 ) ( ) ( ) T T b b b T b b T T T f x dx f T t dt f T t dt f t dt f x dx − = − − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ， 所以 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 从几何上说，由于 f x( )关于 x = T 对称，所以积分 2 ( ) T T b f x dx ∫ − 与积 分 ( ) b T f x dx ∫ 表示的是相同的面积，从而上述等式成立。 224
x≥0, 13.设f(x)= 计算 X< 解令t 则 I=f(odr=.f(odt f(odt= dt+ te-dt -r dt2=In (1-e-) 14.设函数/(x)=2(x-38(,其中函数g(x)在(+2)上连续,且 g()=5,s(=2,证明f(x)=xJ,8(Mh-e()m,并计算f)和 f"(1)。 解()=2C(-2+1802g80-g+Ceo 等式两边求导,得到 f(x)=x8(M+2x2g()-(2(0+x28(x)+2x28(x) 再求导,得到f(x)=[g(Mt,f"(x)=g(x),所以 f∫"()=2,∫"(1)=5。 15.设(0+)上的连续函数f(x)满足f(x)=lx-fx),求∫f(x)tk 解记∫f(x)dr=a,则f(x)=hnx-a,于是 a=f(x)dx= In xdx-a(e-1) 所以 dx=-(xIn 16·设函数/()连续,且C0(2x-0)h=mcn(x),/(D=1求∫(x)。 解在[(2 中,令 则 25
13．设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + ≥ = − , 0. 1 1 , 0, ( ) 2 x e xe x f x x x 计算 = ∫ − 。 4 1 I f (x 2)dx 解 令t x = − 2，则 2 0 2 0 2 2 1 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 1 t t I f t dt f t dt f t dt dt te dt e − − − − = = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 2 2 2 4 1 0 ( 1) 1 1 1 ln (1 ) 1 2 2 2 t t t d e e e dt e e − − − − − + + = − + = + − + ∫ ∫ 。 14．设函数 ∫ = − x f x x t g t dt 0 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ，其中函数 g(x)在(−∞,+∞) 上连续，且 ， ，证明 ，并计算 和 。 g(1) = 5 ( ) 2 1 0 = ∫ g t dt ∫ ∫ ′ = − x x f x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) f ′′(1) f ′′′(1) 解 ∫ ∫ ∫ ∫ = − + = − + x x x x f x x xt t g t dt x g t dt x tg t dt t g t dt 0 2 0 0 2 0 2 2 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( 2 ) ( ) 2 1 ( ) ， 等式两边求导，得到 ( ) 2 1 ( ) ( ( ) ( )) 2 1 ( ) ( ) 2 2 0 2 0 f x x g t dt x g x tg t dt x g x x g x x x ′ = + − + + ∫ ∫ 。 ∫ ∫ = − x x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) 再求导，得到 ( ) ( ) , ( ) ( )，所以 0 f x g t dt f x g x x ′′ = ′′′ = ∫ f ′′(1) = 2 ， f ′′′(1) = 5。 15．设(0,+∞)上的连续函数 f (x)满足 = − ∫ ，求 。 e f x x f x dx 1 ( ) ln ( ) ∫ e f x dx 1 ( ) 解 记 f x dx a，则 e = ∫1 ( ) f (x) = ln x − a，于是 1 1 ( ) ln ( 1) e e a f = = x dx xdx − a e ∫ ∫ − ， 所以 ( ) e x x x e xdx e a e e 1 ln 1 ln 1 1 1 = = − = ∫ 。 16. 设函数 f (x)连续，且 arctan( ) 2 1 (2 ) 2 1 0 tf x − t dt = x ∫ ，f (1) = 1。求∫ 。 2 1 f (x)dx 解 在∫ − 中，令 1 0 tf (2x t)dt u = 2x − t ，则 225
