习题6.3 求下列不定积分 2x+3 (2 dx; (x-1)(x+1)2 (x2-1)(x2+1) +1)(x+2)2(x+3)3 (x2+4x+4)(x2+4x+5)2 (5 5x- ()J,x dx x2+1)(x2+x+1 03)∫ 2 dx 04∫ 1)2 x(1+x7) dh 60∫ dx 解(1) x+122(x-1(x+1)(x+1)2 设 Ax+b cx+D 则 (Ax+B)(x2+1)+(Cx+D)(x2-1) 于是
习 题 6.3 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 1 1 2 ； ⑵ 2 3 1 1 2 2 x x x dx + − + ∫ ( )( ) ； ⑶ x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 ； ⑷ dx ( ) x x (x x 2 2 + + 4 4 + + 4 5 ∫ )2 ； ⑸ 3 1 3 x dx + ∫ ； ⑹ dx x x 4 2 + +1 ∫ ； ⑺ x x x x dx 4 2 5 4 5 4 + + + + ∫ ； ⑻ x x x dx 3 3 1 5 6 + + − ∫ ； ⑼ x x dx 2 4 1− ∫ ； ⑽ dx x 4 +1 ∫ ； ⑾ dx ( ) x x( x 2 2 + + 1 1 + ∫ ) ； ⑿ x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ； ⒀ x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) ； ⒁ 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ； ⒂ x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ； ⒃ x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) 。 解（1） dx ( ) x x − ( + ) ∫ 1 1 2 = dx x x x ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + 2 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1 2 1 = 1 1 1 ln 4 1 2( 1) x C x x − + + + + 。 （2）∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 设 ( 1)( 1) 2 3 2 2 − + + x x x = 1 2 − + x Ax B + 1 2 + + x Cx D ，则 ( )( 1) ( )( 1) 2 3 2 2 Ax + B x + + Cx + D x − ≡ x + ，于是 186
A+C=0 B+D=0 B-D=3 解得A=1.C 所以 tanx+c x+12 (3) dx (x+1)(x+2)2(x+3)3 设 (x+1)(x+2)2(x+3) E x+2(x+2)2x+3(x+3)2(x+3)3 A(x+2)(x+3)3+B(x+1)(x+2)x+3)3+C(x+1)(x+3) +D(x+1x+2)2(x+3)2+E(x+1)(x+2)2(x+3)+F(x+1)(x+2)2=x 令 得到 令 得到 令 得到F 再比较等式两边x3、x4的系数与常数项,得到 13A+12B+C+11D+E=0 108A+54B+27C+36D+12E+4F=0 于是解得A=-1,B=-5,C=2,D E 13F=3,即 (x+1)(x+2)2(x+3)3 2 x+ 所以 187
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + = + = 3 2 0 0 B D A C B D A C ， 解得 2 3 , 2 3 A = 1,C = −1, B = D = − 。所以 ∫ − + + dx x x x ( 1)( 1) 2 3 2 2 = ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − dx x x dx x x x x 1 1 1 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 ln ln arctan 2 1 4 1 2 x x x C x x − − = + − + + + 。 （3） x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 设 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x + + + + + + = 2 1 2 (x 2) C x B x A 2 3 3 ( 3) ( + 3) + + + + x F x E x D ，则 2 3 3 3 A(x + 2) (x + 3) + B(x +1)(x + 2)(x + 3) + C(x +1)(x + 3) + D x + x + x + + E x + x + x + + F x + x + ≡ x 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2) 。 令 x = −1，得到 1 8 A = − ；令 x = −2，得到C = 2；令 x = −3，得到 3 2 F = ； 再比较等式两边 5 x 、 4 x 的系数与常数项，得到 0 13 12 11 0 108 54 27 36 12 4 0 A B D A B C D E A B C D E F ⎧ + + = ⎪ ⎨ + + + + = ⎪ ⎩ + + + + + = 。 于是解得 2 3 , 4 13 , 8 41 , 5, 2, 8 1 A = − B = − C = D = E = F = ，即 2 3 (x +1)(x + 2) (x + 3) x 2 2 3 2( 3) 3 4( 3) 13 ( 2) 2 8( 3) 41 2 5 8( 1) 1 + + + + + + + + + − + = − x x x x x x 。 所以 187
x ax (x+1)(x+2)2(x+3)3 x+ 2 13 x+1)(x+ 4(x+3)4(x+3)2 (4) (x2+4x+4) (x2+4x+4)x2+4x+5)2(x2+4x+4)(x2+4x+5)(x2+4x+5)2 +4x+4 +4x (x2+4x+5) 所以 4x+4)(x2+4x+5 +2 [1+(x+2)2] x+2 arctan(x+2)+ x+22(x2+4x+5) (5)「 2 I rd(x 1),3rd In(x+1-In(x2-x+1)+v3 arctan 2x-1 (6)解一 d x 2(x2+x+1) (x+1)dx1r(x-1)h I( 1),1 I rd( )I dx 计+5-m02+0m2+c
x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 41 40 2 1 ( 3) 2 13 3 ln 8 ( 1)( 2) 2 4( 3) 4( 3) x C x x x x x + = − − − + + + + + + 。 （4）∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 ( 4 4)( 4 5) 1 + + − + + + + = x + x + x + x + x x x x x x 2 2 2 2 ( 4 5) 1 4 5 1 4 4 1 + + − + + − + + = x x x x x x ， 所以 ∫ + + + + 2 2 2 (x 4x 4)(x 4x 5) dx = ∫ + + + − + − + − 2 2 [1 ( 2) ] ( 2) arctan( 2) 2 1 x d x x x 2 1 2 3 arctan( 2) 2 2( 4 5) 2 x x C x x x + = − − − + + + + + 。 （5） 3 1 3 x dx + ∫ = ∫ ∫ ∫ − + + − + − + ⎟ = + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + 2 1 3 1 ( 1) 2 1 ln 1 1 2 1 1 2 2 2 2 x x dx x x d x x dx x x x x x 1 2 2 ln 1 ln( 1) 3 arctan 2 3 x 1 x x x C − = + − − + + + 。 （6）解一： dx x x 4 2 + +1 ∫ = dx x x x x x x ∫ + + − + + − − ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 2 1 2 2 3 3 = ∫ + + + 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx ∫ − + − − 1 ( 1) 2 1 2 x x x dx = ∫ ∫ + + + + + + + 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x ∫ ∫ − + + − + − + − 4 1 1 1 ( 1) 4 1 2 2 2 x x dx x x d x x 2 2 1 1 1 2 1 2 1 ln [arctan arctan ] 4 1 2 3 3 3 x x x x C x x + + + − = + + − + + 。 188
解 d1(+x) x+x+ +-In x十X +x+ in cta +C。 注:本题的答案也可以写成hx+x+1、A1*C 7) dx x++5x+4 =x2-5x+21 所以 x4+5x+4 135 dh x3+5x-6 5x-7 1x+22 6)4(x-1)4x2+x+6 所以 +1 43 2x+1 dx in arctan 8x2+x+6423 (9) dx=-In anx+c (0)J女
解二：∫ ∫ ∫ + + − + + + + = + + 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 4 2 2 4 2 2 4 2 x x x dx x x x dx x x dx 1 1 1 1 1 arctan ln 2 3 3 4 1 x x x x C x x − − − − + + = + + − 1 + 2 2 2 1 1 1 1 ln arctan 4 1 2 3 3 x x x C x x x + + − = + − + + 。 注：本题的答案也可以写成 2 2 2 1 1 1 3 ln arctan 4 1 2 3 1 x x x C x x x + + + + − + − 。 （7）∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 5 4 5 4 2 4 + + + + x x x x = 4 80 5 21 2 + − + − x x x ， 所以 ∫ + + + + dx x x x x 5 4 5 4 2 4 1 5 3 2 21 80ln 4 3 2 = − x x x + − x + +C 。 （8）∫ + − + dx x x x 5 6 1 3 3 6 22 4 1 4( 1) 1 1 ( 1)( 6) 5 7 1 5 6 1 3 2 2 3 + + + − − = + − + + − = − + − + x x x x x x x x x x x ， 所以 3 2 3 2 1 1 ( 1) 43 2 ln arctan 5 6 8 6 4 23 23 x x dx x C x x x x + − = + − + + − + + ∫ x +1 。 （9） x x dx 2 4 1− ∫ 2 2 1 1 1 1 1 1 ln arctan 2 1 1 4 1 2 x dx x C x x x ⎛ ⎞ + = − ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ − + − ∫ + 。 (10) dx x 4 +1 ∫ dx x 4 +1 ∫ = ∫ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + + dx x x x x x x 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 4 2 2 2 189
+√2x+11 4 √2x+ In +=( arctan(√2x+1)+ arctan(√2x-1)+C。 dx x (x2+1)(x2+x+1) +x+1 1.x2+x+11 2x+1 2x2+12x2+x+12x2+1 dx (x3-1) dh x(x x(x d dx +-InI 3(x-1x2+x+1 I rd(x+x+D) 6 x+x+ x2+x+13 lx-1=2In(x2+x+1)+arctan"5+In x-1+2In(x+x+1)-In/ x2+2 x2+x+1-x+1 (x2+x+1)2 1) 12x+1 x+x+ 2 √32(x2+x+1)23x2+x+13√3 arctan 2x+1x+1 arctan +c 3x2+x+1 x(1+x7) =m+x丁=门4-22
∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + + − + + + = dx x x x x x x x x 2 1 1 2 1 1 4 1 2 1 2 1 ln 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ln (arctan( 2 1) arctan( 2 1)) 8 4 2 1 x x x x C x x + + = + + + − + − + 。 (11) dx ( ) x x( x + ) 2 2 + + 1 1 ∫ dx x x x x x ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + = 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 ln ln arctan 2 1 2 1 2 1 3 3 x x dx x x x C x x x x + + + + + = + = + + + + + ∫ + 。 (12) x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ − − + = − + − − = x dx dx x x x dx x x x x x ( 1) 1 ( 1) 3 2 3 2 3 3 3 3 3 1 ln 3 1 1 x x dx x x − + − = ∫ 3 3 2 1 ln 3 1 1 1 1 1 3 1 x x dx x x x x − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − − = ∫ 3 3 2 2 2 1 ln 3 1 2 1 1 1 ( 1) 6 1 ln 1 3 1 x x x x dx x x d x x x − + + + + + + + + = − − ∫ ∫ 3 2 3 1 1 1 2 1 1 1 ln 1 ln( 1) arctan ln 3 6 3 3 3 x x x x x C x + − = − − + + + + + 2 1 2 1 2 1 ln 1 ln( 1) ln arctan 3 6 3 3 x x x x x C + = − + + + − + + 。 (13) x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) = ∫ + + + + − + dx x x x x x 2 2 2 ( 1) 1 1 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + + − + + = dx x x x x x x x 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 3 ( 1) 2 1 2 1 1 1 = 2 2 1 2 2 1 1 3 2 4 2 1 2 arctan arctan 3 3 2( 1) 2 3 1 3 3 3 x x x C x x x x ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + + + + + + + ⎝ ⎠ + 2 4 2 1 1 arctan 3 3 1 x x C x x + + = + + + + 。 (14) 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ∫ + + = dx x x x (1 ) 1 7 7 ∫ + − dx x x 7 6 1 2 ∫ = dx x 1 ∫ + − 7 7 7 1 2 x dx 190
nx|-=ln1+x|+C。 1[a(x+2x+2)-1a(x+ (x10+2x5+2)2 d210(x0+2x3+2)-5+(x3+1) 10(x°+2x3+2)10(x0+2x3+2)10am(x3+1)+C x5+2 10(x+2x3+2)10 arctan(x'+1)+C (16) 1)2 1(x"d 1)2 +亠 arctan x"+C。 2 2.在什么条件下,x2+bx+的原函数仍是有理函数? x(x+1) 解(x)=32+bx+可化为部分分式4、B+(+D于是 C (x+1)2 A(x+1+Bx(x+1+Cx= ax+bx +c, 要使f(x) ax2+bx +c 的原函数为有理函数,必须A=0.,B=0,由此可 得a=0.c=0 3.设p(x)是一个n次多项式,求 p (x) 解由于(x)P(x-ay,所以 (r-a)+=>P c p,(x) dx a Pn In
2 7 ln ln 1 7 = − x + x +C 。 (15) x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ∫ ∫ + + + − + + + + = 5 2 2 5 10 5 2 10 5 [1 ( 1) ] ( 1) 5 1 ( 2 2) ( 2 2) 10 1 x d x x x d x x 5 5 10 5 10 5 1 1 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10( 2 2) 10 x x C x x x x + = − − − + + + + + + 5 5 10 5 2 1 arctan( 1) 10( 2 2) 10 x x C x x + = − − + + + + 。 (16) x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) = ∫ ∫ + = − + 1 1 2 1 2 ( 1) 1 2 2 2 2 n n n n n x x d n dx x x n 2 2 2 1 1 1 1 arctan 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n x dx x x C n x n x n x n = − + = − + + + + + ∫ 。 ⒉ 在什么条件下， f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数仍是有理函数？ 解 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 可化为部分分式 2 1 ( +1) + + + x C x B x A ，于是 A x + + Bx x + + Cx ≡ ax + bx + c 2 2 ( 1) ( 1) ， 要使 f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数为有理函数，必须 A = 0, B = 0，由此可 得 a = 0, c = 0。 ⒊ 设 pn (x)是一个n次多项式，求 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) 。 解 由于 pn (x) =∑= − n k k k n x a k p a 0 ( ) ( ) ! ( ) ，所以 ∫ + − dx x a p x n n 1 ( ) ( ) ∑ ∫ − + = − = 1 0 ( ) ! ( ) ( ) n k n k k n x a dx k p a 1 ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ln !( ) ( ) ! n k n n n n k k p a p a x a C k n k x a n − − = = − + − + − − ∑ 。 191
4.求下列不定积分 dx (2) √(x-ab-x) 2 (4) dx x4+1 x+1+√x一 dh x(1+x) (8)x√1+ dx (x+ (1D (x-2)x+1)2 2D∫ 解(1) dh 2+4x 2+4x +4x)3+C (x-1)√2+4x+C (2)不妨设a<b d x arcsin √(x-ab-x) a+b、2 b 2 注:本题也可令x=acos2t+bsin2t,解得 =2 arcsin (x-a(b-x) b d-1(4(+x-x)+3在 --(2x+3)v1+x-x+=arcsin √5 192
⒋ 求下列不定积分： ⑴ x x dx 2 4 + ∫ ； ⑵ ∫ (x − a)(b − x) dx ； ⑶ ∫ + − dx x x x 2 2 1 ； ⑷ x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ ； ⑸ x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 ； ⑹ x x dx + − ∫ 1 1 ； ⑺ dx x x (1+ ∫ ) ； ⑻ dx x x 4 2 1+ ∫ ； ⑼ dx x x + ∫ 4 ； ⑽ ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) 。 ⑾ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ； ⑿ dx x x 14 4 + ∫ ； 解（1） x x dx 2 4 + ∫ = ∫ ∫ + = + x − + xdx x xd x 2 4 2 1 2 4 2 2 4 2 1 1 3 2 4 (2 4 ) 2 12 x = + x − + x C+ 1 ( 1) 2 4 6 = −x + x +C 。 （2）不妨设a < b， ∫ (x − a)(b − x) dx ∫ + − − − = 2 2 ) 2 ) ( 2 ( a b x b a dx 2 arcsin x a b C b a − − = + − 。 注：本题也可令 x = a cos 2 t + bsin 2 t ，解得 2arcsin ( )( ) dx x a C x a b x b x − = + − − − ∫ 。 （3）∫ + − dx x x x 2 2 1 ∫ ∫ ∫ + − + + − + − − + − + − = − 2 2 2 2 2 2 1 3 1 (1 ) 2 1 1 1 x x dx x x d x x dx x x x x 1 2 7 (2 3) 1 arcsin 4 8 5 2x 1 x x x C − = − + + − + + 。 192
(4) d(x-x dx=」 dx /x4+1 (x-x-)2+2 x2-1+√x2+1 注:这里假设x>0,当x<0时可得到相同的答案。 dx dx x+I+vx (x-√x2-1)dx= x2-1+C 2 注:本题也可通过作变换=+来求解 (6)∫ x+1 dr=x+ dx=√x2-1+nx+√x2-1+C。 注:本题也可通过作变换t=x+来求解 dx 2ln(√1+x+√x)+C。 (8)设x=tant,则 dx sec- tdt cos tdt -sin- t d sint C 3 (9)设t=√x,则x=t,d=41b,于是 d x 4r' dt x+ix .t-+t t =212-4+4n+l+c=2Vx-4x+4lm(x+1+C
（4） x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ =∫ ∫ − + − = + + − − − ( ) 2 1 ( ) 1 2 1 2 2 2 2 x x d x x dx x x x x 2 4 1 1 ln x x C x − + + = + 。 注：这里假设 x > 0，当 x < 0时可得到相同的答案。 （5） x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 =∫ ∫ + − = ( +1 + −1) 1 2 2 2 x x dx dx x x 2 2 1 1 2 1 2 ( 1) 1 ln 1 2 2 2 = −x x d − x = x − x x − + x + x − + ∫ C 。 注：本题也可通过作变换 1 1 − + = x x t 来求解。 （6） x x dx + − ∫ 1 1 = 2 2 2 1 1 ln 1 1 x dx x x x C x + = − + + − + − ∫ 。 注：本题也可通过作变换 1 1 − + = x x t 来求解。 （7） dx x x ( ) 1+ ∫ = x x x c x dx = + + + + + − ∫ (1 ) 2 1 ln 4 1 ) 2 1 ( 2 = + 2ln( 1 x + x) + C 。 （8）设 x = tan t ，则 dx x x 4 2 1+ ∫ ∫ ∫ ∫ − = = = d t t t t tdt t t tdt sin sin 1 sin sin cos tan sec sec 4 2 4 3 4 2 2 2 3 3 1 1 2 1 1 3sin sin 3 x c x t t x − = − + + = + +C 。 （9）设t x x t dx t dt 4 4 3 = ，则 = ， = 4 ，于是 dx x x + ∫ 4 dt t t t t t dt （ ） 1 1 4 1 4 2 3 + = − + + = ∫ ∫ 2 4 4 = − 2 4 t t + 4ln t +1 + c = 2 x − 4 x + 4ln（ x +1）+C 。 193
(10)设=(2-4,则x=4+,=152,于是 x4千(1-1)25h=5r (x+1) (11)设t= 则 d,于是 (1-13) 11-t39t 3(1-13)2 dt t-1 +=In(t'+t+1)-v3 arctan 1t2+t+1 In =-=In(x+1-vx-2)-v3 arctan VX+1+2+C x+ (12)设t=轨1+x4,x4=t4-1,于是 dx tdt (4-l)21(r2-1t2 +-arctant+c=-ln +- arctan√1+x4+C。 hLA 5.设R(u,v,)是u,v,w的有理函数,给出 ∫R(x,√a+x,Vb+x) 的求法 解设t=√a+x,则
（10）设 dt t t dx t t x x x t 3 2 2 3 3 3 (1 ) 15 1 4 1 4 − = − + = + − = ，则 ， ，于是 ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) = ∫ ∫ = − − dx t dt t t t t 4 3 2 3 2 2 2 5 3 (1 ) 15 25 (1 ) 5 5 3 3 3 4 25 25 1 x t c C x ⎛ ⎞ − = + = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + 。 （11）设 dt t t dx t t x x x t 3 2 2 3 3 3 (1 ) 9 1 2 1 2 − = − + = + − = ，则 ， ，于是 dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ∫ ∫ − = − ⋅ − = ⋅ 3 2 3 3 2 1 3 (1 ) 9 3 1 1 t tdt dt t t t t ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − − = − dt t t t t 1 1 1 1 2 c t t t t + + = − − + + + − 3 2 1 ln( 1) 3 arctan 2 1 ln 1 2 c x x x x x x x x + + + − − + + − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − = − 3 1 1 2 2 3 arctan 1 1 2 1 2 1 1 2 ln 2 1 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 1 ln( 1 2) 3 arctan 2 3 1 x x 2 2 x x C x + + − = − + − − − + ⋅ + 。 （12）设 1 , 1 4 4 4 4 t = + x x = t − ，于是 ∫ + 4 4 x 1 x dx ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = − = dt t t t t t dt 1 1 1 1 2 1 ( 1) 4 2 2 3 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 ln arctan ln arctan 1 4 1 2 4 1 1 2 t x t c x C t x − + − = + + = + + + + + + 。 ⒌ 设 R u( , v, w)是u v, ,w的有理函数，给出 ∫ R x( , a + + x , b x ) dx 的求法。 解 设t = a + x ，则 194
∫R(x b+x)dx=2 R(I-a,t, b )dt 再令√ 则 从而 ∫R(x b-a+u2 b-a-u a-b-2 2 2 2 为有理函数的积分。 6.求下列不定积分: (1)∫ 4+5cosx 2+sin x +sin- x I+sinx+ Sin x-cosrt5, (6 2+cos x sinx tan x+ sin n(x +a) 9)tan x tan(x+a)a sIn x cosx dx SIn-x d x SIn- x cos-x 1+sin2x 解(1)设n=tmn2,则cosx=1-n x=2 arctan dx 2du,于是 edu 4+5 (2)设 则 2 arctan.dx edu 于是 2u+1 tan +sinx J1+u+u2 3 2 tan -+1 √3 rotan
∫ R x( ,,) a + + x b x dx = R t a t t a b tdt ∫2 ( − , , − + ) 2 2 再令 t − a + b = t + u 2 ，则 u b a u t 2 2 − − = ，从而 ∫ R x( ,,) a + + x b x dx ∫ − − ⋅ − − − + − − − − − = du u a b u u b a u u b a u u b a u a u b a u R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 , 2 ) , 2 (( 为有理函数的积分。 ⒍ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 5 + x ∫ cos ； ⑵ dx 2 + x ∫ sin ； ⑶ dx 3 x 2 + ∫ sin ； ⑷ dx 1+ + x x ∫ sin cos ； ⑸ dx 2 5 sin x − cos x + ∫ ； ⑹ dx ( c 2 + os x)sin ∫ x ； ⑺ ∫ x + x dx tan sin ； ⑻ dx sin(x a + + ) cos(x b) ∫ ； ⑼ ∫ tan x tan(x + a)dx； ⑽ sin cos sin cos x x x x dx + ∫ ； ⑾ dx sin x cos x 2 2 ∫ ； ⑿ sin sin 2 2 1 x x dx + ∫ 。 解（1）设 , 2 tan x u = 则 2 2 2 1 2 , 2arctan , 1 1 cos u du x u dx u u x + = = + − = ，于是 dx 4 5 + x ∫ cos = 2 3 tan 2 1 3 1 2 ln ln 9 3 3 3 3 tan 2 x du u c C u u x + + = + = + − − − ∫ 。 （2）设 , 2 tan x u = 则 2 2 1 2 , 2arctan , 1 2 sin u du x u dx u u x + = = + = ，于是 dx 2 + x ∫ sin = c u u u du + + = + + ∫ 3 2 1 arctan 3 2 1 2 2 tan 1 2 2 arctan 3 3 x C + = + 。 195
