教案 实数系的连续性——实数系的基本定理 1.教学内容 利用实数的无限小数表示,证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界 即最小上界与最大下界 2.指导思想 (1) Newton, Leibniz建立微积分以来,它在解决实际问题上的正确性与 在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家,不少人对微积 分理论产生过怀疑,直到 Cauchy, Weierstrass建立了极限论的严格基础 人类科学史上最辉煌的成就之 微积分理论的大厦才得以牢固建 作为极限论的出发点,实数系的基本定理—实数系的连续性,在 数学分析课程中占有重要的地位。 (2)实数系的基本定理有多种表达方式: Dedkind切割定理,确界存在 定理,单调有界数列收敛定理,闭区间套定理, bolzano- Weierstrass定 理, Cauchy收敛原理和 Cantor定理。这些定理是等价的,其中每一个 都可以作为极限论的出发点,建立起整个极限理论。 (3)传统的教材常采用 Dedkind切割定理作为实数系连续性定理,并由 此出发导出极限论的全部理论。但由于 Dedkind切割定理过分抽象,对 大学一年级学生来说难以接受,而将实数连续性作为一个公理加以承认 又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数 的无限小数表示方法,直观而简明地证明了确界存在定理,既使得学生 容易掌握,又使得本书的极限理论得以完备化。 (4)通过本节的教学,要求使学生了解人类对数的认识的发展历史;对 实数系的连续性不仅能从几何上理解,还能从分析上掌握如何加以证明 并认识正是由于实数系的连续性,才使它成为整个数学分析课程的“活 动舞台”。 3.教学安排 (1)讲述人类对数的认识的发展历史 自然数→整数→有理数→实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性,有理数系具有稠 密性,对于实数系,让学生先从几何上理解它的连续性:实数布满整个数轴而无 “空隙”。 2)先给出数集的最大数与最小数的定义:设S是一个数集,如果彐ξ∈S, 使得Ⅴx∈S,有x≤ξ,则称ξ是数集S的最大数,记为ξ=maxS;如果彐η∈S, 使得Ⅴx∈S,有x≥η,则称η是数集S的最小数,记为n=minS。 当数集S是非空有限集,即S只含有有限个数时,maxS与minS显然存在
教案 实数系的连续性——实数系的基本定理 1． 教学内容 利用实数的无限小数表示，证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界， 即最小上界与最大下界。 2． 指导思想 （1） Newton , Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与 在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积 分理论产生过怀疑，直到 Cauchy , Weierstrass 建立了极限论的严格基础， 人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建 立。作为极限论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在 数学分析课程中占有重要的地位。 （2） 实数系的基本定理有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在 定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定 理，Cauchy 收敛原理和 Cantor 定理。这些定理是等价的，其中每一个 都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。 （3） 传统的教材常采用 Dedkind 切割定理作为实数系连续性定理，并由 此出发导出极限论的全部理论。但由于 Dedkind 切割定理过分抽象，对 大学一年级学生来说难以接受，而将实数连续性作为一个公理加以承认 又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数 的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在定理，既使得学生 容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。 （4） 通过本节的教学， 要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对 实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明； 并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活 动舞台”。 3． 教学安排 （1） 讲述人类对数的认识的发展历史： 自然数⇒整数⇒有理数⇒实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠 密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无 “空隙”。 （2）先给出数集的最大数与最小数的定义：设 S 是一个数集，如果∃ ， 使得 ，有 ，则称 是数集 ξ ∈S ∀ ∈x S x ≤ ξ ξ S 的最大数，记为ξ = max S ；如果 ， 使得 ,有 ∃ ∈η S ∀ ∈x S x ≥ η，则称 η是数集 S 的最小数，记为 η = min S 。 当数集 S 是非空有限集，即 S 只含有有限个数时，max S 与 显然存在， min S
且maxS是这有限个数中的最大者,minS是这有限个数中的最小者。但是当S是 无限集时,情况就不同了。例如集合A={x|x≥0}没有最大数,但有最小数 且minA=0;集合B={x|0≤xx。 (3)给出数集的上确界与下确界的定义:设数集S有上界,记U为S的上界 全体所组成的集合,则显然U不可能有最大数,但是U是否一定有最小数?如 果U有最小数β,就称β为数集S的上确界,即最小上界,记为 β=supS。 由定义,可知上确界β满足下述两性质 (a)β是数集S的上界:x∈S,有x≤β (b)任何小于β的数不是数集S的上界:VE>0,彐x∈S,使得x>β-ε (4)叙述实数的无限小数表示:任何一个实数x可表示成 其中[x]表示x的整数部分,(x)表示x的非负小数部分。例如对x=34,有 [x]=3,(x)=04;对x=-2.7,有[x]=-3,(x)=03。我们将(x)表示成无限小数 的形式 (x)=0. 其中a1,a2, 中的每一个都是数字0,1,2,…,9中的一个。若(x) 是有限小数,则在后面接上无限个0,这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数0aa2…a1000.(an≠0)与无限小数0aa2…(an-1999.是相等的,为了保持 表示的唯一性,我们约定在(x)的无限小数表示中不出现后者。这样,任何一个 实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示: a0+0 x],0a1 ,x∈S} (5)我们通过下述方法来找出数集的上确界:设数集S有上界,则可令S中 元素的整数部分的最大者为a0(a0一定存在,否则的话,S就不可能有上界) 并记 S={x|x∈S并且[x]=ao}。 显然S不是空集,并且x∈S,只要xgS0,就有x<αo
且max S 是这有限个数中的最大者，min S 是这有限个数中的最小者。但是当 S 是 无限集时，情况就不同了。例如 集合 A = {| } x x ≥ 0 没有最大数，但有最小数， 且min A = 0；集合 B = ≤ {| } x x 0 ∈ xxSxSx 。 （3）给出数集的上确界与下确界的定义：设数集 S 有上界，记 U 为 S 的上界 全体所组成的集合，则显然 U 不可能有最大数，但是 U 是否一定有最小数? 如 果 U 有最小数β ，就称β 为数集 S 的上确界，即最小上界,记为 β = sup S 。 由定义，可知上确界β 满足下述两性质： （a）β 是数集 S 的上界：∀ x S ∈ ，有 x ≤ β ； （b） 任何小于β 的数不是数集 S 的上界：∀ε > 0，∃ x S ∈ ,使得 。 x > − β ε （4）叙述实数的无限小数表示：任何一个实数 x 可表示成 x =［ x ］+( x )， 其中［ x ］表示 x 的整数部分，( x )表示 x 的非负小数部分。例如对 x = 34. ,有 [ ] x = 3,( ) . x = 0 4 ；对 x = −2 7. ,有[ ] x = −3, ( ) . x = 0 3。我们将( x )表示成无限小数 的形式： ( x ) = 0 , 1 2 .aa a L Ln 其中a a a 中的每一个都是数字 0，1，2，…，9 中的一个。若( 1 2 ，，，， L n L x ) 是有限小数，则在后面接上无限个 0，这称为实数的无限小数表示。注意无限小 数0 000 ( )与无限小数0 1 2 .aa a L L p ap ≠ 0 . () aa a 1 2L p − 1 999L是相等的，为了保持 表示的唯一性，我们约定在( x )的无限小数表示中不出现后者。这样，任何一个 实数集合 S 就可以由一个确定的无限小数的集合来表示： ｛ + .0 210 aaaa n LL ｜a0 =［ x ］, 0 = ( 1 2 .aa a L Ln x ), x ∈S ｝。 （5）我们通过下述方法来找出数集的上确界：设数集 S 有上界，则可令 S 中 元素的整数部分的最大者为α ( 0 α0 一定存在，否则的话， S 就不可能有上界)， 并记 S0 =∈ = {| [] } xx S x 并且 α0 。 显然 不是空集，并且 S0 ∀ x ∈ S ，只要 x ∉S0 ，就有 x ＜α0
再考察数集S。中元素的无限小数表示中第一位小数的数字,令它们中最大 的为α1,并记 S1={x|x∈S0并且x的第一位小数为ax1} 显然S1也不是空集,并且vx∈S,只要xgS1,就有x0,只要将自然数n0取得充分大,便有
再考察数集 中元素的无限小数表示中第一位小数的数字，令它们中最大 的为α ，并记 S0 1 S1 = ∈ { | xx S x } 0 1 并且 的第一位小数为α 。 显然S1也不是空集，并且∀ x ∈ S ，只要 x ∉S1，就有 x ＜α0 +0.α1。 一般地，考察数集 中元素的无限小数表示中第 n 位小数的数字，令它们 中最大的为α ，并记 Sn−1 n Sn = ∈ − { | xx S x n } n n 1 并且 的第 位小数为α 。 显然 也不是空集，并且 Sn ∀ x ∈ S ，只要 x S ∉ n ，就有 x ＜α0 1 2 +0.α α …αn 。 不断地做下去，我们得到一列非空数集 S ⊃ S0 ⊃ S1 ⊃…⊃ Sn ⊃ …，和一列 数α0 1 2 ， ， ，…， α α αn ,…，满足 α0 ∈Z ； α ｛0,1,2,…，9}, k ∈ ∀k ∈ N 。 令 β = α0 +0.α1 α2 …αn …， 这就是我们要找的数集 的上确界。 S （6）我们分两步证明β 就是数集 S 的上确界。 （a） ∀ ∈x S ，或者存在整数 ，使得 n0 ≥ 0 x S ∉ n0 ；或者对任何整数 ， 有 。若 ,便有 n ≥ 0 x S ∈ n x S ∉ n0 x ＜α0 +0.α1 α2 …αn0 ≤β。 若 x S ∈ n ( ∀ ∈n N U{ }0 )，由 的定义并逐位比较 Sn x 与β 的整数部分与每一个小 数位上的数字，即知 x = β 。所以∀ x S ∈ ，有 x ≤ β ，即β 是数集 S 的上界。 (b) ∀ε > 0，只要将自然数 取得充分大，便有 n0 1 10 0 n < ε
取x0∈Sn,则β与x的整数部分及前n0位小数是相同的,所以 β 即任何小于B的数B-E不是数集S的上界。 (7)最后我们说明有理数集不具备“确界存在定理”,即有理数集是不连续 的。 设T={x|x∈Q并且x>0,x20+r∈Q,并且 t0 r∈O并且 r+t>0 这说明"-r也是T的上界,与”是T的上确界矛盾。 由此得到结论:T在O中没有上确界 4.注意点: )由于学生初学微积分,对极限论的抽象概念不易接受,应该在讲课 中突出几何直观。如√2位于有理数集合的“空隙”中,应通过单位正方形 的对角线在数轴上标出它的位置;在确界定理的叙述中,应指出若实数
取 ，则 x S 0 ∈ n0 β 与 的整数部分及前 位小数是相同的，所以 x0 n0 β − x0 ≤ 1 10 0 n β − ε 即任何小于 β 的数 β − ε 不是数集 的上界。 S （7） 最后我们说明有理数集不具备“确界存在定理”，即有理数集是不连续 的。 设T x =∈ > r t 2 2 2 2 0。 这说明 n m − r 也是T 的上界，与 n m 是T 的上确界矛盾。 由此得到结论：T 在Q中没有上确界。 4． 注意点： （1） 由于学生初学微积分，对极限论的抽象概念不易接受，应该在讲课 中突出几何直观。如 2 位于有理数集合的“空隙”中, 应通过单位正方形 的对角线在数轴上标出它的位置；在确界定理的叙述中，应指出若实数
系在数轴上有“空隙”,则位于空隙左边的实数集合没有上确界,位于 空隙右边的实数集合没有下确界。 (2)本节课程中要遇到不少与一些抽象概念有关的命题,在给出它们的 分析证明时要教会学生正确的逻辑思维方法。如证明“集合S没有最大 数”的逻辑思路是证明:Ⅵx∈S,彐x∈S:x>x;证明“β是集合S的上 确界”的逻辑思路是证明:x∈S:x≤β(即β是S的上界),且 vE>0,3x∈S:x>B-E(即任意小于B的数不是上界);证明“有理数 集合7={x:x∈Q,x20,或者x+r∈T(即x0不是T的 上界),或者Ⅴx∈T,x≤x0-r(即x0不是最小上界),从而推出矛盾 (3)通过讲课,要让学生了解实数系的连续性有多种等价的表达形式 这些等价的定理贯穿于极限论的整个理论,构成了极限论最基本、最丰 富的内容
系在数轴上有“空隙”， 则位于空隙左边的实数集合没有上确界，位于 空隙右边的实数集合没有下确界。 （2） 本节课程中要遇到不少与一些抽象概念有关的命题，在给出它们的 分析证明时要教会学生正确的逻辑思维方法。如证明“集合 没有最大 数”的逻辑思路是证明： S ∀ ∈ ∃ ∈ ':', > xxSxSx ；证明“ β 是集合 的上 确界”的逻辑思路是证明： S ∀ ∈ : xSx ≤ β （即 β 是 S 的上界），且 ε :,0 xSx β −>∈∃>∀ ε （即任意小于 β 的数不是上界）；证明“有理数 集合 { 2,: } 2 xQxxT 0 + ∈Trx0 （即 不是T 的 上界），或者 0 x ∈∀ ≤ − rxxTx 0 , （即 不是最小上界），从而推出矛盾。 0 x （3） 通过讲课，要让学生了解实数系的连续性有多种等价的表达形式， 这些等价的定理贯穿于极限论的整个理论，构成了极限论最基本、最丰 富的内容