第二章数列极限 §1实数系的连续性 实数系 实数集合R的重要的基本性质——连续性
第二章 数列极限 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合 R 的重要的基本性质——连续性
第二章数列极限 §1实数系的连续性 实数系 实数集合R的重要的基本性质——连续性。 数系的扩充历史 自然数集合N:关于加法与乘法运算是封闭的,但是N关于 减法运算并不封闭。 整数集合Z:关于加法、减法和乘法都封闭了,但是Z关于 除法是不封闭的。整数集合Z具有“离散性
第二章 数列极限 数系的扩充历史 自然数集合 N ：关于加法与乘法运算是封闭的，但是 N 关于 减法运算并不封闭。 整数集合 Z：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 Z 关于 除法是不封闭的。整数集合 Z具有“离散性”。 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合 R 的重要的基本性质——连续性
有理数集合Q={x1x=9,peN,q∈Z}。关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性
有理数集合Q ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ ∈∈== + qp ZN pq xx ,,| 。关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”。 c
有理数集合Q={x1x=9,p∈N,q∈Z。关于加法、减法、乘 P 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q具有“稠密性”。 虽然有理数集合是稠密的,但在坐标轴上留有“空隙”。例如 用表示边长为1的正方形的对角线的长度,这个c就无法用有理数 来表示。换言之,有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有 必要将有理数集合加以扩充。 图2.1.1
虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有 “空隙 ”。例如 用表示边长为 1的正方形的对角线的长度，这个 c就无法用有理数 来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有 必要将有理数集合加以扩充。 -3 -2 -1 0 1 c 2 3 图2.1.1 有理数集合 Q ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∈∈== + qp ZN p q xx ,,| 。关于加法、减法、乘 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合 Q具有“稠密性
有理数能表示成有限小数或无限循环小数,所以扩充有理数 集合Q最直接的方式,就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R={xx是有理数或无理数}
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R ： R ={ xx 是有理数或无理数}
有理数能表示成有限小数或无限循环小数,所以扩充有理数 集合Q最直接的方式,就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R={xx是有理数或无理数}。 全体无理数所对应的点(称为无理点)填补了有理点在坐标 轴上的所有“空隙”,即实数铺满了整个数轴。 实数集合的这一性质称为实数系R的“连续性”。R又被称 为实数连续统。 实数系R的连续性,从几何角度理解,就是实数全体布满整 个数轴而没有“空隙”,但从分析角度阐述,则有多种相互等价 的表述方式。“确界存在定理”航就是实数系R连续性的表述之
有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R ： R ={ xx 是有理数或无理数}。 全体无理数所对应的点（称为无理点）填补了有理点在坐标 轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。 实数集合的这一性质称为实数系 R 的“连续性”。 R 又被称 为实数连续统。 实数系 R 的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整 个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价 的表述方式。“确界存在定理”就是实数系 R 连续性的表述之一
最大数与最小数 记号:“彐”表示“存在”或“可以找到 y”表示 对于任意的”或“对于每一个”。例如 AcB x∈A,有x∈B, AB③彐x∈A,使得x∈B
最大数与最小数 记号：“∃ ”表示“存在”或“可以找到”，“∀ ”表示 “对于任意的”或“对于每一个”。例如 A ⊂ B ⇔ ∀ x A ∈ ,有 x ∈B ， A ⊄ B ⇔ ∃ x A ∈ ,使得 x ∉B
最大数与最小数 记号:“彐”表示“存在”或“可以找到”,“y”表示 对于任意的”或“对于每一个”。例如 ACB分x∈A,有 x∈ B AB③彐x∈A,使得x∈B。 设S是一个数集,如果玉∈S,使得x∈S,有xs5,则称 ξ是数集S的最大数,记为5=maxS;如果彐∈S,使得x∈S, 有xn,则称n是数集S的最小数,记为n= min s 当数集S是非空有限集时,maxS是这有限个数中的最大 者,minS是这有限个数中的最小者。但是当S是无限集时,S 可能不具有最大数及最小数
设S 是一个数集，如果∃ξ ∈ S ，使得∀ x S ∈ ，有 x ≤ξ ，则称 ξ 是数集S 的最大数，记为ξ = max S ；如果∃η ∈ S ，使得∀ x S ∈ , 有 x ≥η ，则称η 是数集S 的最小数，记为η = min S 。 当数集S 是非空有限集时，max S 是这有限个数中的最大 者，min S 是这有限个数中的最小者。但是当S 是无限集时，S 可能不具有最大数及最小数。 最大数与最小数 记号：“∃ ”表示“存在”或“可以找到”，“∀ ”表示 “对于任意的”或“对于每一个”。例如 A ⊂ B ⇔ ∀ x A ∈ ,有 x ∈B ， A ⊄ B ⇔ ∃ x A ∈ ,使得 x ∉B
例2.1.1集合A={xx≥0没有最大数,但有最小数, A=0
例2.1.1 集合 A = {| } x x ≥ 0 没有最大数，但有最小数， min A = 0
例2.1.1集合A={x|x≥0没有最大数,但有最小数, A=0。 例2.1.2集合B={x10≤xB,这就与B是集合B的最大数发生矛 盾。所以集合B没有最大数
例2.1.1 集合 A = {| } x x ≥ 0 没有最大数，但有最小数， min A = 0。 例2.1.2 集合 B = {| } x x 0 1 ≤ β ，这就与β 是集合 B的最大数发生矛 盾。所以集合 B没有最大数