第九章数项级数 习题9.1数项级数的收敛性 讨论下列级数的收敛性。收敛的话,试求出级数之和。 2 3n+1 nn(n+1)(n+2) (2”3′ (7)∑(n+2-2n+1+Vm); (8 g cOs 解( k(k+2)2(kk+2 (1+ 所以 n+1n+2 s=lim s (2)因为1mxn=2≠0,所以级数发散。 (3)Sn=∑ 2 kk(k+1)(k+2)2kkk+1 所以 S=lim s=-o (4)S 所以 (5)因为 lim x=1≠0,所以级数发散
第九章 数项级数 习 题 9.1 数项级数的收敛性 1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。 ⑴ ∑ ∞ =1 ( + 2) 1 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 3 +1 2 n n n ; ⑶ ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) 1 n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 1 2 1 n n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − + + 1 2 1 1 3 5 4 n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − + + 1 ( 2 2 1 ) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = − 1 3 2 1 n n n ; ⑼ 0 cos n n q nθ ∞ = ∑ (| q |< 1). 解 （1） ∑ = + = n k n k k S 1 ( 2) 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − n k 1 k k 2 1 1 2 1 ) 2 1 1 1 2 1 (1 2 1 + − + = + − n n ，所以 4 3 = lim = →∞ n n S S 。 （2）因为 0 3 2 lim = ≠ →∞ n n x ，所以级数发散。 （3） ∑ = + + = n k n k k k S 1 ( 1)( 2) 1 ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = − n k 1 k k k 2 1 1 1 2 2 1 ) 2 1 1 1 2 1 (1 2 1 + + + = − − n n ， 所以 4 1 = lim = →∞ n n S S 。 （4） ∑ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n k n k k S 1 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ n 3 1 1 3 1 1 3 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⋅ n ，所以 2 1 = lim = →∞ n n S S 。 （5）因为 lim = 1 ≠ 0，所以级数发散。 →∞ n n x 1
(6)Sn=∑ 16 所以 9 (7)Sn=Vn+2-√n+1-√2+1,所以 S= lim S=-√2+1。 (8)设Sn=24-1,则3Sn=2x1=∑2+1,两式相减,得到 n-1 所以 S=lim S=1 (9)∑to=1-(gy ,由|qk1,得到 k=0 ∑eo=1im∑4_1 n∞k=0 利用Euer公式e0=cosO+ isin e,对上式两边取实部,得到 acosn=- 1-gcos0 2q cosb+q 2.确定x的范围,使下列级数收敛。 (1-x) (3)∑x"(1-x) 解1)由-1<1<1解得xe(-0)U(2+∞)。 (2)由ex<1解得xe(∞,0
（6） ∑ = − + + = n k k k k Sn 1 2 1 1 3 5 4 9 5 1 9 5 1 9 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⋅ n 9 4 1 9 4 1 9 16 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⋅ n ，所以 20 9 = lim = 3 →∞ n n S S 。 （7）Sn = n + 2 − n +1 − 2 +1，所以 n n S S →∞ = lim = − 2 +1。 （8）设 ∑ = − = n k n k k S 1 3 2 1，则 ∑ = − − = n k n k k S 1 1 3 2 1 3 ∑ − = + = 1 0 3 2 1 n k k k ，两式相减，得到 n n k n k n S 3 2 1 3 2 2 1 1 1 − = + ∑ − − = n n n 3 2 1 3 1 1 3 1 1 3 2 1 1 − − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + ⋅ − ， 所以 = lim = 1 →∞ n n S S ； （9） ( ) ∑ = + − − = n k i n i k ik qe qe q e 0 1 1 1 θ θ θ ，由| q |< 1，得到 ∑ ∞ = = n 0 n in q e θ ∑ = →∞ − = n k i k ik n qe q e 0 1 1 lim θ θ 。 利用 Euler 公式eiθ = cosθ + isinθ ，对上式两边取实部，得到 ∑ ∞ =0 cos n n q nθ 2 1 2 cos 1 cos q q q − + − = θ θ 。 2. 确定 x 的范围，使下列级数收敛。 ⑴ ∑ ∞ =1 (1− ) 1 n n x ; ⑵ ∑ ∞ =1 e n nx ; ⑶ ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x . 解 （1）由 1 1 1 1 < − − < x 解得 x ∈ (−∞,0) ∪ (2,+∞) 。 （2）由ex < 1解得 x ∈ (−∞,0) 。 2
(3)当x=1时显然级数收敛;当x≠1时∑x"(1-x)=(1-x)∑x”,收敛 范围是x∈(-1);所以当x∈(-1]时级数收敛 3.求八进制无限循环小数(36.0736073607…)8的值 解(360736073607..)s 4n+2 4n+3 478 30 4095 4.设xn=[x2(1-x)"x,求级数∑xn的和。 解x,=x20-xyd=x“(-x3 n+1n+2 于是 23n+2n+3 所以 ∑xn=limS.=1 5.设抛物线:y=mx2+n和2:y=(+Dx2+n+1的交点的横坐标 的绝对值为an(n=1,2,…) (1)求抛物线与所围成的平面图形的面积Sn; (2)求级数∑的和。 解(1)容易求出抛物线ln:y=nx2+-和:;y=(n+1)x2+-,的 n+1 交点的横坐标的绝对值为an= n+,于是 (n+1)x2+ Sn 4 3Hm(n+1)3
（3）当 x = 1时显然级数收敛；当 x ≠ 1时 ，收敛 范围是 ；所以当 ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x ∑ ∞ = = − 1 (1 ) n n x x x ∈ (−1,1) x ∈(−1,1]时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8 ∑ ∞ = + + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = × + + 0 4 2 4 3 4 4 8 1 6 8 1 3 8 1 3 8 6 7 n n n n 4095 478 = 30 。 4. 设 ，求级数 的和。 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n ∑ ∞ n=1 n x 解 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n = ∫ − 1 0 2 x (1 x) dx n 3 1 2 2 1 1 + + + − + = n n n ， 于是 ∑ = = n k n k S x 1 3 1 2 1 3 1 2 1 + + + = − − n n ， 所以 ∑ ∞ = = n 1 n x 6 1 lim = →∞ n n S 。 5. 设抛物线ln： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的交点的横坐标 的绝对值为an（n = 1,2,"）。 (1)求抛物线ln与ln ′ 所围成的平面图形的面积Sn ； (2)求级数∑ ∞ n=1 n n a S 的和。 解 (1) 容易求出抛物线ln： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的 交点的横坐标的绝对值为 ( 1) 1 + = n n an ，于是 ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + an n dx n n x n S nx 0 2 2 1 1 ( 1) 1 2 3 3 4 n = a ； (2) ∑ = ∞ n=1 n n a S ∑ = ∞ =1 2 3 4 n n a 3 4 ( 1) 1 3 4 1 = + ∑ ∞ n= n n 。 3
习题92上极限与下极限 1.求下列数列的上极限与下极限 n +(-1) (3)xn=-n[(-1)+2] (4)x,= Vn+1 + sin (5)xn=2(-1)+3(-1 解(1)limx xn (2)imx=+∞,lim (3)imx=-∞,limx,=-∞。 n→① (4) lim x=1 (5) lim x=5,inxn=-5。 2.证明 c>0 (1)lim(x,)=-lim xm: (2)lim(cx, )=3 lim xn 证仅对{x}是有界数列给出证明 (1)设imxn=n,则对任意给定的E>0,存在正整数N,使得xn>n- 对一切n>N成立,且{xn}中有无穷多项,满足xnN成立,且(-xn}中有无穷多项,满足 于是 lim(-x=-n=-lim x (2)设c>0, lim x=5,则对任意给定的>0,存在正整数N,使 得xnN成立,且xn}中有无穷多项,满足xn>5- 于是cxnN成立,且{axn}中有无穷多项,满足 所以 )=c5=clim x 设c0,存在正整数N,使得
习 题 9.2 上极限与下极限 1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x = n 2n +1 n 5 2 cos nπ ； (2) x = n + (-1) n n n n 1 2 + ； (3) x = -n [ (-1) n n + 2]； (4) x = n n n +1 + sin 3 nπ ； (5) x = 2 (-1) n n+1 +3 2 ( 1) ( 1) − − n n 。 解（1） 2 1 lim = →∞ n n x ， 5 cos 2 1 lim π = − →∞ n n x 。 （2） = +∞ →∞ n n lim x ， lim = 0 →∞ n n x 。 （3） = −∞ →∞ n n lim x ， = −∞ →∞ n n lim x 。 （4） 2 3 lim = 1+ →∞ n n x ， 2 3 lim = 1− →∞ n n x 。 （5） lim = 5 →∞ n n x ， lim = −5 →∞ n n x 。 2. 证明： (1) n→∞ lim (- xn ) = - n→∞ lim xn ； (2) n→∞ lim (c x ) = n ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ →∞ →∞ lim , 0. lim , 0, c x c c x c n n n n 证 仅对{ xn }是有界数列给出证明。 （1） 设n→∞ lim xn =η，则对任意给定的ε >0，存在正整数 N，使得 > η − ε n x 对一切 n > N 成立，且 {xn }中有无穷多项，满足 N 成立，且 {− xn } 中有无穷多项，满足 − > −η − ε n x ；于是 n→∞ lim (- xn )=−η = - n→∞ lim xn 。 （2） 设c > 0，n→∞ lim xn = ξ ，则对任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使 得 c xn ε N 成立，且{xn }中有无穷多项，满足 c xn ε > ξ − ； 于是 cx N 成立，且 {cxn } 中有无穷多项，满足 cx > cξ − ε n ；所以 n→∞ lim ( ) n cx = cξ →∞ = n c lim xn 。 设c 0，存在正整数 N，使得 4
xn>n+5对一切n>N成立,且n}中有无穷多项,满足xnN成立,且{xn}中有无穷多项,满足 cxn>c5-E;所以 3.证明 (1) lim(x, +y,)2 lim x, +lim y (2)若limx,存在,则 (x, +y,=lim x,+lim 证(1)记imxn=h1, lim y=h2,则对任意给定的g>0,存在正整 数N,对一切n>N,成立xn>h1 E,即 十 于是 (xn+yn)≥h1+h2 由E的任意性,即得到 lim (x, +yu)2h,+h2=lim x, +lim y (2)若limx存在,则由(1), lim(x,,)2 lim x, + lim y H→① 且 lim yu= lim [(xn+yn)-xn12 lim(xn+yn)+lim (xn) 两式结合即得到 (x, +y,=lim x n +lim y 4.证明:若 N1,成立 x-8<x<x+ 记 lim y=H, lim y=h,则对上述ε(0<E<-x),存在正整数N2,对
c xn ε > η + 对一切 n >N 成立，且{xn }中有无穷多项，满足 c xn ε N 成立，且 {cxn } 中有无穷多项，满足 cx > cξ − ε n ；所以 n→∞ lim ( ) n cx = cη = c n→∞ lim xn 。 3. 证明： (1) n→∞ lim ( xn + yn )≥ n→∞ lim xn +n→∞ lim n y ； (2) 若lim 存在，则 n→∞ n x n→∞ lim ( xn + yn )= + n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 证 （1）记n→∞ lim xn 1 = h ，n→∞ lim n y 2 = h ，则对任意给定的ε > 0 ，存在正整 数 N，对一切 n >N，成立 2 1 ε xn > h − ， 2 2 ε yn > h − ，即 + > + − ε h1 h2 x y n n ， 于是 n→∞ lim ( x + ) n n y ≥ + − ε 1 2 h h 。 由ε 的任意性，即得到 n→∞ lim ( x + ) n n y ≥ h1 + h2 = n→∞ lim xn +n→∞ lim n y 。 （2）若lim 存在，则由（1）， n→∞ n x n→∞ lim ( xn + yn ) ≥ + n→∞ lim xn n→∞ lim n y ， 且 n→∞ lim n y →∞ = n lim [( ) ] n n n x + ≥ y − x n→∞ lim ( ) n n x + y +n→∞ lim ( ) n −x →∞ = n lim ( ) n n x + y n n x →∞ − lim ， 两式结合即得到 n→∞ lim ( xn + yn )= + n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 4. 证明：若lim = x， n→∞ xn − ∞ N1，成立 x − ε < xn < x + ε < 0。 记n→∞ lim n y = H ，n→∞ lim n y = h ，则对上述ε (0 < ε < −x)，存在正整数 N2 ，对 5
切n>N2,成立 h-aN时,成立 mn(x-EH+)(x+E)H+s)<xyn<max(x-h-E)(x+E)h-s)}, 于是 im(x y,)z min (x-s(H+8), (x+E)(H +8) lim(x, y, )<max(x-s(h-s),(x+8)(h-s) 由E的任意性,即得到 y lim(x, y)<xh= lim x, lim y 月→ 由于 )≥lim·lim(xnyn) lim yu (nyn) slim. lim(nyn) n-o xn 又得到 n(xnyn)≤ lim x,. lim y lim(xn lim y 将此两式与前面两式结合,即得到 lim(x y)=lim x,. lim y lim(x, y,=lim x, lim y
一切 n > N2 ，成立 h − ε N 时，成立 min{ } (x − ε )(H + ε ),(x + ε )(H + ε ) < xn yn < max{(x − ε )(h − ε ),(x + ε )(h − ε )}， 于是 n→∞ lim ( x ) n n y ≥ min{ } (x − ε )(H + ε ),(x + ε )(H + ε ) ， n→∞ lim ( x ) n n y ≤ max{ } (x − ε )(h − ε ),(x + ε )(h − ε ) ， 由ε 的任意性，即得到 n→∞ lim ( x ) n n y ≥ xH = lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y ， n→∞ lim ( x ) n n y ≤ xh →∞ = n lim ⋅ n x n→∞ lim n y 。 由于 n→∞ lim n y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ →∞ ( ) 1 lim n n n n x y x ≥ lim n→∞ ⋅ n x 1 n→∞ lim ( ) n n x y ， = →∞ n n lim y n→∞ lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅( ) 1 n n n x y x →∞ ≤ n lim ⋅ n x 1 n→∞ lim ( ) n n x y ， 又得到 n→∞ lim ( x ) n n y →∞ ≤ n lim ⋅ n x n→∞ lim n y ， n→∞ lim ( x ) n n y →∞ ≥ n lim ⋅ n x n→∞ lim n y 。 将此两式与前面两式结合，即得到 n→∞ lim ( xn yn )=lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y n→∞ lim ( xn yn )=lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y 。 6