第五章微分中值定理及其应用 习题5.1微分中值定理 1.设∫(x)>0,∫(x)0,可知当δ>0足够小时,若00,于是(x)-(x)>0;同理,由(x)0 足够小时,若-60。从而命题得证 2.( Darboux定理)设f(x)在(a,b)上可导,x,x2∈(a,b)。如果 f(x)f'(x2)0,则∫(x2)0,同样可证f(x)在[x,x]的最 小值点ξ∈(x,x),并且成立f(2)=0。 3.举例说明 Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时,定理结 论就有可能不成立。 解[-1,上的符号函数sgn(x)在x=0不连续,所以 Lagrange中值定理 的条件不满足。而0-/(-D=1,不存在∈(-1)r15)=1。 1-(-1) [-1,上的绝对值函数x|连续,但在x=0不可微,所以 Lagrange中值
第五章 微分中值定理及其应用 习 题 5.1 微分中值定理 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 0 ，可知当 δ > 0 足够小时，若 0 − ，于是 f x( ) − f x( 0 ) > 0；同理，由 f x − ′( ) 0 0 足够小时，若 − δ 0。从而命题得证。 2．（Darboux 定理）设 f x( )在( , a b)上可导， x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) 0，则 2 f x ′( ) 0，同样可证 f (x)在 1 2 [ , x x ]的最 小值点ξ 1 2 ∈( , x x )，并且成立 f ′( ) ξ = 0。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结 论就有可能不成立。 解 [ 1− ,1]上的符号函数sgn(x) 在 x = 0不连续，所以 Lagrange 中值定理 的条件不满足。而 (1) ( 1) 1 1 ( 1) f f − − = − − ，不存在ξ ∈( 1− = ,1), f '(ξ ) 1。 [ 1− ,1]上的绝对值函数| x |连续，但在 x = 0不可微，所以 Lagrange 中值 96
定理的条件不满足。而Q)-(D=0,但v5e(-11≠0.r(5)=1≠0 (-1) 4.设函数f(x)在[a,b上连续,在(a,b)上可微。利用辅助函数 (x)=a fo b f(b)1 证明 Lagrange中值定理,并说明v(x)的几何意义。 证显然v(a)=v(b)=0,并且满足 Rolle定理条件。由Role定理,在 (a,b)内存在一点ξ,使得 f() v(5)=af(a)1=f(b-a)-[f(b)-f(a)=0, b f(b) 所以 Lagrange中值定理成立。 几何意义:以(x,f(x),(a,f(a),(b,f(b)顶点的三角形如果顶点逆时 针排列,则v(x)就是三角形面积的两倍,否则-v(x)就是三角形面积 的两倍 5.设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明(a,b)内存 在一点ξ,使得 f(a) f(b) f(a)f(5) =(b-a g(a)g(b) g(a) g(5) 证令F(x)= g()s(b)x-a)-(b-/(a)f(x),则F(a)=F(b)=0,由 f(af(b g(a)g(x) Rolle定理,在(a,b)内存在一点ξ,使得 F6)=/(a)f(b) f(a)f(I 0 g(a)g(b) gla)g(s) 6.设非线性函数f(x)在[ab]上连续,在(a,b)上可导,则在(a,b)上
定理的条件不满足。而 (1) ( 1) 0 1 ( 1) f f − − = − − ，但∀ξ ∈ −( 1,1), ξ ξ ≠ 0, f '( ) = ±1 ≠ 0。 4. 设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明ψ(x)的几何意义。 证 显然ψ ( ) a =ψ (b) = 0，并且满足 Rolle 定理条件。由 Rolle 定理，在 ( , a b)内存在一点ξ，使得 1 '( ) 0 '( ) ( ) 1 '( )( ) [ ( ) ( )] 0 ( ) 1 f a f a f b a f b f a b f b ξ ψ ξ ξ = = − − − = ， 所以 Lagrange 中值定理成立。 几何意义：以(x, f x( )),( , a f (a)),(b, f (b)) 顶点的三角形如果顶点逆时 针排列，则ψ (x)就是三角形面积的两倍，否则－ψ (x)就是三角形面积 的两倍。 5． 设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导, 证明( , a b)内存 在一点ξ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 证 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a g x f a f x x a b a g a g b f a f b F x = − − − ，则F(a) = F(b) = 0，由 Rolle 定理，在( , a b)内存在一点ξ，使得 0 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) = − − = ξ ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b F 。 6． 设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上 97
至少存在一点η,满足 f(n)|> ∫(b)-f(a) b 并说明它的几何意义。 证由于f(x)是非线性函数,所以在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 (,f()不在(an,f(a),(b,f(b)的连线上 假设(,f()在(a,f(a)(b,f(b)的连线的上方,则 f()-f(a)∫(b)-f(a)f(b)-f(5) b-a b-5 利用 Lagrange中值定理,存在5∈(a,,52∈(,b,使得 /E)>/(b-1(a)>/(4,) b 所以m川厂)>0)/1。当((4)在(a,(a)(b,(b)的 连线下方时同理可证 几何意义:在[a,b]上连续、在(a,b)上可导的非线性函数,必定在 某点切线斜率的绝对值大于[a,b间割线斜率的绝对值。 7.求极限lmn| arctan a- arctan-,,其中a≠0为常数 irctan--arctan 解由 Lagrange中值定理, n+1 nan 其中ξ位于 n+1 与之间。当n→时,趋于1,所以 arctan limn arctan a-arctan -a=lim na arctan a n n+1 n+1)m→an+1
至少存在一点η，满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 证 由于 f x( )是非线性函数，所以在( , a b)内至少存在一点ξ ，使得 ( , ξ f (ξ ))不在( , a f (a)),(b, f (b))的连线上。 假设( , ξ f (ξ ))在( , a f (a)),(b, f (b))的连线的上方，则 f ( ) f ( ) a f (b) f ( ) a f (b) f ( ) a b a b ξ ξ ξ ξ −−− > > −−− ， 利用 Lagrange 中值定理，存在 1 2 ξ ∈( , a b ξ ξ ), ∈(ξ, ), 使得 1 2 ( ) ( ) '( ) '( ) f b f a f f b a ξ ξ − > > − ， 所以 1 2 ( ) ( ) max{| '( ) |,| '( ) |} | | f b f a f f b a ξ ξ − > − 。当( , ξ f (ξ ))在 的 连线下方时同理可证。 ( , a f (a)),(b, f (b)) 几何意义：在[ , 上连续、在 上可导的非线性函数，必定在 某点切线斜率的绝对值大于[ , 间割线斜率的绝对值。 a b ] ( , a b) a b ] 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中a ≠ 0为常数。 解 由 Lagrange 中值定理， 2 arctan arctan 1 1 1 1 a a n n a a n n ξ − + = + − + ，其中ξ 位于 1 a n + 与 a n 之间。当n → ∞时， 2 1 1+ ξ 趋于1，所以 2 arctan arctan 1 lim arctan arctan lim 1 1 1 n n a a a a na n n n n n n a a n n →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ + − = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + − + 2 1 limn 1 1 na a →∞ n ξ ⎛ ⎞ = ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + + = 。 98
8.用 Lagrange公式证明不等式 (1)|sinx-siny|≤|x-y x"(x-y)(n>1,x>y>0) 6a>0); 证(1)|sinx- sin yl=cos5(x-y)图sx-y|。 (2)x"-y=n"(x-y),其中x>5>y>0。由x">>y->0得到 my(x-y y)(n>1,x>y>0)。 (3)hb=lnb-ma=1b-a),其中b>5>a>0。由于10。 9.设f(x)在[a,b上定义,且对任何实数x和x2,满足 f(x1)-f(x2)(x1-x2)2 证明f(x)在[a,b]上恒为常数 证首先由(x1)-f(x2)(x1-x2)2可知f(x)在[a,b上连续。对任意固 定的x2∈(a,b),lim f(x)-f(x2) klim|x1-x2=0,故f(x2)=0,再由x2的 任意性,得到∫(x)在(a,b)上恒等于0。所以f(x)在[a,b]上恒为常数 10.证明恒等式 (1) arcsinx+acox=2,x∈ 3 arccos x- arccos(3x-4x3)=π,x∈
8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y |; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − 1+ x (x > 0). x 证 ⑴ | sin x − = sin y x | | cosξ ⋅( − y) |≤| x − y |。 ⑵ , 1 ( ) n n n x y nξ x y − − = − 其中 x > > ξ y > 0。由 xn n − − 1 1 > > ξ yn−1 > 0得到 ( ) ( ) ( 1, 0) 1 1 − > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n 。 ⑶ 1 ln ln ln ( ) b b a b a a ξ = − = − ，其中b > > ξ a > 0。由于 1 1 1 b a ξ x, x > ξ > 0。 9． 设 f (x)在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 2 ，满足 2 2 x | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − ， 证明 f (x)在[ , a b ]上恒为常数。 证 首先由 可知 在[ , 上连续。对任意固 定的 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − f x( ) a b ] 2 x ∈( , a b) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) lim | | lim | | 0 x x x x f x f x x x → x x → − ≤ − = − ，故 ，再由 的 任意性，得到 在 上恒等于 0。所以 在[ , 上恒为常数。 2 f x'( ) = 0 x2 f '(x) ( , a b) f x( ) a b ] 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； 99
(3) 2 arc tan x +arcsin =r,x∈[l,+∞) 1+x 证(1)令f(x)= arcsin x+ arccos x,则 f(x)= ≡0,Vx∈(0,1)。 由于f(x)在[0,连续,所以f(x)=f()=x。 (2)令f(x)=3 arccos x-arco3x-4x3),注意到1-4x20,x∈(-,), 所以 3-12 f(x) ≡0,Vx∈(-,-) (3x-4x3)2 由于f(x在连续,所以f(x)=/(0)=22=z (3)令f(x)=2 arctan x+ arcsin,,注意到x2-1>0.x>1,所以 1+x 0.Vx>1 由于f(x)在口+)连续,所以f(x)=f(1242x° 1].设函数∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。证明:若(a,b)中除 至多有限个点有f(x)=0之外,都有f(x)>0,则f(x)在[a,b上严格 单调增加;同时举例说明,其逆命题不成立。 证设a=x<x<…<x1<xn=b,其中x1,x2…,x是f(x)全部的零点。 则∫(x)在[x,xn](=01…,n-1上严格单调增加。从而,f(x)在{a,b]上 严格单调增加。 构造函数 f(x) 3.2-(m+2)+2-(m+2) cos(-n), n+/+s
⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ，x ∈[ , 1 +∞). 证（1）令 f x( ) = arcsin x + arccos x，则 2 2 1 1 '( ) 0, (0,1) 1 1 f x x x x =−≡ ∀ ∈ − − 。 由于 f (x)在[0,1]连续，所以 ( ) (0) 2 f x f π ≡ = 。 （2）令 3 f ( ) x x = − 3arccos arccos(3x − 4x ) ，注意到 2 1 1 1 4 0, ( , ) 2 2 − ≥ x x ∀ ∈ − ， 所以 2 2 3 2 3 3 12 1 '( ) 0, ( , ) 1 1 (3 4 ) 2 2 x f x x x x x − = − + ≡ ∀ ∈ − − − − 1 。 由于 f (x)在 1 1 [ , 2 2 − ]连续，所以 ( ) (0) 3 2 2 f x f π π ≡ = − = π 。 (3) 令 2 2 ( ) 2arctan arcsin 1 x f x x x = + + ，注意到 2 x −1 0 > ∀, x >1，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(1 ) 4 '( ) 0, 1 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 x x f x x x x x x + − = + ≡ ∀ + + − + > 。 由于 f (x)在[1,+∞) 连续，所以 ( ) (1) 2 4 2 f x f π π ≡ = + = π 。 11．设函数 f x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导。证明：若( , a b)中除 至多有限个点有 f x ′( ) = 0 之外，都有 f x ′( ) > 0 ，则 f (x)在[ , a b ]上严格 单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。 证 设a x = <0 1 x <"< xn−1 < xn = b，其中 1 2 1 , , , n x x x " − 是 全部的零点。 则 在 上严格单调增加。从而， 在[ , 上 严格单调增加。 f '(x) f x( ) 1 [ , ] ( 0,1, , 1) i i x x i n + = " − f x( ) a b] 构造函数 ( 2) ( 2) 0, 0; ( ) 1 1 1 3 2 2 cos( ) , , 1, 2, . 1 n n x f x n x n x n n π − + − + ⎧ = ⎪ = ⎨ ⋅ + − < ≤ = ⎪ ⎩ + " 100
由于()=2-=八(+),f(x)在0上连续。因为当0,所以∫(x)在[0严格单调增加。但f() 所以f(x)在(0,1)上有无限多个零点 12.证明不等式: (1)-x0, (4)tan x+2sin x>3x,xElo 5),≤x(1-x)2≤1,x∈[0(p>1) x∈0, In x 2 证(1)令f(x) ∈(0,2),由于 f(x=-=-0,从而 (3)令f(x)
由于 ) 1 ) 2 ( 1 ( = = + − n f n f n ， f x( )在[0,1]上连续。因为当 n x n 1 1 1 ，所以 f x( )在[0,1]严格单调增加。但 1 f '( ) 0 n = ， 所以 f '(x)在(0,1)上有无限多个零点。 12． 证明不等式： ⑴ ) 2 sin , (0, 2 π π x x x , x ; ⑶ ln(1 ) , 0; 2 2 − x x ⑷ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > ∈ 2 tan 2sin 3 , 0, π x x x x ; ⑸ 1 2 1 1 1 p 1 p p x x x p − ≤ + ( ) − ≤ , ∈[0, ], ( > 1)； ⑹ x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x . 证（1）令 sin ( ) x f x x = ， (0, ) 2 x π ∈ ，由于 2 2 cos sin cos ( tan ) '( ) 0 x x x x x x f x x x − − = = > ， 所以 f (x)在[1,+∞) 严格单调增加，故 f x( ) > 0 ，从而 3 1 − x x , x 。 （3）令 2 ( ) ln(1 ) ( ) 2 x f x = + x − x − ，则 101
1+ >0.x>0 所以∫(x)在(0,+∞)严格单调增加,由f(0)=0知f(x)>0,x>0,从而 (1+x)>(x--),x>0 令g(x)=x-1h1+x),则 0,x>0 所以g(x)在(0,+∞)严格单调增加,由g(0)=0知g(x)>0,x>0,从而 ln(1+x),x>0。 (4)令f(x)=tnx+2sinx-3x,则vx∈, f(x)=sec2x+2 cos x-323Vsec2 x cos x cosx-3=0, 等号仅在x=0成立,所以∫(x)严格单调增加,从而∫(x)>0,即 tanx+2sinx>3x,x∈(0,°) (5)令(x)=x2+(1-x)2,则f(x)=px--(1-x)-)在0.取负值,在 1)取正值,即f(x)在D.1严格单调减少,在,严格单调增加,所 以f(在x=取到最小值。又f(o2=f()=1,所以(x)在x=0取 到最大值1,因而成立 ≤x2+(1-x)"≤1, 0,1] (6)令(= sinx tanx.-x,x∈(0x)。则 f(x)=sin x+sin xsec-x-2x, f"(x)=cos x cost cOS x 显然f(x)>0,由∫(0)=0,可知f(x)>0。再由f(0)=0,得到f(x)>0, 从而
2 1 '( ) 1 0, 0 1 1 x f x x x x x = − + = > > + + ， 所以 f (x)在(0,+∞)严格单调增加，由 f (0) = 0知 f x( ) > ∀0, x > 0，从而 2 ln(1 ) ( ), 0 2 x + > x x − x > 。 令 g x( ) = −x ln(1+ x) ，则 1 '( ) 1 0, 0 1 1 x g x x x x = − = > > + + ， 所以 g x( ) 在 (0,+∞) 严格单调增加，由 g(0) = 0 知 g x( ) > ∀0, x > 0 ，从而 x x > + ln(1 ), x > 0。 （4）令 f (x) = tan x + 2sin x − 3x，则 [0, ) 2 x π ∀ ∈ ， '( ) sec 2cos 3 3 sec cos cos 3 0 2 3 2 f x = x + x − ≥ x x x − = ， 等号仅在 成立，所以 严格单调增加，从而 ，即 ， x = 0 f x( ) f x( ) > 0 tan x + > 2sin x 3x (0, ) 2 x π ∈ 。 （5）令 f (x) = x p + (1− x) p , 则 1 1 '( ) ( (1 ) ) p p f x p x x − − = − − 在 1 (0, ) 2 取负值，在 1 ( ,1) 2 取正值，即 f x( )在 1 [0, ] 2 严格单调减少，在 1 [ ,1] 2 严格单调增加，所 以 f x( )在 2 1 x = 取到最小值 1 2 1 p− 。又 f f (0) = (1) =1，所以 在 取 到最大值1，因而成立 f x( ) x = 0,1 1 1 (1 ) 1 2 p p p x x − ≤ + − ≤ ， x∈[0,1]。 （6）令 f (x) = sin x tan x − x 2， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x 。则 f '(x) sin x sin x sec x 2x 2 = + − ， 2 cos 2sin cos 1 "( ) cos 3 2 = + + − x x x f x x 。 显然 f "(x) > 0，由 f '(0) = 0，可知 f '(x) > 0 。再由 f (0) = 0，得到 ， 从而 f (x) > 0 102
tanx x∈0, sInx 13.证明:在(01)上成立 (1)(1+x)ln2(1+x)0,x∈(0,1)。 1+x1+x 1+x 由f(0)=0,可知f(x)>0,再由f(0)=0,得到f(x)>0,即 (1+x)ln2(1+x)0
x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x 。 13． 证明：在(0,1) 上成立 （1）(1+ x)ln2 (1+ x) ∈ + + + 。 由 f '(0) = 0，可知 f '(x) > 0 ，再由 f (0) = 0，得到 f (x) > 0，即 2 2 (1+ + x x )ln (1 ) ， 103
所以∫(x)在(0严格单调增加,且当n≥2时,f(0)=-1,f()=n-1>0, 所以f(x)在(0,1)内必有唯一的实根xn。显然{xn}单调减少有下界,所 以必定收敛。设imxn=a,则0≤a0,F(1)=-1<0, 所以存在∈1,使得F(5)=0,即f()=5 (2)令G(x)=eLf(x)-x],则G(0)=G()=0,应用 Rolle定理,必存 在n∈(0,5),使得 G(m)=e[f(n)-1-e-Lf(n)-n]=0, 于是成立f(m)-xf(m)-n]=1 16.设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 g(x)≠0(x∈(ab)。分别利用辅助函数 op(x)=f(x)-f(a)- f(b)-f(a) g(b)-g(a) [8(x)-g(a) 和 gx)f(x)I (x)=|g(a)f(a)1 g(b) f(b) 1
所以 ( ) nf x 在(0,1) 严格单调增加，且当n ≥ 2时， (0) 1, (1) 1 0 n n f f = − = n − > ， 所以 ( ) nf x 在(0,1) 内必有唯一的实根 xn 。显然{xn }单调减少有下界，所 以必定收敛。设li n→∞ m xn = a ，则0 ≤ a F = − < ， 所以存在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ ,1 2 1 ξ ，使得F( ) ξ = 0 ，即 f (ξ ) = ξ 。 （2）令G x( ) = − e−λx [ f (x) x]，则G G (0) = (ξ ) = 0 ，应用 Rolle 定理，必存 在η ∈ (0,ξ )，使得 G e '( ) [ f '( ) 1] e [ f ( ) ] 0 λη λη η η λ η η − − = − − − = ， 于是成立 f ′(η) − λ[ f (η) −η] = 1。 16．设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，且 g′(x) ≠ 0 (x ∈ (a,b)) 。分别利用辅助函数 ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f a [ ( ) ( )] f b f a g b g a = − − g x g a − − − 和 ψ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g a f a g b f b = 1 1 1 , 104
证明 Cauchy中值定理,并说明o(x)和v(x)的几何意义 证由于(a)=(b)=0,应用 Rolle定理,必存在∈(a,b),使得 9()=(5)-(6)-f(a) (5)=0 于是 Cauchy中值定理成立 00的几何意义:参数方程{x=80所表示的曲线上点的纵坐标 y=f() 与连接点(g(a,f(a)和点(g(b),f(b)的直线段上点的纵坐标之差。 由于v(a)=v(b)=0,应用Role定理,必存在∈(a,.b),使得 g(5)f(5)0 v()=g(a)f(a)1=g)f(a)-fb)-f(g(a)-g(b)=0, g(b) f(b) 于是 Cauchy中值定理成立。 v(x)的几何意义:其绝对值等于由(g(x)f(x)、(g(a,f(a)、(g(b),f(b) 为顶点的三角形面积的两倍,如果三顶点按照逆时针方向排列,则 v(x)的符号为正,否则为负 17.设a,b>0,f(x)在[a,b上连续,在(a,b)上可导,证明存在 ξ∈(a,b),使得 2f(b)-f(a)=(b2-a2)f( 证令g(x)=x2,对f(x),g(x)应用 Cauchy中值定理,可知必存在 ∈(a,b),使得 ∫(b)-f(a)f(5) 从而 f(b)-f(a)=(b2-a2) 18.设a,b>0,证明存在ξ∈(a,b),使得 证对于f(x)=C,g(x)=应用 Cauchy中值定理,可知必存在∈(ab), 使得 b =(1-5)e b 整理后即得到 be“=(1-5)e(a-b) 19.设f(x)在[a,b上连续(ab>0),在(a,b)上可导,证明存在ξ∈(a,b), 使得
证明 Cauchy 中值定理，并说明ϕ(x)和ψ(x)的几何意义。 证 由于ϕ( ) a = ϕ(b) = 0，应用 Rolle 定理，必存在ξ ∈( , a b) ，使得 ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) 0, ( ) ( ) f b f a f g g b g a ϕ ξ ξ ξ − = − = − 于是 Cauchy 中值定理成立。 ϕ(t)的几何意义：参数方程 ( ) ( ) x g t y f t ⎧ = ⎨ ⎩ = 所表示的曲线上点的纵坐标 与连接点( ( g a), f (a)) 和点( ( g b), f (b)) 的直线段上点的纵坐标之差。 由于ψ ( ) a =ψ (b) = 0，应用 Rolle 定理，必存在ξ ∈( , a b) ，使得 '( ) '( ) 0 '( ) ( ) ( ) 1 '( )[ ( ) ( )] '( )[ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) 1 g f g a f a g f a f b f g a g b g b f b ξ ξ ψ ξ ξ = = − − ξ − = ， 于是 Cauchy 中值定理成立。 ψ (x)的几何意义：其绝对值等于由( ( 为顶点的三角形面积的两倍，如果三顶点按照逆时针方向排列，则 的符号为正，否则为负。 g x), f (x)),( ( g a), f (a)),( ( g b), f (b)) ψ(x) 17． 设a,b > 0， f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在 ξ ∈ (a,b)，使得 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 ξ f b − f a = b − a f ′ ξ 。 证 令 g x( ) = x 2，对 f x( ), g(x)应用 Cauchy 中值定理，可知必存在 ξ ∈( , a b) ，使得 2 2 ( ) ( ) '( ) 2 f b f a f b a ξ ξ − = − ， 从而 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 ξ f b − f a = b − a f ′ ξ 。 18． 设a,b > 0，证明存在ξ ∈ (a,b)，使得 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 证 对于 1 ( ) , ( ) x e f x g x x x = = 应用 Cauchy 中值定理，可知必存在ξ ∈( , a b) ， 使得 2 2 ( 1) (1 ) 1 1 1 b a e e e b a e b a ξ ξ ξ ξ ξ ξ − − = = − − − ， 整理后即得到 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 19．设 f (x)在[a,b]上连续（ab > 0），在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b)， 使得 105