第三章函数极限与连续函数 习题3.1函数极限 1.按函数极限的定义证明 (1)limx3=8; (2)lim 1 (4)m++1 (5) lim In x=-∞; (6)imex=0; (7)lim (8)lim 证(1)先取kx-20,取6=m14>0,当0x=20,取δ=min42s}>0,当00,取δ=min6s}>0,当01,则2x-12, x+11 ≤3,于是对任意 22x-12x 的>0,取x=max{2}>0,当>x时,成立2x-1236 x+1 < 所以 x→∞2x-12
第三章 函数极限与连续函数 习 题 3.1 函数极限 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞。 证 （1）先取 x − 2 0，取 0 19 min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε δ ，当0 0 ， 取 δ = min{4,2ε} > 0 ， 当 0 0 ， 取 δ = min{1,6ε}> 0 ， 当 0 1，则 2x −1 ≥ x ， 2 1 2 1 1 − − + x x 2 2 1 3 − = x 2 x 3 ≤ ，于是对任意 的ε > 0，取 0 2 3 max 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε X ，当 x > X 时，成立 2 1 2 1 1 − − + x x ≤ < ε 2 x 3 ， 所以 lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 。 34
(5)对任意的G>0,取δ=e°>0,当00,当x>x时,成立01,于是对任意的G>0,取 6=m1},当01,于是对任意的G>0,取X=maxG}, 当x<-X时,成立<x<-G,所以 lim 2.求下列函数极限: (1)im2x2-x-1 (2)im2x2-x-1 (3)lim 3x5-5x3+2y (4)lim (1+2x)(1+3x)-1 +x (6)lim (1+mx)2-(l+nx) li sin x-sina lim coSx-COS3x 0 lim tanx=snx。 解 =m、x+1 2 x12x2-x-1x12x+13 (2)lim (3)im x→0 (4)1m(+2x1+3x)-1=1m0+5x+6x)-1=5
（5）对任意的G > 0，取δ = e−G > 0，当0 ε X ，当 时，成立 ， 所以 x > X ε ε x + x ，于是对任意的G > 0，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = G 1 δ min 1, ，当0 − > + − = − 2 1 ( 2)( 2) 2 4 2 2 ， 所以 lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞。 （8）先取 x x + x ，于是对任意的 ，取 ， 当 时，成立 G > 0 X = max{1,G} x < −X x G x x < < − +1 2 ，所以 lim x→−∞ x x 2 +1 = − ∞。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 解 （1）lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − 1 lim → = x = + + 2 1 1 x x 3 2 。 （2）lim x→∞ = − − − 2 1 1 2 2 x x x 2 1 。 （3）lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x 0 lim → = x x x x − + − + = − + − + 2 4 2 4 3 2 5 3 x x x x 3 2 。 （4）lim x→0 = + + − x (1 2x)(1 3x) 1 lim x→0 = + + − x (1 5x 6x ) 1 2 5。 35
(5) lim(+x)"-Is lim Cnx+( (6)lim (1+mx)"-(1+mx) lim (+nmx+Camx+.+mx)-(1+mnx+Cmn'x++n"x x-)0 nm(n-m)o x+a.x-a (7) lim sin x-sin a=limo -sin- = coSa o 8)lim lim I-coSx (9)lim cosx-cOS5x 2sin 4xsin 2 4 2 sin xsin (10)lim tanx-sinx lim 3.利用夹逼法求极限 (1) lim (2) 解(1)x>0,当1,k为任意正整数 (2)llnx=0(k为任意正整数
（5）lim x→0 = + − x x n (1 ) 1 lim x→0 = + + + x C x C x x n n 1 n 2 2 " n。 （6）lim x→0 2 (1 ) (1 ) x mx nx n m + − + 0 lim → = x 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) x nmx C m x m x mnx C n x n x m m m n n + + n +"+ − + + +"+ ( ) 2 1 = nm n − m 。 （7）lim x a → = − − x a sin x sin a lim x a → x a x a x a − + − 2 sin 2 2cos = cosa。 （8）lim x→0 = − x x 1 cos 2 lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2sin2 2 x x 2。 （9）lim x→0 = − 2 cos cos3 x x x lim x→0 = 2 2sin 4 sin 2 x x x 4。 （10）lim x→0 = − 3 tan sin x x x lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x x x x cos 2 2sin sin 3 2 2 1 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ limx→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ limx→+∞ x x 1 。 解（1）∀x > 0，当 n x n 1 1 1 < ≤ + ，有 1 1 1 ≤⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < + x x n n 。由 1 1 lim = →∞ n + n n ，可知 →0+ lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。∀x < 0，当 1 1 1 + − < ≤ − n x n ，有 n n x x 1 1 1 + <⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ 。由 1 1 lim = + →∞ n n n ， 可知 →0− lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。由此得到 0 lim x→ 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。 （2）当n ≤ x < n +1，有 n x n n x n 1 1 1 1 < < ( +1) + 。由n→∞ lim 1 1 1 = n+ n 与n→∞ lim ( 1) 1 1 + = n n ， 得到 limx→+∞ 1 1 = x x 。 4. 利用夹逼法证明： (1) limx→+∞ x k a x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) limx→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数)。 36
解(1)首先有0<<x,由limn(+=0即得到 lin (2)令lnx=t,则 且当x→+∞时,有t→+∞。再利用(1) 的结论,即得到 lin 0 5.讨论单侧极限 0<x≤1 (1)f(x)={x2,1<x<2,在x=0,1,2三点; 2x2<x<3, (2)f(x) 1 在x=0点 (3) Dirichlet函数 D()={为有理数在任意点 0, 为无理数 (4)f(x) 在 (n=12,3…) n AF(1)lim f(x)=+00, lim f(x)=-, lim f(x)=, lim f(x)=4, limf(x)=4 x→2 (2) lim f(x)=-1, lim f(x)=1 x→0 (3)D(x)在任意点无单侧极限。 (4)lim f(x)=0, lim f(x) 6.说明下列函数极限的情况: (1)lim sInx (2)lim e sinx (4)lim|1+ 解(1) (2) lim e sinx=0, lim e sinx极限不存在,所以 lim e sinx极限不 x→-0 x→+00 存在
解（1）首先有 [ ] ([ ] 1) 0 x k x k a x a x + < < ，由 0 ( 1) lim = + →∞ n k n a n 即得到 limx→+∞ x a k x = 0。 （2）令ln x = t，则 t k k e t x x = ln ，且当 x → +∞时，有t → +∞。再利用（1） 的结论，即得到 limx→+∞ lnk x x = 0。 5. 讨论单侧极限： (1) f (x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f (x) = 2 2 1 1 1 x x + − 1 ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f (x) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 解（1） = +∞ → + lim ( ) 0 f x x ， 2 1 lim ( ) 1 = → − f x x ，lim ( ) 1 1 = → + f x x ，lim ( ) 4 2 = → − f x x ，lim ( ) 4。 2 = → + f x x （2） lim ( ) 1 0 = − → − f x x ， lim ( ) 1 0 = → + f x x 。 （3）D(x)在任意点无单侧极限。 （4） lim ( ) 0 1 = → − f x n x ， lim ( ) 1 1 = → + f x n x 。 6. 说明下列函数极限的情况： (1) limx→∞ sin x x ; (2) limx→∞ e sin x x ; (3) limx→+∞ x x α sin 1 ; (4) limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) limx→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 解（1）limx→∞ = x sin x 0。 （2） ， x→−∞ lim e sin x = 0 x x→+∞ lim e sin x x 极限不存在，所以limx→∞ e sin x x 极限不 存在。 37
(3) lim x"sin-={1a=1。 (4)1m(1+1)=+0,m1+1)=0,所以m(1+1)极限不存 x→+ 在 (5)lim1+ (6)取x=n形1则m li 所以lim 极限不存在 7.设函数 2 f(x) 1+ 问当x→0时,f(x)的极限是否存在? 解由于lmf(x)=m/3x。 0+1=1 sIn x lim f(x)=lim 所以 1 limf(r)=lim/2+ex,sinx x 8.设imf(x)=A(a≥0),证明:imnf(x2)=A。 证设imf(x)=A(a≥0),则vE>0,>0,Wx00,则当0-<6时,首先有 于是0<2-=(x+a(x-)<8,从而 (x2)-4<E,这就说明了mf(x)=A。 9.(1)设lmf(x3)=A,证明:limf(x)=A
（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ > = 0，∃δ '> 0，∀x(0 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = a δ δ ，则当 0 < x − a < δ 时，首先有 x + a < 1+ 2 a ，于是 < x − a 2 0 = (x + a)(x − a) < δ ' ，从而 f (x ) − A < ε 2 ，这就说明了 lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) 38
(2)设!mf(x)=A,问是否成立imn/(x)=A 证(1)设lmf(x3)=A,则v>0,彐0>0,Vx(00,则当00 (2)当limf(x2)=A时,不一定成立imf(x)=A6例如:f(x)=10x0,VN,彐n>N:|xl≥60 (2)3Gn>0,V (3)360>0,v6>0,3x∈(x0x0+6):(x)-4≥5° (4)3G0>0,V6>0,3x∈(x0-6,x):f(x)≤Go (5)360>0.X>0,3x∈(--X):/(x)-A≥6 (6)3G0>0,VX>0,x∈(X+∞):f(x)≥-G0 1l.证明limf(x)=+∞的充分必要条件是:对于任意从右方收敛于x 的数列{xn}(xn>x0),成立 lim f(x 证必要性:由limf(x)=+∞,可知vG>0,36>0,vx(0G。因为数列{xn}(xn>x)收敛于x0,对于上述δ>0,3N, Ⅶn>N:0N时,成立f(xn)>G,即 limf(xn)=+∞ 充分性:用反证法。设limf(x)=+∞不成立,则彐Go>0,vδ>0, x(0<x-x0<):f(x)≤G。取δ=-,n=12,3, 对于δ1=1,3x1(0<x1-x0<1):f(x)≤G0;
(2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 证 （1）设 = A，则 0 lim x→ ( ) 3 f x ∀ε > 0 ， ∃δ '> 0 ， ∀x(0 0 ，则当 0 = 0 0 1 0 ( ) x x f x 0 lim x→ ( ) 1 2 f x = 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f (x) 在 x0 的右极限是 A； (4) f (x) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f x( ) 是负无穷大量。 解（1） 0 0 ∃ε > 0,∀ ,∃ > : ≥ ε n N n N x 。 （2）∃G0 > 0,∀N,∃n > N : xn ≤ G0。 （3） 0 0 0 0 ∃ε > 0,∀δ > 0,∃x∈(x , x +δ ): f (x) − A ≥ ε 。 （4） 0 0 0 0 ∃G > 0,∀δ > 0,∃x∈(x −δ , x ): f (x) ≤ G 。 （5） 0 0 ∃ε > 0,∀X > 0,∃x∈(−∞,−X ): f (x) − A ≥ ε 。 （6） 0 0 ∃G > 0,∀X > 0,∃x∈(X ,+∞): f (x) ≥ −G 。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ } ，成立 limx x → +0 f x( ) + ∞ x0 xn ( ) 0 x x n > limn→∞ f xn ( ) =+ ∞。 证 必要性：由 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ ，可知∀G > 0，∃δ > 0， (0 ) ∀x G 。因为数列{ xn } (xn > x0 ) 收敛于 x0 ，对于上述δ > 0 ， ， ： ∃N ∀n > N 0 N f (xn ) > G limn→∞ f xn ( ) + ∞ 充分性：用反证法。设 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ 不成立，则∃G0 > 0，∀δ > 0， (0 ) ∃x < x − x0 < δ ： f (x) ≤ G0。取 n n 1 δ = ，n = 1,2,3,"： 对于 1 δ 1 = ， (0 1) ∃x1 < x1 − x0 < ： 1 0 f (x ) ≤ G ； 39
对于62=,3x2(0x0)收敛于x0,但相应的函数值数列{f(xn)不 可能是无穷大量,由此产生矛盾,所以limf(x)=+∞成立。 12.证明imnf(x)=-∞的充分必要条件是:对于任意正无穷大量{xn}, 成立 limf(xn)=-∞ 证必要性:由limf(x)=-∞,可知vG>0,3x>0,x>X:f(x)0,N,Ⅶm>N:xn>X。 于是当n>N时,成立f(xn)0,X>0,3x>X f(x)≥-G0。取x n=n,n=1,2,3, 对于X1=1,3x1>1:f(x1)2-G0 对于X2=2,3x2>2:f(x2)2-G0; 对于Xk=k,3xk>k:f(xk)≥-C 于是得到数列{xn}为正无穷大量,但相应的函数值数列{(xn)不可能 是负无穷大量,由此产生矛盾,所以imf(x)=-∞成立。 13.证明limf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意正无穷 大量{x,},相应的函数值数列{f(xn)}收敛。 证必要性:设imf(x)=A,则vE>0,3X>0,wx>X:|f(x)-AkE 因为数列{xn}是正无穷大量,对于上述X>0,丑N,Ⅶn>N:xn>X。 于是当n>N时,成立f(xn)-Ak<E,即imf(xn)=A 充分性:因为对于任意正无穷大量{xn},相应的函数值数列 ∫(xn)}收敛,我们可以断言{∫(xn)}收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{xn}与{xn},使得lmnf(xn)=A,inf(xn)=B,且A≠B, →0 n→① 则取x2n=xn,x2n=x"n,{xn}仍然是正无穷大量,但相应的函数值 数列{f(xn)}不收敛 设{∫(x,)}都收敛于同一个极限A,现用反证法证明limf(x)=A
对于 2 1 δ 2 = ， ) 2 1 (0 ∃x2 x0 ( ) n f x limx x → +0 f x( ) + ∞ 成立。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f x( ) − ∞ xn limn→∞ f xn ( ) =− ∞。 证 必要性：由 = x→+∞ lim f (x) − ∞，可知∀G > 0，∃X > 0，∀x > X ： 。 因为数列{ }是正无穷大量，对于上述 ， f (x) 0 ∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N f (xn ) 0，∀X > 0， ： 。取 ， ： ∃x > X 0 f (x) ≥ −G Xn = n n = 1,2,3," 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 f (x ) ≥ −G ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 f (x ) ≥ −G ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 f (xk ) ≥ −G ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不可能 是负无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn f (xn )} x→+∞ lim f (x) − ∞成立。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷 大量{ }，相应的函数值数列{ }收敛。 limx→+∞ f x( ) xn f xn ( ) 证 必要性：设 lim ，则 x→+∞ f (x) = A ∀ε > 0，∃X > 0，∀x > X ：| f (x) − A | 0，∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N | f (x ) − A |< ε n ，即n→∞ lim f (xn ) = A。 充分性：因为对于任意正无穷大量{ xn }，相应的函数值数列 { }收敛，我们可以断言{ }收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{ }与{ }，使得 f xn ( ) f xn ( ) n x' n x" f x n A n = →∞ lim ( ' ) ， f x n B n = →∞ lim ( " ) ，且 A ≠ B ， 则取 ， ，{ }仍然是正无穷大量，但相应的函数值 数列{ }不收敛。 n n x x' 2 −1 = n n x x" 2 = xn f xn ( ) 设{ f x( n ) }都收敛于同一个极限 A，现用反证法证明 lim 。 x→+∞ f (x) = A 40
设limf(x)=A不成立,则30>0,x>0,3x>X:|f(x)-AEE0 取Xn=n 对于X1 ∫(x1)-AE0; 对于 If(x2)-AP Eo 对于Xk=k,3xk>k:|f(xk)-AEc0; 于是得到数列{xn}为正无穷大量,但相应的函数值数列{f(xn)不收敛 于A,由此产生矛盾,所以imf(x)=A。 14.分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy收敛原理,并加 以证明: (1) lim f(x);(2) lim f(x):(3) lim f(x) 解(1)极限limf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意给 定的E>0,存在δ>0,对一切x,r∈{00,3δ>0, vx,x∈{00,丑N,Ⅶn>N:0n>N时,成立 (xm)-f(xn)0,存在。>0,对一切x,x∈00,3>0, x,x∈{0x,lmxn=x0,则对于条件中 的δ>0,丑N 0n>N时,成立 (xm)-f(xn)<6。这说明函数值数列(xn)是基本数列,因而收敛。 再根据相应的 Heine定理,可知limf(x)存在而且有限
设 limx→+∞ f (x) = A不成立，则∃ε 0 > 0，∀X > 0，∃x > X ： 0 | f (x) − A |≥ ε 。 取 Xn = n ，n = 1,2,3,"： 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 | f (x ) − A |≥ ε ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 | f (x ) − A |≥ ε ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 | f (x ) − A |≥ ε k ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不收敛 于 xn f (xn )} A，由此产生矛盾，所以 x→+∞ lim f (x) = A。 14．分别写出下述函数极限存在而且有限的 Cauchy 收敛原理，并加 以证明： （1） lim ；（2） ；（3） 。 x x → 0 f x( ) limx x → +0 f x( ) limx→−∞ f x( ) 解 （1）极限 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给 定的 limx x → 0 f x( ) ε > 0，存在δ > 0，对一切 x', x"∈{x 0 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈{x 0 0 ， ∃N ， ∀n > N ： 0 n > N 时，成立 ( ) − ( ) 0，存在δ > 0，对一切 x', x"∈{x 0 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈{x 0 x0， 0 lim x x n n = →∞ ，则对于条件中 的 δ > 0 ， ∃N ， ∀n > N ： 0 n > N 时，成立 ( ) − ( ) < ε m n f x f x 。这说明函数值数列{f (xn )}是基本数列，因而收敛。 再根据相应的 Heine 定理，可知x x lim → + 存在而且有限。 0 f x( ) 41
(3)limf(x)存在而且有限的充分必要条件是:对于任意给定的>0, 存在x>0,对一切x,x0,丑x>0,x,x"0, N,Wn>N:xnn>N时,成立f(xm)-f(xn)<E 这说明函数值数列{(xn)是基本数列,因而收敛。再根据相应的 Heine 定理,可知limf(x)存在而且有限。 15.设∫(x)在(0,+∞)上满足函数方程f(2x)=f(x),且limf(x)=A,证 f∫(x)≡A,x∈(0,+∞) 证x∈(0,+∞),利用f(x)=f(2x)得到f(x0)=f(2x),由于 inf(2"xo)=limf(x)=A,得到∫(x)=A,x∈(0,+∞)
（3）lim 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意给定的 x→−∞ f x( ) ε > 0， 存在 X > 0，对一切 x', x" 0 ， ∃X > 0 ， ∀x', x" 0 ∃N ∀n > N xn n > N ( ) − ( ) < ε m n f x f x 。 这说明函数值数列{ 是基本数列，因而收敛。再根据相应的 Heine 定理，可知 存在而且有限。 f (xn )} limx→−∞ f x( ) 15．设 f (x) 在(0,+∞)上满足函数方程 f (2x) = f (x) ，且 ，证 明 limx→+∞ f (x) = A f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 证 ∀x0 ∈ (0,+∞) ，利用 f (x) = f (2x)得到 f (x0 ) = f (2n x0 )，由于 f x f x A x n n = = →∞ →+∞ lim (2 ) lim ( ) 0 ，得到 f (x) ≡ A, x ∈ (0,+∞)。 42
习题3.2连续函数 1.按定义证明下列函数在其定义域连续: (2)y=sin sInx x≠0, 证(1)函数y=√x的定义域是D=0+∞)。设xo∈D,对任意的s>0, 取δ ,当x-x0,取b=mm/x01xoC>0,当k-xk0,取 min 22(x0|+1) e}>0,当x-x<6时,成立 sinx sin xo o sin x-xsin x rosin x -sin x InXox-x 0 所以,「snx.x≠0在其定义域连续。 2.确定下列函数的连续范围: y= tan x t cSc x (2)y COSx y (4)y=[x]ln(1+x)
习 题 3.2 连续函数 1. 按定义证明下列函数在其定义域连续： (1) y = x ； (2) y = sin x 1 ； (3) y = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0. , 0, sin x x x x 证 （1）函数 y= x 的定义域是D = [0,+∞) 。设 x0 ∈ D，对任意的ε > 0， 取δ = ε2 > 0，当 x − x0 0，取 0 2 | | , 2 | | min 2 0 0 > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ δ = ε x x ，当 x − x0 0，取 0 2( 1) | | , 2 | | min 0 2 0 0 > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + δ = ε x x x ，当 x − x0 < δ 时，成立 0 0 0 0 0 sin sin sin sin xx x x x x x x x x − − = 0 0 0 0 0 sin sin sin xx x x − x + x x − x ≤ − < ε + < 2 0 0 0 2( 1) x x x x ， 所以 y=⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 1, 0 , 0, sin x x x x 在其定义域连续。 2. 确定下列函数的连续范围： ⑴ y = tan x + csc x ； ⑵ y = 1 cos x ； ⑶ y = ( ) x x( x − − + 1 3 1 ) ； ⑷ y = [x] ln (1+x)； 43
