第七章定积分 习题7.1定积分的概念和可积条件 用定义计算下列定积分 (1)∫。(ax+b)dx (2)Jat(a>0) 解(1)取划分:0∞), 即 f(ax+b)dx=5+b (2)取划分:00,对任意的划分P 与任意5∈x,x],只要A=mx(△x)<,就有∑/5)A<1+1 取定了划分后,n与Ax(=1,2.…n)也就确定,如果∫(x)在[a,b上无 界,则必定存在小区间[x1,x],f(x)在[x21,x上无界。取定
第七章 定积分 习 题 7.1 定积分的概念和可积条件 1. 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). 解 （1）取划分： 1 1 2 1 0 0，对任意的划分 与任意 P 1 [ , i i ]i ξ x x ∈ − ，只要λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x ， 就有 ( ) 1 1 ∑ ∆ < + = f x I n i ξ i i 。 取定了划分后，n与 ( 1, 2, i ∆ = x i "n) ] 也就确定，如果 在[ , 上无 界，则必定存在小区间 f (x) a b] 1 [ , i i x x − ， f (x)在 1 [ , i i x x ] − 上无界。取定 203
5,5=,5n…,必可取到5,使∑()x0,因为是S的上确界,所以彐S(P)∈S,使得 设划分P:a=x<x<x2<…<x=b,M,m是∫(x)的上、下确界,取 2(p-1)(M-m) 对任意一个满足A=max(Ax,)<d的划分 P:a=xo<x<x2<…<xn=b, 记与其相应的小和为S(P),现将P",P的分点合在一起组成新的划分 P”,则由引理71.1,S(P)-S(P)≤0。 下面来估计S(P)-S(P) (1)若在(x,x)中没有P的分点,则S(P),S(P)中的相应项相同 它们的差为零; (2)若在(x,x)中含有P的分点,由于两种划分的端点重合,所 以这样的区间至多只有p-1个。由δ的取法,可知 Ax1≤≤△x1,i=12,…,n,j=12,…,P, 所以在(x1,x)中只有一个新插入的分点x,这时S(P),S(P)中的相 应项的差为 [m(x2-x=1)+m7(x-x1)-m(x,-x1)≤(M-m(x,-x-1)<(M-m)
1 1 1 , , , , , i i n ξ ξ ξ ξ " − + " ，必可取到ξ i，使 ( ) 1 1 ∑ ∆ 0，因为l是S的上确界，所以 ∃S(P′)∈S，使得 2 0 ( ) ε ≤ l − S P′ < 。 设划分P′ : a = x0 ′ < x1 ′ < x2 ′ < " < x′ p = b，M ,m是 f (x)的上、下确界，取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 2( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ， 对任意一个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P a x x x x b : = 0 < 1 < 2 < " < n = ， 记与其相应的小和为 S(P) ，现将 P′, P 的分点合在一起组成新的划分 P′′，则由引理 7.1.1，S(P′) − S(P′′) ≤ 0。 下面来估计S(P′′) − S(P)： （1）若在(xi−1 , xi)中没有P′的分点，则S(P′′), S(P)中的相应项相同， 它们的差为零； （2）若在(xi−1 , xi)中含有P′的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有 p −1个。由δ 的取法，可知 ∆xi ≤ δ ≤ ∆x′ j , i = 1,2,", n, j = 1,2,", p， 所以在(xi−1 , xi)中只有一个新插入的分点 j x′ ，这时S(P′′), S(P)中的相 应项的差为 [ ( ) ( )] ( ) −1 − − −1 ′ ′ − + ′′ − ′ i j i i i j i i i m x x m x x m x x ( )( ) ≤ − i − i−1 M m x x < (M − m)δ ， 204
从而0≤S(P)-S(P)0,存在一种划分P,使得相应的振幅满足S。3 即(P)-S(P)<取8=mm△x,A2…,sx73p=M-m/,对任意 个满足=max(Ax)<6的划分 P <x,=b, 现将PP的分点合在一起组成新的划分P",则由 Darboux定理的证明 过程,可得 0≤S(P)-S(P)=[S(P)-S(P")]+[S(P")-S(P)+ [S(P)-S(P)]+[S(P)-S(P")]+[S(P")-S(P <E+0+2+0+E=E, 由定理71.1,可知f(x)在[a,b上可积。 5.讨论下列函数在[O,1]的可积性: ∫￥-Hx≠0 1,x为有理数 (1)f(x) (2)f(x)= 1,x为无理数; f(x) ∫0,x为有理数 jsgn(sin),x≠0 x,x为无理数; (4)f(x)= X=
从而 2 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ε ≤ S P′′ − S P 0，存在一种划分P′，使得相应的振幅满足 1 3 ε ∑ω′∆ ′ < = p i i i x ， 即 3 ( ) ( ) ε S P′ − S P′ < 。取 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ∆ ′ ∆ ′ ∆ ′ 3( 1)( ) min , , , , 1 2 p M m x x x p ε δ " ，对任意一 个满足λ = ∆ < δ ≤ ≤ max( ) 1 i i n x 的划分 P : a = x0 < x1 < x2 < " < xn = b， 现将P′, P的分点合在一起组成新的划分P′′，则由 Darboux 定理的证明 过程，可得 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P ′ − ′ + ′ − ′′ + ′′ − ≤ − = − ′′ + ′′ − ′ + ε ε ε ε < + + + + = 3 0 3 0 3 ， 由定理 7.1.1，可知 f (x)在[a,b]上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 205
解:(1)0≤f(x)0,取定WJ(x)在区间[,1上只有有限个不连续点, 所以f(x)在[,上可积,即存在[,1的一个划分P,使得 Ax,0,取定m>4,则f()在[,1上只有有限个不连续点, 所以x)在[上可积,即存在[,的划分P,使得∑A0(m为常数), 206
解：（1）0 ( ≤ f x) 0，取定 ε 2 m > ， f (x)在区间 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的一个划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ ε 0，取定 ε 4 m > ，则 f (x)在 ,1] 1 [ m 上只有有限个不连续点， 所以 f (x)在 ,1] 1 [ m 上可积，即存在 ,1] 1 [ m 的划分P ，使得 1 2 ε ∑ω ∆ 0 （m为常数）， 206
证明在ab上也可积 f(x) 证任取[a,b的一个划分:a=x00,3δ>0,当λ=max(Ax)0,取 d=w2Mab-c,则彐N>0,当n>N时,n-40与a>0,存在划分P,使得振幅a≥E的 那些小区间[x1x]的长度之和∑△x<a(即振幅不能任意小的那些 12E 207
证明 ( ) 1 f x 在[ , a b]上也可积。 证 任取[ , a b]的一个划分：a = x0 0,∃δ > 0 ，当 λ = ∆ 0 ，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = c − a b − c M , , 12 min ε δ ，则 ∃N > 0，当n > N 时， xn − c 0与σ > 0，存在划分P ，使得振幅ω ≥ ε i 的 那些小区间[xi−1 , xi]的长度之和 ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x （即振幅不能任意小的那些小 207
区间的长度之和可以任意小) 证充分性:设f(x)≤M。VE=σ>0,存在划分P,使得振幅o≥E 的那些小区间的长度之和∑Ax,0与a0>0,对任意划分P,振幅o,≥5o 的小区间的长度之和不小于σ,于是 ∑o,Ax=∑oAx+∑m△x≥60∑Ax,≥oo, 则当A=max(x)→0时,∑a4x不趋于零,与f(x)在[a,b上可积矛盾。 9.设f(x)在a,b上可积,A≤f(x)≤B,g(u)在[A,B上连续,证明复合 函数g(f(x)在[a,b上可积。 证由于g()在[A,B连续,所以可设g(u)≤M,且g()一致连续,于 是vE>0,36>0,V,n"∈[A,B],只要-川0与δ>0,存在划分 P,使得振幅o()≥δ的小区间的长度之和小于,于是 ∑o(gAx,=∑o(g°Ax,+∑o、8°)Ax ,, o 01(f≥6 ∑Ax+2M∑Ax<6(b-a)+204M=, 2(b-a)0,(k6 0G22(b-a) 即复合函数g(f(x)在[a,b上可积
区间的长度之和可以任意小）。 证 充分性: 设 f (x) ≤ M 。 ∀ε = σ > 0 , 存在划分P , 使得振幅ω ≥ ε i 的那些小区间的长度之和 ∑≥ ∆ 0与σ 0 > 0，对任意划分P ，振幅 0 ω ≥ ε i 的小区间的长度之和不小于σ 0 , 于是 0 0 0 1 0 0 0 ω ω ω ε σ ε ω ε ω ε ω ε ∑ ∆ = ∑ ∆ + ∑ ∆ ≥ ∑∆ ≥ = i 0 ,∃δ > 0 ,∀u',u"∈[A, B], 只要 u'−u" 0与δ > 0 , 存在划分 P ,使得振幅ωi( f ) ≥ δ 的小区间的长度之和小于 4M ε , 于是 ∑ ∑ ∑ = < ≥ ∆ = ∆ + ∆ ω δ ω δ ω ω ω 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f i i f i i n i i i i i g D f x g D f x g D f x ε ε ε ε ω δ ω δ − + ⋅ = − ∆ + ∆ < − < ∑ ∑ < ≥ M b a M b a x M x b a f i f i i i 4 ( ) 2 2( ) 2 2( ) ( ) ( ) ， 即复合函数 g f ( (x))在[ , a b]上可积。 208
