习题8.2反常积分的收敛判别法 1.(1)证明比较判别法(定理8.2.2); (2)举例说明,当比较判别法的极限形式中l=0或+∞时, o(x)和∫。f(x)t的敛散性可以产生各种不同的的情况 解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在[a,+∞)上恒有0≤f(x)≤Ko(x), 其中K是正常数。则 当(x)t收敛时∫f(x)k也收敛; 当∫f(x)发散时∫”o(xk也发散。 证当∫o(x)收敛时,应用反常积分的 Cauchy收敛原理, vE>0,342a,ⅥA,A≥4:4以(x)d0,VA62a,3A,24:Af(x)≥kE。 于是 x)ax 所以∫。q(x)tx也发散。 (2)设在,+)上有f(x)200x)20,且 lim /(xr)=0。则当fx x→+∞Q(x) 发散时,∫。q(x)tx也发散;但当∫f(x)收敛时,∫。q(xtx可能收敛
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l = 0 或 时， 和 的敛散性可以产生各种不同的的情况。 + ∞ ∫ +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 解 （1）定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ , a + ∞)上恒有0 ≤ f (x) ≤ Kϕ(x)， 其中 K 是正常数。则 当∫ 收敛时 也收敛； +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当∫ 发散时 也发散。 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a ϕ(x)dx 证 当∫a +∞ ϕ(x)dx 收敛时，应用反常积分的 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0 ，∃A0 ≥ a， 0 ∀A, A′ ≥ A ： K x dx A A ε ∫ ϕ 0，∀A0 ≥ a， 0 ∃A, A′ ≥ A ： f x dx Kε A A∫ ≥ ′ ( ) 。 于是 ∫ ≥ A′ A ϕ(x)dx 0 ( ) 1 ≥ ε ∫ A′ A f x dx K ， 所以∫ 也发散。 +∞ a ϕ(x)dx （2）设在[ , a + ∞)上有 f (x) ≥ 0,ϕ(x) ≥ 0，且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ x f x x ϕ 。则当 发散时，∫ 也发散；但当 收敛时，∫ 可能收敛， ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx +∞ a ϕ(x)dx 278
也可能发散 例如f(x)=2,x)=-(01),则m(x)=+∞。显然有 p(x) "f(发散,而对于(xM,则当1时收 敛。 2.证明 Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。 证定理8.2.3( Cauchy判别法)设在[a,+∞)c0,+∞)上恒有f(x)≥0, K是正常数 )若(x)≤,且p>1,则“f(xM收敛 (2)若(2,且p≤1,则厂)发散。 推论( Cauchy判别法的极限形式)设在[a,+∞)c0,+∞)上恒有 x)≥0,且 f(x)=l 则 ()若0≤/<+∞,且px1,则∫f(x)收敛
也可能发散。 例如 2 1 ( ) x f x = ， (0 2) 1 ( ) = x x p ϕ ，则 = +∞ →+∞ ( ) ( ) lim x f x x ϕ 。显然有 ∫ +∞ 1 f (x)dx发散，而对于∫1 +∞ ϕ(x)dx ，则当 1 2 1 1 ⒉ 证明 Cauchy 判别法及其极限形式（定理 8.2.3）。 证 定理 8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[ , a + ∞) ⊂ ( , 0 + ∞)上恒有 f x( ) ≥ 0， K 是正常数。 ⑴ 若 f x K x p ( ) ≤ ，且 p > 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx ⑵ 若 f x K x p ( ) ≥ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在 [ , a + ∞) ⊂ + ( , 0 ∞) 上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim ( ) x p x f x l →+∞ = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l 1，则 收敛； ∫ +∞ a f (x)dx 279
(2)若0 1+xsin 而积分,发散,所以积分 dx发散 (4)当x→+∞时
⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≤ 1，则 发散。 ∫ +∞ a f (x)dx 证 直接应用定理 8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极 限形式），将函数ϕ(x)取为 p x 1 。 ⒊ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln ; ⑵ ∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x ; ⑶ 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | ; ⑷ x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ （ ）. + p,q ∈ R 解 （1）当 x → +∞时， ln 1 1 3 2 − + + − x e x x ～ 2 3 1 x ， 所以积分 1 1 1 3 2 x e x dx x − + + − +∞ ∫ ln 收敛。 （2）当 x → +∞时， 3 1 arctan x x + ～ 3 2x π ， 所以积分∫ +∞ 1 + 3 1 arc tan dx x x 收敛。 （3）因为当 x ≥ 0时有 x x + x ≥ + 1 1 1 sin 1 ， 而积分 dx x ∫ +∞ + 0 1 1 发散，所以积分 1 1 0 + +∞ ∫ x x dx |sin | 发散。 （4）当 x → +∞时， p q x x 1+ ～ p q x − 1 ， 280
所以在p-q>1时,积分 ax收敛,在其余情况下积分 1+ 「"1+女发散 4.证明:对非负函数f(x),(cp)」f(x)收敛与」f(x)dk收敛是等 价的 证显然,由」∫(x)a收敛可推出(cpv)」二f(x)dk收敛,现证明当 f(x)≥0时可由(cep)」∫(x)收敛推出」f(x)收敛。 由于(cp)∫二f(x)t收敛,可知极限 lim F(A) 存在而且有限,由 Cauchy收敛原理, E>0,34>0,VA,A≥4:|F(A)-F() 于是vA,A≥A与B,B≥A,成立 ∫f(x)bsF(4)-F()<6与B/(x(B)-F(B)<, 这说明积分tf(x)k与0f(x)都收敛,所以积分∫f(x)收敛 5.讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散, 下同): In In x (p∈R+) +op sin x arc tan x d(p∈R);(4)∫"sin(x2)dk; (pn(x)和q(x)分别是m和n次多项式 q, (x) qn(x)在x∈[a,+∞)范围无零点。) 解(1)因为F(4=smxk有界,如x在[2+)单调,且lmx=0 nx 由 Dirichlet判别法,积分∫2 In In x sin xdx收敛;
所以在 p − q > 1时，积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 收敛，在其余情况下积分 x x dx q p 1 1 + +∞ ∫ 发散。 ⒋ 证明：对非负函数 ， 收敛与 收敛是等 价的。 f x( ) (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 证 显然，由 收敛可推出 收敛，现证明当 时可由 收敛推出 收敛。 f x( )dx −∞ +∞ ∫ (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f (x) ≥ 0 (cpv) f x( )dx −∞ +∞ ∫ f x( )dx −∞ +∞ ∫ 由于(cpv) f x( )dx 收敛，可知极限 −∞ +∞ ∫ A→+∞ lim F(A) = A→+∞ lim ∫− A A f (x)dx 存在而且有限，由 Cauchy 收敛原理， ∀ε > 0，∃A0 > 0， 0 ∀A, A′ ≥ A ： F(A) − F(A') < ε ， 于是∀A, A′ ≥ A0与∀B, B'≥ A0 ，成立 ∫ ≤ A′ A f (x)dx F(A) − F(A') < ε 与 ∫ ≤ − − B B f x dx ' ( ) F(B) − F(B') < ε ， 这说明积分∫0 +∞ f (x)dx与∫− 0 ∞ f (x)dx 都收敛，所以积分 −∞ f x( )dx 收敛。 +∞ ∫ ⒌ 讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散， 下同）： ⑴ ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ ; ⑵ sin x x dx 1 p +∞ ∫ （ ）; + p ∈ R ⑶ ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p （ ）; + p ∈ R ⑷ sin(x )dx 2 0 +∞ ∫ ; ⑸ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) （ pm (x)和qn (x)分别是m和n次多项式， q (x) n 在 x ∈[a,+∞)范围无零点。） 解（1）因为 = ∫ 有界， A F A xdx 2 ( ) sin x x ln ln ln 在[2,+∞) 单调，且 0 ln ln ln lim = →+∞ x x x ， 由 Dirichlet 判别法，积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 收敛； 281
由于 InInx InIn x 1 InIn sinx≥ 1-cos2x),而积分 g"|m发散,22d收敛,所以积分1吗m发 x 散,即积分" nx sina条件收敛。 (2)当p>1时,厘1,而广1么收敛,所以当p>1时积分 too sin x dx绝对收敛 x 当0时 积分[ -d绝对收敛; 当0<P1时,因为F(4)=」smx有界,如mx在+=)单调,且 lim=0,由 Dirichlet判别法,积分广xmxh收敛:但因 为当0<P51时积分广如xmx发散,所以当0<P≤1时积分 +∞ sin x arctan x dx条件收敛 (4)令1=x2,「sim(x)d=∫0nd,由于d条件收敛,可知 积分∫。sin(x2)条件收敛。 282
由于 x ≥ x x sin ln ln ln x x x 2 sin ln ln ln (1 cos 2 ) ln ln ln 2 1 x x x = − ，而积分 ∫ +∞ 2 ln ln ln dx x x 发散， ∫ +∞ 2 cos 2 ln ln ln xdx x x 收敛，所以积分 ∫ +∞ 2 sin ln ln ln x dx x x 发 散，即积分 ln ln ln sin x x xdx 2 +∞ ∫ 条件收敛。 （2）当 p > 1时， p p x x sin x 1 ≤ ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 p > 1时积分 sin x x dx 1 p +∞ ∫ 绝对收敛； 当 0 1时， ≤ p x sin x arctan x p 2x π ，而∫ +∞ 1 1 dx x p 收敛，所以当 时 积分 p > 1 ∫ +∞ 1 sin arc tan dx x x x p 绝对收敛； 当0 < p ≤ 1时，因为 = ∫ 有界， A F A xdx 1 ( ) sin p x arctan x 在[1,+∞)单调，且 0 arctan lim = →+∞ p x x x ，由 Dirichlet 判别法，积分∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 收敛；但因 为当0 < p ≤ 1时积分∫ +∞ 1 sin arctan x dx x x p 发散，所以当0 < p ≤ 1时积分 ∫ +∞ 1 sin arctan dx x x x p 条件收敛。 （4）令t = x 2，∫ = +∞ 0 2 sin(x )dx ∫ +∞ 0 2 sin dt t t ，由于∫ +∞ 0 2 sin dt t t 条件收敛，可知 积分 0 sin(x 2 )dx 条件收敛。 +∞ ∫ 282
(5)当n>m+1且x充分大时,有Pa(mxsK,可知当n>m+1时 qn(x) 积分∫"Bn(mnx绝对收敛。 当n=m+1时,因为F(A=snx有界,且当x充分大时,Pn(x) gn(x 单调目1pn(x)=0,由 Dirichlet判别法可知、收敛;但 x→+0 qn q, (x) 由于当x→+∞时,P(~g,易知“P(如m发散,所以当 n=m+1时,积分∫“P(3mx条件收敛 qn 当n<m+1时,由lmPn(x)=A,A为非零常数、+∞或-∞,易知 x→+qn(x) 积分“(3m发散 qn 6.设f(x)在[a,b只有一个奇点x=b,证明定理8.2.3和定理 8.2. 定理8.2.3( Cauchy判别法)设在[a,b)上恒有f(x)≥0,若当x属 于b的某个左邻域[b-n,b)时,存在正常数K,使得 K (1)f(x)≤ 且p<1,则∫f(x)kt收敛 (2)f(x)≥ K (-xy,且p21,则/(x发散。 证(1)当p<1时,积分t收敛,由反常积分的 Cauchy收 (b-x) 敛原理
（5）当n > m +1且 x充分大时，有 x q x p x n m sin ( ) ( ) 2 x K ≤ ，可知当 时 积分 n > m +1 ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 绝对收敛。 当n = m +1时，因为 = ∫ 有界，且当 充分大时， A F A xdx 1 ( ) sin x ( ) ( ) q x p x n m 单调且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ q x p x n m x ，由 Dirichlet 判别法可知∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 收敛；但 由于当 x → +∞ 时， ( ) ( ) q x p x n m ～ x a ，易知 ∫ +∞ 1 sin ( ) ( ) x dx q x p x n m 发散，所以当 n = m +1时，积分∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 条件收敛。 当n < m +1时，由 A q x p x n m x = →+∞ ( ) ( ) lim ，A为非零常数、+ ∞ 或 ，易知 积分 − ∞ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 发散。 ⒍ 设 f x( ) 在 [ , a b]只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2. 和定理 8.2. 。 3' 5′ 定理 8.2.3′（Cauchy 判别法） 设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，若当 x属 于b的某个左邻域[b − η0 , b)时，存在正常数 K ，使得 ⑴ f x K b x p ( ) ( ) ≤ − ，且 p < 1，则 a f x dx 收敛； b ( ) ∫ ⑵ f x K b x p ( ) ( ) ≥ − ，且 p ≥ 1，则 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 证 （1）当 p < 1时，积分∫ − b a p dx (b x) 1 收敛，由反常积分的 Cauchy 收 敛原理， 283
VE>0,彐8>0,Vn,n∈(0,6) 由于/E一-,所以广收敛 (2)当p≥1时,积分 女发散,由反常积分的 Cauchy收敛原 理, 彐E0>0,V>0,彐n,n∈(0,。) dx Eo 由于(2(b+y22h,所以(x)发散。 推论( Cauchy判别法的极限形式)设在a,b)上恒有f(x)≥0,且 lim(b-x)Pf(x)=l 则 (1)若0≤10,Vx∈(b-,b):f(x) 再应用定理8.2.3的(1)。 (2)由1im(b-x)f(x)=l(p≥1,00,Vx∈(b-6,b):f(x)> 2(b-x) 再应用定理8.2.3的(2)。 定理82.5若下列两个条件之一满足,则∫f(x)(x收敛:
∀ε > 0，∃δ > 0，∀η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p η ε η 0，∀δ > 0，∃η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p 0 ' ( ) η 1 ε η ≥ − ∫ − − 。 由于 ∫ ≥ − − ' ( ) η η b b f x dx 0 ' ( ) ε η η ≥ − ∫ − − b b p dx b x K ，所以 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim( ) ( ) x b p b x f x l → − − = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x ( ) 1 ( ) − + 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x 2( ) ( ) − > ， 再应用定理 8.2.3′的（2）。 定理 8.2.5′ 若下列两个条件之一满足，则 a f x g x dx 收敛： b ( ) ( ) ∫ 284
(1)(Abe判别法)∫(x)收敛,g(x)在[u,b)上单调有界 2 Dirichlet判别法)F(m)=广(x)在(b-上有界,g(x)在 [a,b)上单调且limg(x)=0 证(1)设g(x)G,因为∫”f(x)k收敛,由 Cauchy收敛原理, vE>0,3δ>0,VA,A∈(b-6,b):f(x)dx0,36>0,x∈(b-6,b),有g(x)<5。由积分第 中值定理 (x)(x)g(0x+g:(x) 2Mg(A)+2M|g(A^)<+ E 所以无论哪个判别法条件满足,由 Cauchy收敛原理,都有 ∫。f(x(x)t收敛的结论。 7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性 d x d x x2(1-x) (4)J I-cos x cos-x SIn- x 5).lInxipdx (6)JxP(1-x)9 解(1)因为 (x→0+), (1-x)3 285
⑴（Abel 判别法） f x dx收敛， 在[ , 上单调有界； a b ( ) ∫ g x( ) a b) ⑵（Dirichlet 判别法） ∫ 在 − = η η b a F( ) f (x)dx (0,b − a]上有界，g x 在 上单调且 ( ) [ , a b) lim ( ) = 0 → − g x x b 。 证 （1）设| g(x) |≤ G ，因为 a f x dx 收敛，由 Cauchy 收敛原理， b ( ) ∫ ∀ε > 0，∃δ > 0，∀A, A′∈ (b − δ ,b)： G f x dx A A 2 ( ) ε 0，∃δ > 0，∀x ∈ (b − δ ,b)，有 M g x 4 ( ) ε < 。由积分第 二中值定理， ∫ A′ A f (x)g(x)dx ∫ ∫ ′ ≤ ⋅ + ′ ⋅ A A g A f x dx g A f x dx ξ ξ ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ 2M| g(A)|+2M | g(A′)| ε ε ε < + = 2 2 。 所以无论哪个判别法条件满足，由 Cauchy 收敛原理，都有 ∫ 收敛的结论。 +∞ a f (x)g(x)dx ⒎ 讨论下列非负函数反常积分的敛散性： ⑴ 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ ; ⑵ ln x x dx 0 2 1 −1 ∫ ; ⑶ 1 0 2 2 2 cos x sin x dx π ∫ ; ⑷ 1 0 2 − ∫ cos x x dx p π ; ⑸ |ln x | dx p 0 1 ∫ ; ⑹ x x d p q − − ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 x ; ⑺ ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q . 解 （1）因为 3 2 (1 ) 1 x − x ～ 3 2 1 x (x → 0+) ， 3 2 (1 ) 1 x − x ～ 3 1 (1 ) 1 − x (x →1−)， 285
所以积分 vx(1-x女收敛。 (2)因为lim In ,且对任意00 →0+ 充分小时,有0 充分小时,有x1时, 积分nax收敛,当p≤-1时,积分∫mx发散 (6)xp-1(1-x)q (x→0+),xP(-x) p)q(x→1-), 所 (1 以在p>0q>0时积分∫xp-(1-x)-收敛,在其余情况下积分 ∫xp(1-x)y-a发散。 (7)xp-1(1-x)9lnx|~ (1-0(x→1-),且 in[x2(xp-(1-x)9|lnx=0,即当x>0充分小时,有 (-xymx0.q>-1时积分x2(-xymx 收敛,在其余情况下积分/x0-x)|hxdk发散
所以积分 1 1 0 3 2 1 x x dx ( ) − ∫ 收敛。 （2）因为 1 ln lim 2 →1− x − x x 2 1 = ，且对任意0 0 δ x x x 1 1 ln 2 0 δ x x p 1 ln −1 |ln x | dx p 0 1 ∫ p ≤ −1时，积分 0 |ln x | p dx 发散。 1 ∫ （6） x p−1 (1− x) q−1～ p x 1− 1 (x → 0+) ， x p−1 (1− x) q−1～ q x − − 1 (1 ) 1 (x →1−)，所 以在 p > 0, q > 0时积分∫0 x x p−1 − q−1 d 收敛，在其余情况下积分 1 ( ) 1 x x x dx p− q− ∫ − 1 1 0 1 ( ) 1 发散。 （7） x p−1 (1− x) q−1 | ln x |～ q x − (1− ) 1 (x →1−)，且 lim [ ( (1 ) | ln |)] 0 2 1 1 1 0 − = − − − → + x x x x p q p x ，即当 x > 0充分小时，有 2 1 1 1 1 (1 ) ln p p q x x x x − − − − 0, q > −1时积分 收敛，在其余情况下积分 发散。 ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x) | ln x | dx p q 286
8.讨论下列反常积分的敛散性 (1)/x1 dx(p,q∈R+);(2) dx In √x(x-1)2(x-2) In(1+x) arc tan x (4) dx (6)∫ dx (8 dx 解(1)J。mx=1mx-1nx+1x一 当p>0,g>0时积分a与积分显然收敛,且当 时, +(x-)-1-+ 1(p-q)x-12p-q x 即x-x不是反常积分,所以积分x-x收敛。 In (2)0-,d=0 dx x(x-1)2(x-2) x(x-1)2(x-2) x(x-1)2(x-2) dh x(x-1)2(x-2) 因为 1(x→>0+), (x→>1-), x-1)2(x-2) 所以积分 dx收敛 1)2(x-2) 287
⒏ 讨论下列反常积分的敛散性： ⑴ x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ( ); + p,q ∈ R ⑵ 1 1 2 0 3 2 x x x dx ( ) − − ( ) +∞ ∫ ; ⑶ ln(1 ) 0 +∞ + ∫ x x dx p ; ⑷ ∫ +∞ 0 arc tan dx x x p ; ⑸ ∫ / 2 0 π tan dx x x p ; ⑹ x d p x − − +∞ ∫ 1 0 e x ; ⑺ 1 0 x x dx p q + +∞ ∫ ; ⑻ ∫ +∞ 2 ln 1 dx x x p q . 解（1） x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln ∫ − = 2 1 0 1 ln dx x x p ∫ − − 2 1 0 1 ln dx x x q ∫ − − − + 1 2 1 1 1 ln dx x x x p q 。 当 p > 0 ， q > 0 时积分 ∫ − 2 1 0 1 ln dx x x p 与积分 ∫ − 2 1 0 1 ln dx x x q 显然收敛，且当 x →1−时， = − − − x x x p q ln 1 1 [( ) ] [( ) ] ln( ) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 + − + − − − + − − − − x x x p q ～ p q x p q x = − − − − 1 ( )( 1) ， 即∫ − − 1 − 2 1 1 1 ln dx x x x p q 不是反常积分，所以积分 x x x dx p q − − − ∫ 1 1 0 1 ln 收敛。 （2） = − − ∫ +∞ 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ − − 1 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ − − + 2 1 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x ∫ +∞ − − + 2 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x 。 因为 3 2 ( 1) ( 2) 1 x x − x − ～ 3 3 1 1 2 1 x − ⋅ (x → 0+) ， 3 2 ( 1) ( 2) 1 x x − x − ～ 3 2 ( 1) 1 − − x (x →1−)， 所以积分∫ − − 1 0 3 2 ( 1) ( 2) 1 dx x x x 收敛； 287
