§5微积分实际应用举例 微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S的步骤:对区间[a,b作划分 a=x0<x1<x2<…<xn=b, 然后在小区间[x1,x中任取点5,并记Ax1=x,-x1,这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值AS≈f()Ax,。最后,将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加,再取极限,就得到 S=im∑/(5)Ax=[/(x)
微元法 我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤：对区间[, ] a b 作划分 ax x x x b = 012 < < <"< n = ， 然后在小区间 ],[ 1 ii xx − 中任取点ξ i ，并记Δ = − iii −1 xxx ，这样就得到了小 曲边梯形面积的近似值 i ii Δ ≈ ξ )( ΔxfS 。最后，将所有的小曲边梯形面积 的近似值相加，再取极限，就得到 ∑ = → = Δ n i ii xfS 1 0 ξ )(limλ ∫ = ba )( dxxf 。 §5 微积分实际应用举例
对于上述步骤,我们可以换一个角度来看:将分点x1和x分别 记为x和x+Ax,将区间区x,x+A]上的小曲边梯形的面积记为AS,并 取5=x,于是就有AS≈f(x)Ax。然后令Ax→0,这相当于对自变量作 微分,这样Ax变成,AS变成dS,于是上面的近似等式就变为微分 形式下的严格等式S=∫(x)dx。最后,把对小曲边梯形面积的近似值 进行相加,再取极限的过程视作对微分形式dS=f(x)x在区间a,b]上 求定积分,就得到 S=I f(x)dx
对于上述步骤，我们可以换一个角度来看：将分点 xi−1和 xi分别 记为 x 和 x + Δx ，将区间 + Δxxx ],[ 上的小曲边梯形的面积记为 Δ S ，并 取 x ξ i = ，于是就有 Δ ≈ )( ΔxxfS 。然后令 Δx → 0，这相当于对自变量作 微分，这样 Δx 变成dx ，Δ S 变成dS ，于是上面的近似等式就变为微分 形式下的严格等式dS f x dx = ( ) 。最后，把对小曲边梯形面积的近似值 进行相加，再取极限的过程视作对微分形式 = )( dxxfdS 在区间[, ] a b 上 求定积分，就得到 ∫ = b a )( dxxfS
根据上面的理解,在解决实际问题时,我们可以简捷地按照以下 的步骤 自变量 转为 直接 分割 x+△1->A≈f(x)Ax-做>S=f(x)bx->s=(x) 来直接求解。 了解了方法的实质以后,上述过程还可以进一步简化:即一开始 就将小区间形式地取为[x,x+](d称为x的微元),然后根据实际 题得出微分形式dS=f(x)hx(dS称为S的微元),再在区间[ab上求积 分。也就是 d→→4=/(x一→S=J(x 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§4中计算曲线的弧 长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导 出,下面我们举一些其它类型的例子
根据上面的理解，在解决实际问题时，我们可以简捷地按照以下 的步骤 ⎯⎯ → xxx ],[ ⎯Δ+⎯ ⎯→ )( Δ≈Δ⎯ xxfS 规律 科学 分割 自变量 ∫ ⎯⎯→ ⎯=⎯ ⎯→ =⎯ b a )( )( dxxfSdxxfdS 积分 直接 微分 转为 来直接求解。 了解了方法的实质以后，上述过程还可以进一步简化：即一开始 就将小区间形式地取为 + dxxx ],[ （dx称为 x 的微元），然后根据实际问 题得出微分形式 = )( dxxfdS （dS 称为 S 的微元），再在区间 ba ],[ 上求积 分。也就是 ∫ ⎯⎯→ ⎯= ⎯→ = b a )( )( dxxfSdxxfdSdx 。 这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非 常方便，在解决实际问题中应用得极为广泛，如§ 4 中计算曲线的弧 长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导 出，下面我们举一些其它类型的例子
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l的直线段上分布着 某种物理量(如质量、热量、电荷量等等),将其平放在x轴的正半 轴上,使它的一头与原点重合,若它在x处的密度(称为线密度)可 由某个连续的分布函数p(x)表示(x∈0,),由微元法,它在[x,x+上 的物理量dO为 d@=p(x ) dx 对等式两边在[01上积分,就得到由分布函数求总量的公式 0=p(x)dx
由静态分布求总量 我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为l 的直线段上分布着 某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在 x轴的正半 轴上，使它的一头与原点重合，若它在 x处的密度（称为线密度）可 由某个连续的分布函数ρ( ) x 表示( x l ∈[, ] 0 )，由微元法，它在 + dxxx ],[ 上 的物理量dQ 为 dQ x dx = ρ( ) ， 对等式两边在[, ] 0 l 上积分，就得到由分布函数求总量的公式 Q x dx l = ∫ ρ( ) 0
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kg/m), 求这根金属棒的质量M 解M=[(2x2+3x+6dx 图7.5.1 x3+x2+6x=234(kg)
例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kgm), 求这根金属棒的质量M 解M=[(2x2+3x+6dx 图7.5.1 x3+x2+6x=234(kg) 这个问题可以作以下的推广: (1)假定物理量分布在一个平面区域上,x的变化范围为区间[ab]。 如果过x(a≤x≤b)点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用∫(x)表示,或者说该平面区域在横坐标位于 x,x+dx中的部分上的物理量可以表示为f(x)d,那么由类似的讨论, 可以得到这个区域上的总物理量为 Q=f(x)d
这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x的变化范围为区间[, ] a b 。 如果过 x （ ≤ ≤ bxa ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 xf )( 表示，或者说该平面区域在横坐标位于 + dxxx ],[ 中的部分上的物理量可以表示为 )( dxxf ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 Q f x dx a b = ∫ ( ) 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 ∫ ++= 6 0 2 )632( dxxxM )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.2求圆心在水下10m,半径为1m的竖直放置的圆形铁 片(图7.5.2)所受到的水压力 解由物理定律,浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的 压强为 p=h·pg, 这里,ρ是液体的密度,g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿 铅垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系,于是铁片在深度为10+x处 (-1≤x≤1)受到的压强为(10+x)g,在圆铁 水面 片上截取与水面平行、以微元d为宽度的 x+10 条带域,则带域的面积为 dS=2√1-x2bkx, 所以带域上所受到的压力为 O dF=2gv1-x(10+xdx, 于是铁片所受到的水压力为 F=28y1-x2(04k=10g(N)。 图7.5.2
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的 压强为 = ⋅ ρghp ， 这里， ρ 是液体的密度， g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿 铅垂线方向向下为x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10 + x处 ( −1 1 ≤ x ≤ )受到的压强为( ) 10 + x g ，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 dS dxx 2 12 −= ， 所以带域上所受到的压力为 )10(12 dxxxgdF 2 +⋅−= ， 于是铁片所受到的水压力为 10)10(12 πgdxxxgF 1 1 2 =+⋅−= ∫− （N）
这个结论可以推广到立体区域去。事实上,§4的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面x=a和x=b之间的几何体的体积公 式:设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截,截面积为A(x), 则几何体的体积为 此式就可以看成是应用本方法的一个特例,其中物理量的密度函数 A(x)是截面的面积
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 x a = 和 x b = 之间的几何体的体积公 式：设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 A x( )， 则几何体的体积为 V A x dx a b = ∫ ( ) 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数 xA )( 是截面的面积
(2)假定物理量是分布在一条平面曲线 x=x(t y=yo ∈[T1,T2 上,分布函数(即物理量的密度)为f(1),在(x(1)y(1)处截取一段 长度为d的弧,那么在这段弧上的物理量O为 d@=f(t)d 利用弧长的微分公式, do=f(t)d =f(ovx(t)+y(r) 2 dt 关于t在[T,2]上积分,就得到 Q=(d=f(Nx()2+y()2dt。 这个结论可以推广到空间曲线的情况
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 x xt y yt t TT = = ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( ), ( ), [, ] 1 2 上，分布函数（即物理量的密度）为 f t( )，在( ( ), ( ) ) xt yt 处截取一段 长度为dl 的弧，那么在这段弧上的物理量dQ 为 = )( dltfdQ 。 利用弧长的微分公式， dQ f t dl = ( ) = f t x t y t dt () () () ′ + ′ 2 2 ， 关于 t 在[, ] T T 1 2 上积分，就得到 Q f t dl f t x t y t dt T T T T = = ∫ ∫ () () () () ′ + ′ 1 2 1 2 2 2 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况
例7.5.3设上半个金属环x2+y2=R2(y≥0)上任一点处的电 荷线密度等于该点到y轴的距离的平方,求环上的总电量。 解将金属环的方程写成参数形式 Rcos t Rsin t 于 dl=vx'(o)2+y(t?dt=Rdt 分布函数f(t)=[x()=R2cos2t,因此 do=f(odl= R cos2 t dt 所以环上的总电量为 0=RI R3兀 2
例 7.5.3 设上半个金属环 222 =+ Ryx （ y ≥ 0）上任一点处的电 荷线密度等于该点到 y 轴的距离的平方，求环上的总电量。 解 将金属环的方程写成参数形式 xR t yR t t = = ⎧⎨⎩ ∈ cos , sin , [, ] 0 π ， 于是 dl = x t y t dt R dt ′() () + ′ = 2 2 。 分布函数 f t xt R t ( ) [ ( )] cos = =2 22 ，因此 dQ f t dl = ( ) = R t dt 3 2 cos ， 所以环上的总电量为 Q R t dt R = = ∫ 3 2 0 3 2 cos π π