《现代控制理论基础》第五章(讲义) 在整个状态空间中,除x=0这一点外,没有其他平衡状态,即在x≠0时, f(x)≠0。因为f(0)=0,在x≠0时,f(x)≠0,且[(x)=f(x)f(x),所以(x 是正定的。 注意到 f(x)=F(x)x= F(x)f(x) 从而 V(x)=f(xf(x)+f(x)f(x) [F(xf(x)]"f(x)+f (x)F(xf(x) f(xF (x)+ F(xlf(x) f(x)F(x)f(x) 因为F(x)是负定的,所以(x)也是负定的。因此,V(x)是一个 Lyapunov 函数。所以原点是渐近稳定的。如果随着|→∞,x)=f"(x)f(x)→∞,则 根据定理5.1可知,平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意,克拉索夫斯基定理与通常的线性方法不同,它不局限于稍稍偏离平衡 状态。(x)和r(x)以f(x)或的形式而不是以x的形式表示。 前面所述的定理对于非线性系统给出了大范围渐近稳定性的充分条件,对线 性系统则给出了充要条件。非线性系统的平衡状态即使不满足上述定理所要求的 条件,也可能是稳定的。因此,在应用克拉索夫斯基定理时,必须十分小心,以 防止对给定的非线性系统平衡状态的稳定性分析做出错误的结论 [例5.4]考虑具有两个非线性因素的二阶系统 x,=x,+ax2 假设f1(0)=f2(0)=0,f(x)和f(x2)是实函数且可微。又假定当|→∞ 时,Lf(x1)+∫2(x2)2+(x1+ax2)2→>∞。试确定使平衡状态x=0渐近稳定的充 要条件 在该系统中,F(x)为 f(x1)f2(x2) 式中 f1(x1)=2,f2(x2) 于是F(x)为 =F《现代控制理论基础》第五章(讲义) 12 在整个状态空间中，除 x = 0 这一点外，没有其他平衡状态，即在 x  0 时， f (x)  0 。因为 f (0) = 0 ，在 x  0 时， f (x)  0 ，且 V(x) f (x) f (x) H = ，所以 V (x) 是正定的。 注意到 f (x) = F(x)x  = F(x) f (x)  从而 因为  F(x) 是负定的，所以  V(x) 也是负定的。因此， V (x) 是一个 Lyapunov 函数。所以原点是渐近稳定的。如果随着 x → ，V(x) = f (x) f (x) →  H ，则 根据定理 5.1 可知，平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意，克拉索夫斯基定理与通常的线性方法不同，它不局限于稍稍偏离平衡 状态。 V (x) 和  V(x) 以 f (x) 或 x  的形式而不是以 x 的形式表示。 前面所述的定理对于非线性系统给出了大范围渐近稳定性的充分条件，对线 性系统则给出了充要条件。非线性系统的平衡状态即使不满足上述定理所要求的 条件，也可能是稳定的。因此，在应用克拉索夫斯基定理时，必须十分小心，以 防止对给定的非线性系统平衡状态的稳定性分析做出错误的结论。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.4] 考虑具有两个非线性因素的二阶系统 假设 f 1 (0) = f 2 (0) = 0， ( ) 1 1 f x 和 ( ) 2 2 f x 是实函数且可微。又假定当 x →  时， + + + →  2 1 2 2 1 1 2 2 [ f (x ) f (x )] (x ax ) 。试确定使平衡状态 x = 0 渐近稳定的充 要条件。 在该系统中， F(x) 为 式中 于是  F(x) 为 ( ) ( ) ˆ ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x F x f x f x F x F x f x F x f x f x f x F x f x V x f x f x f x f x H H H H H H H = = + = + = +    2 1 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) x x ax x f x f x = + = +         = a f x f x F x 1 ( ) ( ) ( ) 2 ' 1 2 ' 1 2 2 2 ' 2 1 1 1 ' 1 ( ) , ( ) x f f x x f f x     = = ( ) ( ) ( ) ˆ F x F x F x H = +