《现代控制理论基础》第五章(讲义) 第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制 5.1概述 本章首先讨论 Lyapunovⅴ稳定性分析,然后介绍线性二次型最优控制问题。 我们将使用 Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础 应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而,对于非线性系统和线性 时变系统,这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难,甚至是不可能的。 Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 虽然在非线性系统的稳定性问题中, Lyapunov稳定性分析方法具有基础性 的地位,但在具体确定许多非线性系统的稳定性时,却并不是直截了当的。技巧 和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中,对于实际非线性系统的稳 定性分析仅限于几种简单的情况。 本章5.1节为概述。5.2节介绍 Lyapunov意义下的稳定性定义。5.3节给出 Lyapunov稳定性定理,并将其应用于非线性系统的稳定性分析。5.4节讨论线性 定常系统的 Lyapunov稳定性分析。5.5节给出模型参考控制系统,首先用公式 表示 Lyapunov稳定性条件,然后在这些条件的限制下设计系统。5.6节讨论线 性二次型最优控制系统,将采用Lyapυunoν稳定性方程导岀线性二次型最优控制 的条件。5.7节给出线性二次型最优控制问题的 MATLAB解法。 52 Lyapunov意义下的稳定性问题 对于一个给定的控制系统,稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定 常的,那么有许多稳定性判据,如 Routh- Hurwitz稳定性判据和 Nyquist稳定性 判据等可资利用。然而,如果系统是非线性的,或是线性时变的,则上述稳定性 判据就将不再适用 本节所要介绍的 Lyapunov第二法(也称 Lyapunov直接法)是确定非线性系 统和线性时变系统的最一般的方法。当然,这种方法也可适用于线性定常系统的 稳定性分析。此外,它还可应用于线性二次型最优控制问题
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 1 第五章 Lyapunov 稳定性分析和二次型最优控制 5.1 概述 本章首先讨论 Lyapunov 稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。 我们将使用 Lyapunov 稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。 应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性 时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。 Lyapunov 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性 的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧 和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳 定性分析仅限于几种简单的情况。 本章 5.1 节为概述。5.2 节介绍 Lyapunov 意义下的稳定性定义。5.3 节给出 Lyapunov 稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。5.4 节讨论线性 定常系统的 Lyapunov 稳定性分析。5.5 节给出模型参考控制系统，首先用公式 表示 Lyapunov 稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。5.6 节讨论线 性二次型最优控制系统，将采用 Lyapunov 稳定性方程导出线性二次型最优控制 的条件。5.7 节给出线性二次型最优控制问题的 MATLAB 解法。 5.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定 常的，那么有许多稳定性判据，如 Routh-Hurwitz 稳定性判据和 Nyquist 稳定性 判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性 判据就将不再适用。 本节所要介绍的 Lyapunov 第二法（也称 Lyapunov 直接法）是确定非线性系 统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的 稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 5.2.1平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统 x=f(x, 式中x为n维状态向量,f(x,1)是变量x,,…,和t的n维向量函数。假设在 给定的初始条件下,式(5.1)有唯一解Φ(x0,10)。当t=t时,x=x0。于是 d(o xo, to)=xo 在式(5.1)的系统中,总存在 f(x2,1)=0,对所有 则称x为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的,也就是说 f(x,1)=Ax,则当A为非奇异矩阵时,系统存在一个唯一的平衡状态;当A为奇 异矩阵时,系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统,可有一个或多个平 衡状态,这些状态对应于系统的常值解(对所有t,总存在x=x.)。平衡状态 的确定不包括式(5.1)的系统微分方程的解,只涉及式(5.2)的解。 任意一个孤立的平衡状态(即彼此孤立的平衡状态)或给定运动x=g()都 可通过坐标变换,统一化为扰动方程x=f(x,)之坐标原点,即f(0,1)=0或 x=0。在本章中,除非特别申明,我们将仅讨论扰动方程关于原点(x。=0)处 之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化, 而不会丧失一般性,从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础,这是 Lyapunov 的一个重要贡献。 5.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义 下面首先给出 Lyapunov意义下的稳定性定义,然后回顾某些必要的数学基 础,以便在下一小节具体给出 Lyapunov稳定性定理。 定义5.1( Lyapunov意义下的稳定)设系统 x=f(x,1),f(x2,1)=0 之平衡状态x=0的H邻域为 x.≤H 其中,H>0,‖·‖为向量的2范数或欧几里德范数,即 |x-x|=(x1-x12)2+(x2-x2)2+…+(xn-xm)2y2 类似地,也可以相应定义球域S(ε)和S(o)。 在H邻域内,若对于任意给定的0<E<H,均有 (1)如果对应于每一个S(ε),存在一个S(δ),使得当t趋于无穷时,始 于S(ω)的轨迹不脱离S(E),则式(5.1)系统之平衡状态x。=0称为在 Lyapunov 2
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 2 5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统 x = f (x,t) (5.1) 式中 x 为 n 维状态向量， f (x,t) 是变量 x1,x2,…,xn和 t 的 n 维向量函数。假设在 给定的初始条件下，式(5.1）有唯一解 ( ; , ) 0 0 t x t 。当 t =to时， 0 x = x 。于是 0 0 0 0 (t ; x ,t ) = x 在式(5.1）的系统中，总存在 f (xe ,t) 0 , 对所有 t (5.2) 则称 e x 为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说 f (x,t) = Ax ，则当 A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当 A 为奇 异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平 衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有 t，总存在 e x = x ）。平衡状态 的确定不包括式(5.1）的系统微分方程的解，只涉及式(5.2）的解。 任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动 x = g(t) 都 可通过坐标变换，统一化为扰动方程 , ) ~( ~ ~ x = f x t 之坐标原点，即 f (0,t) = 0 或 xe = 0 。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点( xe = 0 )处 之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化， 而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是 Lyapunov 的一个重要贡献。 5.2.2 Lyapunov 意义下的稳定性定义 下面首先给出 Lyapunov 意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基 础，以便在下一小节具体给出 Lyapunov 稳定性定理。 定义 5.1 (Lyapunov 意义下的稳定) 设系统 x = f (x,t) ， f (xe ,t) 0 之平衡状态 xe = 0 的 H 邻域为 x − xe H 其中， H 0， 为向量的 2 范数或欧几里德范数，即 2 2 1/ 2 2 2 2 1 1 [( ) ( ) ( ) ] e e e n ne x − x = x − x + x − x ++ x − x 类似地，也可以相应定义球域 S(）和 S(）。 在 H 邻域内，若对于任意给定的 0 H ，均有 (1) 如果对应于每一个 S(），存在一个 S(），使得当 t 趋于无穷时，始 于 S()的轨迹不脱离 S(），则式(5.1）系统之平衡状态 xe = 0 称为在 Lyapunov
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 意义下是稳定的。一般地,实数6与有关,通常也与t有关。如果δ与t无关, 则此时平衡状态x。=0称为一致稳定的平衡状态 以上定义意味着:首先选择一个域S(ε),对应于每一个S(ε),必存在 个域S(δ),使得当t趋于无穷时,始于S(δ)的轨迹总不脱离域S(ε) (2)如果平衡状态x=0,在 Lyapunov意义下是稳定的,并且始于域S(δ 的任一条轨迹,当时间t趋于无穷时,都不脱离S(ε),且收敛于x,=0,则称 式(5.1)系统之平衡状态x=0为渐近稳定的,其中球域S(δ)被称为平衡状态 x=0的吸引域 实际上,渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是 一个局部概念,所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有 必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态 空间。换句话说,发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。 (3)对所有的状态(状态空间中的所有点),如果由这些状态出发的轨迹都 保持渐近稳定性,则平衡状态x。=0称为大范围渐近稳定。或者说,如果式(5.1) 系统之平衡状态x=0渐近稳定的吸引域为整个状态空间,则称此时系统的平衡 状态x。=0为大范围渐近稳定的。显然,大范围渐近稳定的必要条件是在整个状 态空间中只有一个平衡状态 在控制工程问题中,总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态 不是大范围渐近稳定的,那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域, 这通常非常困难。然而,对所有的实际问题,如能确定一个足够大的渐近稳定的 吸引域,以致扰动不会超过它就可以了。 (4)如果对于某个实数0和任一个实数δ>0,不管这两个实数多么小,在 S(δ)内总存在一个状态x,使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(ε),那 么平衡状态x2=0称为不稳定的。 图5.1(a)、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和 不稳定性的典型轨迹。在图5.1(a)、(b)和(c)中,域S(δ)制约着初始状态x。, 而域S(ε)是起始于xo的轨迹的边界 注意,由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域,因而除 非S(E)对应于整个状态平面,否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域 此外,在图5.l(c)中,轨迹离开了S(ε),这说明平衡状态是不稳定的 然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处,这是因为轨迹还可能趋于在S(E)外的某 个极限环(如果线性定常系统是不稳定的,则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹 将趋于无穷远。但在非线性系统中,这一结论并不一定正确)
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 3 意义下是稳定的。一般地，实数与有关，通常也与 t0有关。如果 与 t0无关， 则此时平衡状态 xe = 0 称为一致稳定的平衡状态。 以上定义意味着：首先选择一个域 S(），对应于每一个 S(），必存在一 个域 S(），使得当 t 趋于无穷时，始于 S(）的轨迹总不脱离域 S(）。 (2) 如果平衡状态 xe = 0 ，在 Lyapunov 意义下是稳定的，并且始于域 S(） 的任一条轨迹，当时间 t 趋于无穷时，都不脱离 S(），且收敛于 xe = 0 ，则称 式(5.1）系统之平衡状态 xe = 0 为渐近稳定的，其中球域 S(）被称为平衡状态 xe = 0 的吸引域。 实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是 一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有 必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态 空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。 (3) 对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都 保持渐近稳定性，则平衡状态 xe = 0 称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(5.1） 系统之平衡状态 xe = 0 渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡 状态 xe = 0 为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状 态空间中只有一个平衡状态。 在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态 不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域， 这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的 吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。 (4) 如果对于某个实数>0 和任一个实数 >0，不管这两个实数多么小，在 S（）内总存在一个状态 0 x ，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开 S(），那 么平衡状态 xe = 0 称为不稳定的。 图 5.1（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和 不稳定性的典型轨迹。在图 5.1(a)、(b)和(c)中，域 S（）制约着初始状态 0 x ， 而域 S(）是起始于 0 x 的轨迹的边界。 注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除 非 S(）对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。 此外，在图 5.1（c）中，轨迹离开了 S(），这说明平衡状态是不稳定的。 然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在 S(）外的某 个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹 将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）
《现代控制理论基础》第五章(讲义) S(e S() 图5.1(a)稳定平衡状态及一条典型轨迹 (b)渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 (c)不稳定平衡状态及一条典型轨迹 上述各定义的内容,对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析 是最低限度的要求。注意,这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。 实际上,在其他文献中还有另外的定义。 对于线性系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统,一般 只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定 最后指出,在经典控制理论中,我们已经学过稳定性概念,它与 Lyapunov 意义下的稳定性概念是有一定的区别的,例如,在经典控制理论中只有渐近稳定 的系统才称为稳定的系统。在 Lyapunov意义下是稳定的,但却不是渐近稳定的 系统,则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。 经典控制理论(线性系统)不稳定(Re(s)>0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)0,且在x=0处有v(0)=0 则在域Ω(域Ω包含状态空间的原点)内的纯量函数(x)称为正定函数 如果时变函数(x,1)由一个定常的正定函数作为下限,即存在一个正定函数 V(x),使得 丿(x,1)>(x),对所有t≥10 (0,t)=0 对所有t≥t0 则称时变函数(x,1)在域Ω(9包含状态空间原点)内是正定的
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 4 图 5.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹 上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析， 是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。 实际上，在其他文献中还有另外的定义。 对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般 只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。 最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与 Lyapunov 意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定 的系统才称为稳定的系统。在 Lyapunov 意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的 系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。 经典控制理论(线性系统） 不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0) Lyapunov 意义下 不稳定 稳定 渐近稳定 5.2.3 预备知识 1、纯量函数的正定性 如果对所有在域中的非零状态 x 0 ，有 V (x) 0 ，且在 x = 0 处有 V (0) =0， 则在域（域包含状态空间的原点）内的纯量函数 V (x) 称为正定函数。 如果时变函数 V(x,t) 由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数 V (x) ，使得 V(x,t) V(x) , 对所有 0 t t V (0,t) = 0 , 对所有 0 t t 则称时变函数 V(x,t) 在域（包含状态空间原点）内是正定的
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 2、纯量函数的负定性 如果-(x)是正定函数,则纯量函数r(x)称为负定函数。 3、纯量函数的正半定形 如果纯量函数(x)除了原点以及某些状态等于零外,在域Ω内的所有状态都 是正定的,则(x)称为正半定纯量函数。 4、纯量函数的负半定性 如果-(x)是正半定函数,则纯量函数(x)称为负半定函数。 5、纯量函数的不定性 如果在域Ω内,不论域Ω多么小,V(x)既可为正值,也可为负值时,纯量函 数(x)称为不定的纯量函数。 [例5.1]本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设x为二维向量 1、(x)=x2+2x2 正定的 2、(x)=(x1+x2)2 正半定的 3、(x)=-x2-(3x1+2x2)2负定的 4、 不定的 J(x)=x2+ 正定的 6、二次型 建立在 Lyapunov第二法基础上的稳定性分析中,有一类纯量函数起着很重 要的作用,即二次型函数。例如, V (x)=xPx=[, x2 P21P2 p2n ll x2 Pin p Panax, 注意,这里的x为实向量,P为实对称矩称 7、复二次型或 Hermite型 如果x是n维复向量,P为 Hermite矩阵,则该复二次型函数称为 Hermite 型函数。例如 P11P12 D (x)=x Px=[x, x P2n‖1x Pin p
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 5 2、纯量函数的负定性 如果 -V (x) 是正定函数，则纯量函数 V (x) 称为负定函数。 3、纯量函数的正半定形 如果纯量函数 V (x) 除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有状态都 是正定的，则 V (x) 称为正半定纯量函数。 4、纯量函数的负半定性 如果 -V (x) 是正半定函数，则纯量函数 V (x) 称为负半定函数。 5、纯量函数的不定性 如果在域内，不论域多么小， V (x) 既可为正值，也可为负值时，纯量函 数 V (x) 称为不定的纯量函数。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.1] 本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设 x 为二维向量。 1、 2 2 2 V(x) = x1 + 2x 正定的 2、 2 1 2 V(x) = (x + x ) 正半定的 3、 2 1 2 2 1 V(x) = −x − (3x + 2x ) 负定的 4、 2 1 2 2 V（x) = x x + x 不定的 5、 正定的 ------------------------------------------------------------------ 6、二次型 建立在 Lyapunov 第二法基础上的稳定性分析中，有一类纯量函数起着很重 要的作用，即二次型函数。例如， 注意，这里的 x 为实向量，P 为实对称矩称。 7、复二次型或 Hermite 型 如果 x 是 n 维复向量，P 为 Hermite 矩阵，则该复二次型函数称为 Hermite 型函数。例如 2 2 2 2 2 1 1 2 x x V x x + （ ）= + = = n n n n n n n n T x x x p p p p p p p p p V x x Px x x x 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 （ ） [ ] = = n n n n n n n n H x x x p p p p p p p p p V x x Px x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 （ ） [ ]
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 在状态空间的稳定性分析中,经常使用 Hermite型,而不使用二次型,这是 因为 Hermite型比二次型更具一般性(对于实向量x和实对称矩阵P, Hermite 型x"Px等于二次型xPx) 二次型或者 Hermite型(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指 出,二次型或 Hermite型v(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均 为正值,即 P1P12 n1>0,/ P2I p pI P 注意,p是P2的复共轭。对于一次型,p=P 如果P是奇异矩阵,且它的所有主子行列式均非负,则V(x)=xPx是正半 定的 如果-V(x)是正定的,则v(x)是负定的。同样,如果-(x)是正半定的, 则v(x)是负半定的。 [例5.2]试证明下列二次型是正定的。 (x)=10x1+4x2+x3+2x1x2-2x2x3-4x1x 二次型V(x)可写为 10 V(x)=x Px=x, x, xI x3 利用赛尔维斯特准则,可得 101-2 101 10>0, 因为矩阵P的所有主子行列式均为正值,所以(x)是正定的 53 Lyapunov稳定性理论 1892年,A.M. Lyapunovνv提出了两种方法(称为第一法和第二法),用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 6 在状态空间的稳定性分析中，经常使用 Hermite 型，而不使用二次型，这是 因为 Hermite 型比二次型更具一般性（对于实向量 x 和实对称矩阵 P，Hermite 型 x Px H 等于二次型 x Px T ）。 二次型或者 Hermite 型 V (x) 的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指 出，二次型或 Hermite 型 V (x) 为正定的充要条件是矩阵 P 的所有主子行列式均 为正值，即 注意， ij p 是 ij p 的复共轭。对于二次型， pij = pij 。 如果 P 是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则 V x x Px H ( ) = 是正半 定的。 如果 -V (x) 是正定的，则 V (x) 是负定的。同样，如果 -V (x) 是正半定的， 则 V (x) 是负半定的。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.2] 试证明下列二次型是正定的。 V(x) = 10x + 4x + x + 2x x − 2x x − 4x x 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 二次型 V (x) 可写为 利用赛尔维斯特准则，可得 因为矩阵 P 的所有主子行列式均为正值，所以 V (x) 是正定的。 ------------------------------------------------------------------ 5.3 Lyapunov 稳定性理论 1892 年，A.M.Lyapunov 提出了两种方法（称为第一法和第二法），用于确 定由常微分方程描述的动力学系统的稳定性。 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步骤。 0, 0, , 0 1 2 21 22 2 11 12 1 12 22 11 12 11 n n n n n n p p p p p p p p p p p p p p − − − − = = 3 2 1 1 2 3 2 1 1 1 4 1 10 1 2 ( ) [ ] x x x V x x Px x x x T 0 2 1 1 1 4 1 10 1 2 0, 1 4 10 1 10 0, − − − −
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 第二法不需求出微分方程的解,也就是说,采用 Lyapunov第二法,可以在 不求出状态方程解的条件下,确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时 变系统的状态方程通常十分困难,所以这种方法显示出极大的优越性 尽管采用 Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性时,需要相当的经验和 技巧,然而当其他方法无效时,这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 53.1 Lyapunov第一法 基本思路是:首先将非线性系统线性化,然后计算线性化方程的特征值,最 后则是判定原非线性系统的稳定性。 5.3.2 Lyapunov第二法 由力学经典理论可知,对于一个振动系统,当系统总能量(正定函数)连续 减小(这意味着总能量对时间的导数必然是负定的),直到平衡状态时为止,则 振则系统是稳定的。 Lyapunov第二法是建立在更为普遍的情况之上的,即:如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态,则当其运动到平衡状态的吸引域内时,系统存储的能量随着 时间的增长而衰减,直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统, 毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难, Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数,称为 Lyapunov函数。当然,这个函数无疑比能量 更为一般,并且其应用也更广泛。实际上,任一纯量函数只要满足 Lyapunov稳 定性定理(见定理5.1和5.2)的假设条件,都可作为 Lyapunov函数(可能十 分困难)。 Lyapunov函数与x1,x2,…,x和t有关,我们用(x1,x2…,xn,1)或者(x,1)来 表示 Lyapunov函数。如果在 Lyapunov函数中不含t,则用(x1,x2,…,xn)或V(x) 表示。在 Lyapunov第二法中,(x,1)和其对时间的导数r(x,)=d(x,1)/o的符 号特征,提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则,而不 必直接求出方程的解(这种方法既适用于线性系统,也适用于非线性系统) 1、关于渐近稳定性 可以证明:如果x为n维向量,且其纯量函数(x)正定,则满足 V(x)=C 的状态x处于n维状态空间的封闭超曲面上,且至少处于原点附近,式中C是正 常数。随着|→∞,上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果C1<C2,则超 曲面(x)=C1完全处于超曲面(x)=C2的内部
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 7 第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用 Lyapunov 第二法，可以在 不求出状态方程解的条件下，确定系统的稳定性。由于求解非线性系统和线性时 变系统的状态方程通常十分困难，所以这种方法显示出极大的优越性。 尽管采用 Lyapunov 第二法分析非线性系统的稳定性时，需要相当的经验和 技巧，然而当其他方法无效时，这种方法却能解决非线性系统的稳定性问题。 5.3.1 Lyapunov 第一法 基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最 后则是判定原非线性系统的稳定性。 5.3.2 Lyapunov 第二法 由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量（正定函数）连续 减小（这意味着总能量对时间的导数必然是负定的），直到平衡状态时为止，则 振则系统是稳定的。 Lyapunov 第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统有一个渐 近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着 时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系统， 毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov 引出了一个虚构的能量函数，称为 Lyapunov 函数。当然，这个函数无疑比能量 更为一般，并且其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足 Lyapunov 稳 定性定理（见定理 5.1 和 5.2）的假设条件，都可作为 Lyapunov 函数（可能十 分困难）。 Lyapunov 函数与 n x , x , , x 1 2 和 t 有关，我们用 ( , , , , ) 1 2 V x x x t n 或者 V(x,t) 来 表示 Lyapunov 函数。如果在 Lyapunov 函数中不含 t,则用 ( , , , ) 1 2 n V x x x 或 V (x) 表示。在 Lyapunov 第二法中， V(x,t) 和其对时间的导数 V(x,t) = dV(x,t)/ dt 的符 号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不 必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。 1、关于渐近稳定性 可以证明：如果 x 为 n 维向量，且其纯量函数 V (x) 正定，则满足 V (x) = C 的状态 x 处于 n 维状态空间的封闭超曲面上，且至少处于原点附近，式中 C 是正 常数。随着 x → ，上述封闭曲面可扩展为整个状态空间。如果 C1 C2 ，则超 曲面 1 V(x) = C 完全处于超曲面 2 V(x) = C 的内部
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 对于给定的系统,若可求得正定的纯量函数V(x),并使其沿轨迹对时间的 导数总为负值,则随着时间的增加,V(x)将取越来越小的C值。随着时间的进 步增长,最终(x)变为零,而x也趋于零。这意味着,状态空间的原点是渐 近稳定的。 Lyapunov主稳定性定理就是前述事实的普遍化,它给出了渐近稳定 的充要条件。该定理阐述如下 定理5.1( Lyapunov,皮尔希德斯基,巴巴辛,克拉索夫斯基)考虑如下非线性 系统 x(t)=f(x(1),t) 式中 f(0,1)=0,对所有t≥0 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数(x,1),且满足以下条件: 1、V(x,1)正定; 2、I(x,1)负定 则在原点处的平衡状态是(一致)渐近稳定的。 进一步地,若→∞,(x.)→∞,则在原点处的平衡状态是大范围一致 渐近稳定的。 [例5.3]考虑如下非线性系统 x1=x2-x(x+x2) x2=-x1-x2(x1+x2) 显然原点(x1=0,x2=0)是唯一的平衡状态。试确定其稳定性 如果定义一个正定纯量函数(x) (x)=2x元+2x2x2-2(x2+x2)2 是负定的,这说明T(x)沿任一轨迹连续地减小,因此(x)是一个 Lyapunov函数。 由于(x)随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷,则按照定理5.1,该系统在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意,若使V(x)取一系列的常值0,C1,C2,…(0<C1<C2<…),则(x)=0 对应于状态平面的原点,而(x)=C1,(x)=C2,…,描述了包围状态平面原 点的互不相交的一簇圆,如图5.2所示。还应注意,由于V(x)在径向是无界的, 即随着|→∞,V(x)→∞,所以这一簇圆可扩展到整个状态平面 由于圆(x)=Ck完全处在V(x)=Ck的内部,所以典型轨迹从外向里通过V 圆的边界。因此 Lyapunov函数的几何意义可阐述如下(x)表示状态x到状态空 间原点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 8 对于给定的系统，若可求得正定的纯量函数 V (x) ，并使其沿轨迹对时间的 导数总为负值，则随着时间的增加， V (x) 将取越来越小的 C 值。随着时间的进 一步增长，最终 V (x) 变为零，而 x 也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐 近稳定的。Lyapunov 主稳定性定理就是前述事实的普遍化，它给出了渐近稳定 的充要条件。该定理阐述如下： 定理 5.1 (Lyapunov, 皮尔希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考虑如下非线性 系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t) 0 , 对所有 0 t t 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 正定； 2、V(x,t) 负定 则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。 进一步地，若 x → ，V(x,t) → ，则在原点处的平衡状态是大范围一致 渐近稳定的。 ------------------------------------------------------------------ [例 5.3] 考虑如下非线性系统 显然原点（ x1 = 0， x2 = 0 ）是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。 如果定义一个正定纯量函数 V (x) 是负定的，这说明 V (x) 沿任一轨迹连续地减小，因此 V (x) 是一个 Lyapunov 函数。 由于 V (x) 随 x 偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照定理 5.1，该系统在原 点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 注意，若使 V (x) 取一系列的常值 0, C1 , C2 , （ 0 C1 C2 ），则 V (x) =0 对应于状态平面的原点，而 1 V(x) = C ， 2 V(x) = C ，…，描述了包围状态平面原 点的互不相交的一簇圆，如图 5.2 所示。还应注意，由于 V (x) 在径向是无界的， 即随着 x → ，V (x) → ，所以这一簇圆可扩展到整个状态平面。 由于圆 Ck V(x) = 完全处在 1 ( ) = Ck+ V x 的内部，所以典型轨迹从外向里通过 V 圆的边界。因此 Lyapunov 函数的几何意义可阐述如下 V (x) 表示状态 x 到状态空 间原点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态 x(t)之间的距离随 t 的增加而连 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 x x x x x x x x x x = − − + = − + 2 2 2 2 1 1 2 2 1 V(x) = 2x x + 2x x − 2(x + x )
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 续地减小(即(x()0。 图5.2常数V圆和典型轨迹 V增大 定理5.1是 Lyapunov第二法的基本定理,下面对这一重要定理作几点说明。 (1)这里仅给出了充分条件,也就是说,如果我们构造出了 Lyapunov函数 I(x,1),那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的 Lyapunov函数,我 们并不能给出任何结论,例如我们不能据此说该系统是不稳定的。 (2)对于渐近稳定的平衡状态,则 Lyapunov函数必存在。 (3)对于非线性系统,通过构造某个具体的 Lyapunov函数,可以证明系统 在某个稳定域内是渐近稳定的,但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的 对于线性系统,如果存在渐近稳定的平衡状态,则它必定是大范围渐近稳定的 (4)我们这里给出的稳定性定理,既适合于线性系统、非线性系统,也适合 于定常系统、时变系统,具有极其一般的普遍意义。 显然,定理5.1仍有一些限制条件,比如(x,1)必须是负定函数。如果在 r(x,1)上附加一个限制条件,即除了原点以外,沿任一轨迹(x,D)均不恒等于零, 则要求T(x,1)负定的条件可用v(x,)取负半定的条件来代替。 定理5.2(克拉索夫斯基,巴巴辛)考虑如下非线性系统 x(1)=f(x(1),1) 式中 f(0,1)≡0,对所有t≥to 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数(x,1),且满足以下条件: 1、V(x,1)是正定的 2、(x,1)是负半定的 3、VΦ(t;x0,l0),l对于任意和任意x≠0,在1≥t0时,不恒等于零,其中 的Φ(Gx0,l0)表示在t时从x出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 9 续地减小（即 V(x(t)) 0 ），则 x(t) → 0 。 图 5.2 常数 V 圆和典型轨迹 ------------------------------------------------------------------ 定理 5.1 是 Lyapunov 第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了 Lyapunov 函数 V(x,t) ，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的 Lyapunov 函数，我 们并不能给出任何结论，例如我们不能据此说该系统是不稳定的。 (2) 对于渐近稳定的平衡状态，则 Lyapunov 函数必存在。 (3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的 Lyapunov 函数，可以证明系统 在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。 (4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合 于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。 显然，定理 5.1 仍有一些限制条件，比如 V(x,t) 必须是负定函数。如果在 V(x,t) 上附加一个限制条件，即除了原点以外，沿任一轨迹 V(x,t) 均不恒等于零， 则要求 V(x,t) 负定的条件可用 V(x,t) 取负半定的条件来代替。 定理 5.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考虑如下非线性系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t) 0 , 对所有 0 t t 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 是正定的； 2、V(x,t) 是负半定的； 3、 [ ( ; , ), ] 0 0 V t x t t 对于任意 0 t 和任意 x0 0 ，在 0 t t 时，不恒等于零，其中 的 ( ; , ) 0 0 t x t 表示在 0 t 时从 0 x 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是大 范围渐近稳定的
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 注意,若(x,1)不是负定的,而只是负半定的,则典型点的轨迹可能与某个 特定曲面r(x,1)=C相切,然而由于(t,x0,1)1]对任意t和任意x0≠0,在 t≥时不恒等于零,所以典型点就不可能保持在切点处(在这点上,(x,1)=0), 因而必然要运动到原点 2、关于稳定性 然而,如果存在一个正定的纯量函数I(x,),使得ψ(x,)始终为零,则系统 可以保持在一个极限环上。在这种情况下,原点处的平衡状态称为在 Lyapunov 意义下是稳定的。 定理5.3( Lyapunov)考虑如下非线性系统 (1)=f(x(1),1) 式中 f(0,1)=0,对所有t≥0 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数(x,),且满足以下条件 1、V(x,1)是正定的 2、(x,1)是负半定的 3、V(;x0,t0,对于任意t和任意x≠0,在t≥0时,均恒等于零,其中 的Φ(t;x0,0)表示在t0时从x0出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是 Lyapunov意义下的大范围渐近稳定的 关于不稳定性 如果系统平衡状态x=0是不稳定的,则存在纯量函数W(x,1),可用其确定 平衡状态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理 定理5.4( Lyapunov)考虑如下非线性系统 x(1)=f(x(1), 式中 f(0,1)≡0,对所有t≥to 若存在一个纯量函数W(x,1),具有连续的一阶偏导数,且满足下列条件 1、W(x,1)在原点附近的某一邻域内是正定的; 2、W(x,1)在同样的邻域内是正定的。 则原点处的平衡状态是不稳定的 5.3.3线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较 在线性定常系统中,若平衡状态是局部渐近稳定的,则它是大范围渐近稳定 的,然而在非线性系统中,不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定
《现代控制理论基础》第五章(讲义) 10 注意，若 V(x,t) 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个 特定曲面 V(x,t) =C 相切，然而由于 [ ( ; , ), ] 0 0 V t x t t 对任意 0 t 和任意 x0 0 ，在 0 t t 时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处（在这点上， V(x,t) =0）， 因而必然要运动到原点。 2、关于稳定性 然而，如果存在一个正定的纯量函数 V(x,t) ，使得 V(x,t) 始终为零，则系统 可以保持在一个极限环上。在这种情况下，原点处的平衡状态称为在 Lyapunov 意义下是稳定的。 定理 5.3 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t) 0 , 对所有 0 t t 若存在具有连续一阶偏导数的纯量函数 V(x,t) ，且满足以下条件： 1、V(x,t) 是正定的； 2、V(x,t) 是负半定的； 3、 [ ( ; , ), ] 0 0 V t x t t 对于任意 0 t 和任意 x0 0 ，在 0 t t 时，均恒等于零，其中 的 ( ; , ) 0 0 t x t 表示在 0 t 时从 0 x 出发的轨迹或解。则在系统原点处的平衡状态是 Lyapunov 意义下的大范围渐近稳定的。 3、关于不稳定性 如果系统平衡状态 x =0 是不稳定的，则存在纯量函数 W (x,t) ，可用其确定 平衡状态的不稳定性。下面介绍不稳定性定理。 定理 5.4 (Lyapunov) 考虑如下非线性系统 x (t) = f (x(t),t) 式中 f (0,t) 0 , 对所有 0 t t 若存在一个纯量函数 W (x,t) ，具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 1、W (x,t) 在原点附近的某一邻域内是正定的； 2、 W(x,t) 在同样的邻域内是正定的。 则原点处的平衡状态是不稳定的。 5.3.3 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较 在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定 的，然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定