《电路》第四章 电路定理

第4章电路定理( Circuit Theorems) 4.1叠加定理( Superposition Theorem) 4.2替代定理( Substitution Theorem 4.3戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin -Norton Theorem 4.4特勒根定理( Tellegen3 Theorem) 4.5互易定理( Reciprocity Theoren 4.6对偶原理( Dual principle)

第4章 电路定理 (Circuit Theorems) 4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 4. 2 替代定理 (Substitution Theorem) 4.3 戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 4. 4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem) 4. 5 互易定理 (Reciprocity Theorem) 4. 6 对偶原理 (Dual Principle)

4.1叠加定理( Superposition Theorem) 如图电路,计算各支路电流。 用回路法: (r+R2)a-r,lb=usI-us R 2 R2i+(R2+R3) -&- uO RulatRulb=usul R21LatR22lb=us22 R1=R1+R,R12=-R2,W1=W1L 其中 R21=-R2,R22R2+R3,L $22 S2 S 用行列式法解:

4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 如图电路，计算各支路电流。 用回路法： (R1+R2 )ia-R2 ib =us1-us2 -R2 ia+(R2+R3 )ib =us2- us3 R11ia+R12ib =us11 R21ia+R22ib =us22 其中 R11=R1+R2 , R12= -R2 , us11=us1-us2 R21= -R2 , R22=R2+R3 , us22=us2-us3 用行列式法解： R1 us1 R2 us2 R3 us3 i1 i2 i3 + – + – + – ia ib

u sll 12 22 RRRR 22 R 22 R U △ s22 12 R R 2 R 22 R s2 22 R1,+R R u U △ R u R 21 s22 21 L1+ R1+R21 l2+-1 3 △ RR 其中△= 12=R 111122 R RR 1221 21 则各支路电流为:

s 3 1 2 s 2 1 1 2 2 s1 2 2 s22 1 1 s1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 s2 2 2 2 s1 1 1 2 a u R u R R u R u R u R R R R R u R u R i Δ Δ Δ Δ Δ + + = − − = = + s 3 1 1 s 2 1 1 2 1 s1 2 1 s2 2 2 1 1 1 s1 1 b u R u R R u R u R R u i Δ Δ Δ Δ − + + + − = = 则各支路电流为： 其中 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 R R R R R R R R Δ = = − R1 us1 R2 us2 R3 us3 i1 i2 i3 + – + – + – ia ib

22 R1,+R 22 l3=1+l1+L1 △ △ △ R21+R2R1+R12+R1+R2,R1+R1 ua 12 △ △ 3 十L十 R 21 LL1+ R1+K21 2, 1 L2+ △ △ △ 3 各支路电流均为各电压源的一次函数,所以 各支路电流(如1)均可看成各电压源单独作用时,产生 的电流(如,i1,i1")之叠加

' '' ''' u i i i R u R R u R i i s 3 1 1 1 1 2 s 2 1 2 2 2 s 1 2 2 1 a + = + + + = = − Δ Δ Δ ' '' ''' i i i u R R u R R R R u R R i i i 2 2 2 s 3 1 1 1 2 s 2 1 1 1 2 2 2 s 1 2 1 2 2 2 a b 1 = + + + + + + + − + = − = Δ Δ Δ ' '' ''' u i i i R u R R u R i i s 3 3 3 3 11 s 2 11 21 s 1 21 3 b = + + − + + + − = = Δ Δ Δ 各支路电流（如i1）均可看成各电压源单独作用时，产生 的电流（如i1 ' ，i1 " ，i1 "'）之叠加。 由上式可见, 各支路电流均为各电压源的一次函数，所以

当一个电源单独作用时,其余电源不作用,就意味着取零值。 即对电压源看作短路,而对电流源看作开路。即如下图: R R R R R u S2 三个电源共同作用 单独作用 十 l2 l2 R R 2 R R3 ①2 u 2单独作用 u单独作月

当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。 即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。即如下图： 三个电源共同作用 = = us1单独作用 + us2单独作用 + + us3单独作用 + R1 us1 R2 us2 R3 us3 i1 i2 i3 + – + – + – ia ib R1 us1 R2 R3 i1 ' i2 ' i3 ' + – R1 R2 us2 R3 i1 '' i2 '' i3 '' + – R1 R2 R3 us3 i1 ''' i2 ''' i3 ''' + –

因此 12 =+, i3= 上述以一个具体例子来说明叠加的概念,这个方法也 可推广到多个电源的电路中去。 对于有b条支路、个独立回路的仅由线性电阻和电压 源构成的电路,由回路电流方程,可得回路电流的解答式 为>s △ 十 2K +… △ △ 4ask+…+ak △ (k=1,2,…,D

因此 i1=i1 '+i1 "+i1 "' i3=i3 '+i3 "+i3 "' i2=i2 '+i2 "+i2 "' 上述以一个具体例子来说明叠加的概念，这个方法也 可推广到多个电源的电路中去。 对于有b条支路、l个独立回路的仅由线性电阻和电压 源构成的电路，由回路电流方程，可得回路电流的解答式 为： ( 1, 2, , ) Sl 2 Sl Sl 2 Sl1 1 l k l i u u u u l l k k k k k k k    = = + + + + + Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ

由此可知任一支路电流的可表示为 ig]usI+ gau$2+ooo+giklsk+oo+gibus =1, 2, oo, b) 同样可以证明:线性电阻电路中任意两点间的电 压等于各电源在此两点间产生的电压的代数和 电源既可是电压源也可是电流源。 叠加定理 在线性电路中,任一支路电流(或电压)都是电路中各个 独立电源单独作用时,在该支路产生的电流(或电压)的代数 和

由此可知任一支路电流 i j 的可表示为： i j=gj1uS1+ gj2uS2+ ••• + gjkuSk+ ••• + gjbuSb (j=1, 2, ••• , b) 同样可以证明：线性电阻电路中任意两点间的电 压等于各电源在此两点间产生的电压的代数和。 电源既可是电压源,也可是电流源。 叠加定理: 在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个 独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数 和

6 例求图中电压10O4○4 解:(1)10v电压源单独作用,4A电流源开路 '=4v (2)4A电流源单独作用,10v电压源短路 "=-4x2,4=-9.6V 共同作用:u=+"=4(-96)=-56V 69 69 10v u 49 u 4A

例1. 求图中电压u。 + – 10V 4A 6 + – 4 u 解: (1) 10V电压源单独作用，4A电流源开路 4A 6 + – 4 u'' u'=4V (2) 4A电流源单独作用，10V电压源短路 u " = -42.4= -9.6V 共同作用：u=u '+u "= 4+(- 9.6)= - 5.6V + – 10V 6 + – 4 u

例2.求电压U 69 10v 4A 解(1)10v电压源单独作用:(2)4A电流源单独作用: 6Q 101 6Q +101 10V Us 4A U=-101+4=-10×1+4=-6VU”=-1071”+24x4 10×(-16+9.6=256V 共同作用:U=U+U"=-6+25.6-19.6V

例2. 求电压Us。 解: (1) 10V电压源单独作用： (2) 4A电流源单独作用： Us ' = -10 I1 '+4= -101+4= -6V Us " = -10I1 "+2.44 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us ' +Us " = -6+25.6=19.6V + – 10V 6 I1 4A + – Us + – 10 I1 4 + – 10V 6 I1 ' + – Us ' + – 10 I1 ' 4 6 I1 '' 4A + – Us '' + – 10 I1 '' 4

homogeneity property. 线性电路中,所有激励(独立源)都增大(或减小)同样 的倍数,则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样 的倍数。 当激励只有一个时,则响应与激励成正比。 例3 R 21A,8A R, 3A i i=lA R1=2_R1=1g R2=192、=5V+21V +8V-+3V 以3B5AB自2y 求电流 采用倒推法:设1A,推出此时a=34V。 则 即i=i=×1=1.5V 34 可加性( additivity propert

齐性原理（homogeneity property): 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样 的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样 的倍数。 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 例3. 解: 采用倒推法：设i'=1A，推出此时us '=34V。 则 可加性(additivity property)。 求电流i 。 RL=2 R1=1  R2=1  us=51V R1 R1 R1 R2 R2 RL + – us i + – 13A 5A 2A 2V 21A 8A 3A + – + 21V– + 8V – 3V + – us '=34V R2 i'=1A 1 1 5V 34 51 s s s s i' . u u i u u i' i ' ' = 即 = =  =