第12章非正弦周期电流电路和信号的频谱 412.1非正弦周期信号 122周期函数分解为傅里叶级数 123有效值、平均值和平均功率 124非正弦周期电路的计算 +小结
第12章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 12.1 非正弦周期信号 12.2 周期函数分解为傅里叶级数 12.3 有效值、平均值和平均功率 12.4 非正弦周期电路的计算 小 结
121非正弦周期信号 121.1非正弦周期信号 几种常见的非正弦波 ∠11 图12.1几种常见的非正弦波 (a)尖脉冲电流;(b)矩形波电压;(c)锯齿波电压
12.1 非正弦周期信号 12.1.1 非正弦周期信号 几种常见的非正弦波 图12.1 （a） 尖脉冲电流； （b） 矩形波电压; （c） 锯齿波电压 i 0 T t (a) u 0 T t (b) u 0 T t (c)
1212非正弦周期信号的分解 在介绍非正弦周期信号的分解之前,我们先讨论几个不同频 率的正弦波的合成。设有一个正弦电压u1=U1 sint,其波形如图 122(a)所示。显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。如果 在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是u1的3倍,而 振幅为u1的1/3,则表示式为 u=Um Sin at+Um sin 3at 其波形如图122(b)所示。如果再加上第三个正弦电压波形,其 频率为u1的5倍振幅为v1的1/5,其表示式为 u3=UIm sin at+Um sin 3ot +=UIm sin 5at 其波形如图122(c)所示。照这样继续下去,如果叠加的正弦项 是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图122(d)的矩形波 样
12.1.2 非正弦周期信号的分解 在介绍非正弦周期信号的分解之前, 我们先讨论几个不同频 率的正弦波的合成。 设有一个正弦电压u1=U1msinωt, 其波形如图 12.2（a）所示。 显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。 如果 在这个波形上面加上第二个正弦电压波形, 其频率是u1的3倍, 而 振幅为u1的1/3, 则表示式为 u U t U t m m sin 3 3 1 2 = 1 sin + 1 其波形如图12.2（b）所示。 如果再加上第三个正弦电压波形, 其 频率为u1的5倍,振幅为u1的1/5,其表示式为 u U t U t U t m m m sin 5 5 1 sin 3 3 1 3 = 1 sin + 1 + 1 其波形如图12.2（c）所示。 照这样继续下去, 如果叠加的正弦项 是无穷多个, 那么它们的合成波形就会与图12.2（d）的矩形波一 样
(a) (d) 图122矩形波的合成 由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的 周期波。反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的 正弦波之和
(a) t u1 0 (b) t u2 0 (c) t u3 0 (d) t u 0 图12.2 矩形波的合成 由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的 周期波。 反之, 一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的 正弦波之和
由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利 条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即傅里叶级数。电工技术 中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。设给定的周期函数 f(t)的周期为T,角频率ω=2mT,则f(t)的傅里叶级数展开式 为 f(t)=A+ Am sin( at+1)+Am sin( 2ot+2)+ +Akm sin( kot +u) 4+∑4msn(kot+) (121) k=1 利用三角函数公式,还可以把式(12—1)写成另一种形式 f(=ao+(a, cos ot +6, sin at)+(a, cos 2ot+b, sin 2at)+ +(ar cos kat+b, sin kot)+ ∑(a4 cos kot+ bk sin kar) k=1
由数学知识可知, 如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利 条件, 那么它可以展开成一个收敛级数, 即傅里叶级数。 电工技术 中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。 设给定的周期函数 f（t）的周期为T, 角频率ω＝2π/T, 则 f（t）的傅里叶级数展开式 为 = = + + + + + = + + + + + 1 0 0 1 1 2 2 sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( 2 ) k km k km k m m A A k t A k t f t A A t A t （12 — 1） 利用三角函数公式, 还可以把式（12 — 1）写成另一种形式: = = + + + + + = + + + + + 1 0 0 1 1 2 2 ( cos sin ) ( cos sin ) ( ) ( cos sin ) ( cos2 sin 2 ) k k k k k a a k t b k t a k t b k t f t a a t b t a t b t （12 — 2）
式中,a,a,b称为傅里叶系数,可由下列积分求得: 4=7/(0h=21((m) f(tcos katt f(t)cos katd(ot) f(t)sin kott = f(t)sin kotd(ot) 式(12-1)和式(12-2)各系数之间存在如下关系 Ao=ao (12 Pk = arctan k 4)
式中, a0 , ak , bk称为傅里叶系数,可由下列积分求得: = = = = = = 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ( )sin ( ) 1 ( )sin 2 ( )cos ( ) 1 ( )cos 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) 1 f t k tdt f t k t d t T b f t k tdt f t k t d t T a f t dt f t d t T a T k T k T (12 — 3) k k k km k k b a A a b A a arctan 2 2 0 0 = = + = 式（12 — 1）和式（12 — 2）各系数之间存在如下关系: (12 — 4)
= A sin (o km b k =Akm cosu 例121已知矩形周期电压的波形如图123所示。求U(t) 的傅里叶级数。 解图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为 Un(0≤t≤ l() 图12.3例12.1图 <t<T 2 由式(12-3)可知 2丌 2丌
例 12.1 已知矩形周期电压的波形如图12.3所示。 求u（t） 的傅里叶级数。 解 图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为 k km k k km k b A a A cos sin = = (12 — 5) 图 12.3 例 12.1 图 t u 0 Um －Um T T 2 ) 2 ( ( ) ) 2 (0 t T T U u t T U t m t m − = 由式（12—3）可知: ( ) ( ) 2 1 2 0 0 = a u t d t
2丌 d(on)]=0 2丌 u(t)cos katd(at) TT Jo Um cos katd(at)+ -Um coskotd (ot sin ratz k丌 u(t)sin katd(at) P2丌 Um sin katd(at)+ T LJom Um sin katd(at) JO
( ) ( ) 0 2 1 2 0 0 = + − = U d t U d t m m = + − = = − = = + − = sin ( ) sin ( ) 1 ( )sin ( ) 1 sin sin 0 cos ( ) 1 cos ( ) 1 ( )cos ( ) 1 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 U k t d t U k t d t b u t k t d t k t k U k t k U U k t d t U k t d t a u t k t d t m m k m m m m k
20 20 sinkotd(ot)==mI cos kot kT 20 COSKTT k丌 当k为奇数时,cosk=-1, kn 当k为偶数时,Cosk丌=1,b=0 40 由此可得(1)="(siot+sin3ot+sn5ot+… + sin kot+…)(k为奇数) k
(1 cos ) 2 cos 2 sin ( ) 2 0 0 k k U k t k U k t d t U m m m = − = = − cos 1, 0 4 cos 1, = = = − = k m k k b k U k b 当k为奇数时, 当k为偶数时, 由此可得 k t k为奇数） k t t t U u t m sin ) ( 1 sin 5 5 1 sin 3 3 1 (sin 4 ( ) + + = + + +
例122求图124所示周期信号的傅里叶级数展开式。 解()在一个周期内的表示式为 (t) t(-≤t≤ i() 2 i(t)dt 0 2Im(tdt 图124例122图 r tdt+tdt=0 47 i(t )cos kott=m t cos kott T
例 12.2 求图12.4所示周期信号的傅里叶级数展开式。 解 i (t)在一个周期内的表示式为 t i(t) 0 I m － T 2 T 2 图 12.4 例 12.2 图 − − − = = = = + = = = − 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 cos 4 ( )cos 2 0 2 2 ( ) 1 ) 2 2 ( 2 ( ) T T m T k T T m T T m T m t k tdt T I i t k tdt T a tdt tdt T I tdt T I i t dt T a T t T t T I i t