《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第四章 线性多变量系统的综合与设计（2/2）

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.5状态观测器 在42节中介绍控制系统设计的极点配置方法时,曾假设所有的状态变量均可有效地用 于反馈。然而在实际情况中,不是所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要要估计不可用 的状态变量。需特别强调,应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量,因为噪声通常 比控制信号变化更迅速,所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个单一的微分过程可使 信噪比减小数倍。有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。不能观测状态变量的估计 通常称为观测。估计或者观测状态变量的装置(或计算机程序)称为状态观测器,或简称观 测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量,不管其是否能直接测量,这种状态观 测器均称为全维状态观测器。有时,只需观测不可测量的状态变量,而不是可直接测量的状 太态变量。例如,由于输出变量是能观测的,并且它们与状态变量线性相关,所以无需观测 所有的状态变量,而只观测n-m个状态变量,其中n是状态向量的维数,m是输出向量的维 估计小于n个状态变量(n为状态向量的维数)的观测器称为降维状态观测器,或简称 为降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的,则称该观测器为最小阶状态观测器或 最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1引言 状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。在3.7节讨论的能观测性概念 有重要作用。正如下面将看到的,当且仅当满足能观测性条件时,才能设计状态观测器 在下面关于状态观测器的讨论中,我们用x表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中,将被观测的状态向量用于状态反馈,以产生所期望的控制向量。 考虑如下线性定常系统 x= Ax+Bu y=Cx 假设状态向量x由如下动态方程 x= Ax+ Bu+K(v-C (4.29) 中的状态x来近似,该式表示状态观测器。注意到状态观测器的输入为y和u,输出为x。 式(429)的右端最后一项包含被观测输出Cx之间差的修正项。矩阵K起到加权矩阵的 作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B 之间存在差异时,由于动态模型和实际系统之间的差异,该附加的修正项将减小这些影响 图45所示为系统和全维状态观测器的方块图

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 1 4.5 状态观测器 在 4.2 节中介绍控制系统设计的极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用 于反馈。然而在实际情况中，不是所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要要估计不可用 的状态变量。需特别强调，应避免将一个状态变量微分产生另一个状态变量，因为噪声通常 比控制信号变化更迅速，所以信号的微分总是减小了信噪比。有时一个单一的微分过程可使 信噪比减小数倍。有几种不用微分来来估计不能观测状态的方法。不能观测状态变量的估计 通常称为观测。估计或者观测状态变量的装置（或计算机程序）称为状态观测器，或简称观 测器。如果状态观测器能观测到系统的所有状态变量，不管其是否能直接测量，这种状态观 测器均称为全维状态观测器。有时，只需观测不可测量的状态变量，而不是可直接测量的状 太态变量。例如，由于输出变量是能观测的，并且它们与状态变量线性相关，所以无需观测 所有的状态变量，而只观测 n-m 个状态变量，其中 n 是状态向量的维数，m 是输出向量的维 数。 估计小于 n 个状态变量（n 为状态向量的维数）的观测器称为降维状态观测器，或简称 为降价观测器。如果降维状态观测器的阶数是最小的，则称该观测器为最小阶状态观测器或 最小阶观测器。本节将讨论全维状态观测器和最小阶状态观测器。 4.5.1 引言 状态观测器基于输出的测量和控制变量来估计状态变量。在 3.7 节讨论的能观测性概念 有重要作用。正如下面将看到的，当且仅当满足能观测性条件时，才能设计状态观测器。 在下面关于状态观测器的讨论中，我们用 x ~ 表示被观测的状态向量。在许多实际情况 中，将被观测的状态向量用于状态反馈，以产生所期望的控制向量。 考虑如下线性定常系统 x  = Ax + Bu (4.27) y = Cx (4.28) 假设状态向量 x 由如下动态方程 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e −  (4.29) 中的状态 x ~ 来近似，该式表示状态观测器。注意到状态观测器的输入为 y 和 u，输出为 x ~ 。 式（4.29）的右端最后一项包含被观测输出 C x ~ 之间差的修正项。矩阵 Ke 起到加权矩阵的 作用。修正项监控状态变量 x ~ 。当此模型使用的矩阵 A 和 B 与实际系统使用的矩阵 A 和 B 之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差异，该附加的修正项将减小这些影响。 图 4.5 所示为系统和全维状态观测器的方块图

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 下面将详细讨论用矩阵A和B以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器,其中 的附加修正项包含测量输出和估计输出之间的差。在讨论过程中,假设在此模型中使用的矩 阵A和B与实际系统使用的相同。 图45全维状态观测器方块图 4.5.2全维状态观测器 在此讨论的状态观测顺的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式(427)和(428)定 义。观测器方程由式(429)定义。 为了得到观测器的误差方程,用式(427)减去式(429),可得 AX-K2(Cx-(x)=(A-K2C(x-x)(4.30) 定义x和x之差为误差向量,即 x 则式(430)改写为 (A-K. C)e (4.31) 由式(431)可看出,误差向量的动态特性由矩阵A-KC的特征值决定。如果矩阵A-KC 是稳定矩阵,则对任意初始误差向量e(ω),误差向量都将趋近于零。也就是说,不管x(0) 和x(O)值如何,x(t)都将收敛到x()。如果所选的矩阵A-KC的特征值使得误差向量的动 态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。 如果系统是完全能观测的,则可证明可以选择K。使得A-KC具有任意所期望的特 征值。也就是说,可以确定观测器的增益矩阵K,,以产生所期望的矩阵A-KC下面讨论 2

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 2 下面将详细讨论用矩阵 A 和 B 以及附加的修正项来表征动态特性的状态观测器，其中 的附加修正项包含测量输出和估计输出之间的差。在讨论过程中，假设在此模型中使用的矩 阵 A 和 B 与实际系统使用的相同。 图 4.5 全维状态观测器方块图 4.5.2 全维状态观测器 在此讨论的状态观测顺的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（4.27）和（4.28）定 义。观测器方程由式（4.29）定义。 为了得到观测器的误差方程，用式（4.27）减去式（4.29），可得 ) ~ ) ( )( ~ ( ~ ~ x x Ax Ax K Cx Cx A K C x x − = − − e − = − e −   (4.30) 定义 x 和 x ~ 之差为误差向量，即 e x x ~ = − 则式（4.30）改写为 e A K C e e  = ( − ) (4.31) 由式（4.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵 A - KeC 的特征值决定。如果矩阵 A -KeC 是稳定矩阵，则对任意初始误差向量 e (0)，误差向量都将趋近于零。也就是说，不管 x (0) 和 x ~ (0)值如何， ( ) ~ x t 都将收敛到 x (t)。如果所选的矩阵 A - KeC 的特征值使得误差向量的动 态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零(原点)。 如果系统是完全能观测的，则可证明可以选择 Ke 。使得 A - KeC 具有任意所期望的特 征值。也就是说，可以确定观测器的增益矩阵 Ke ，以产生所期望的矩阵 A - KeCo 下面讨论

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 这个问题。 4.5.3对偶问题 全维状态观测器的设计问题,是确定观测器增益矩阵K,使得由式(4.31)定义的误 差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定(渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KC的特征值决定)。因此,全维观测的设计就变为确定一个合适的K。,使得A-KC具有 所期望的特征值。因而,全维状态观测器的设计问题就变成与42节讨论的极点配置问题相 考虑如下的线性定常系统 dx+ Bu y=Cx 在设计全维状态观测器时,我们可以求解其对偶问题。也就是说,求解如下对偶系统 A'=+C'L 的极点配置问题。假设控制输入为 K 如果对偶系统是状态完全能控的,则可确定状态反馈增益矩阵K,使得矩阵A-CK 得到一组期望的特征值。 如果μ1,μ2,…,凵n是期望的状态观测器矩阵特征值,则通过取相同的μi作为对偶系 统的状态反馈増益矩阵的期望特征值,可得 (A1-CK)=(s-1XS-2) 注意到A-CK和A-KC的特征值相同,可得 K)=sl-(A-K C) 比较特征多项式s-(4-KC)|和观测器系统(参见式(4.31)的特征多项式 S-(A-KC),可找出K和K的关系为 K=K 因此,采用在对偶系统中由极点配置方法确定矩阵κ,原系统的观测器增益矩阵A,可通过 关系式K。=K确定。 4.5.4可观测条件 如前所述,对于A-KC所期望特征值的观测器增益矩阵K。的确定,其充要条件为 原系统的对偶系统

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 3 这个问题。 4.5.3 对偶问题 全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵 Ke ，使得由式（4.31）定义的误 差动态方程以足够快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵 A-KeC 的特征值决定）。因此，全维观测的设计就变为确定一个合适的 Ke ，使得 A-KeC 具有 所期望的特征值。因而，全维状态观测器的设计问题就变成与 4.2 节讨论的极点配置问题相 同， 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + 在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统 n B z z A z C T T T =  = +  的极点配置问题。假设控制输入为  = −Kz 如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵 K，使得矩阵 A C K T T − 得到一组期望的特征值。 如果μ1,μ2,…,μn 是期望的状态观测器矩阵特征值，则通过取相同的μi 作为对偶系 统的状态反馈增益矩阵的期望特征值，可得 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 n T T sI − A −C K = s −  s −   s −  注意到 A C K T T − 和 A K C T − 的特征值相同，可得 sI (A C K) sI (A K C) T T T − − = − − 比较特征多项式 sI (A K C) T − − 和观测器系统（参见式（4.31））的特征多项式 sI (A K C) − − e ，可找出 Ke 和 T K 的关系为 T Ke = K 因此，采用在对偶系统中由极点配置方法确定矩阵 K，原系统的观测器增益矩阵 K，可通过 关系式 T Ke = K 确定。 4.5.4 可观测条件 如前所述，对于 A - KeC 所期望特征值的观测器增益矩阵 Ke 的确定，其充要条件为： 原系统的对偶系统

《现代控制理论基础》第四章(讲义) A*=+C 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的条件是 IC:A"C 的秩为n。这是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的完全能观测性条件。这意味着。由式 (4.27)和(4.28)定义的系统的状态观测的充要条件是系统完全能观测 下面将介绍解决状态观测器设计问题的直接方法(而不是对偶问题的方法),采用对偶 问题的方法来确定求观测器增益矩阵K的爱克曼公式。 4.5.5全维状态观测器的设计 考虑由下式定义的线性定常系统 x=Ax+ Bu y 式中,x∈R",u∈R,y∈R,A∈R,B∈R,C∈R。假设系统是完全能观测的, 又设系统结构如图45所示 在设计全维状态观测器时,如果将式(4.32)和(4.33)给出的系统变换为能观测标准 形就很方便了。如前所述,可按下列步骤进行:定义一个变换矩阵P,使得 P=(R (4.34) 式中R是能观测性矩阵 R=C: A 且对称矩阵W由式(46)定义,即 0 00 0 式中,a,是由式(432)给出的如下特征方程的系数 0 显然,由于假设系统是完全能观测的,所以矩阵WR的逆存在 现定义一个新的n维状态向量5为 Ps (4 则式(4.32)和(4.33)为 S=P AP5+P Bu y=CP5

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4 z  = A* z +C*v 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的条件是 [ * * * ( *) * ] 1 C A C A C n−   的秩为 n 。这是由式(4.27)和(4.28)定义的原系统的完全能观测性条件。这意味着。由式 （4.27）和(4.28)定义的系统的状态观测的充要条件是系统完全能观测。 下面将介绍解决状态观测器设计问题的直接方法（而不是对偶问题的方法），采用对偶 问题的方法来确定求观测器增益矩阵 Ke 的爱克曼公式。 4.5.5 全维状态观测器的设计 考虑由下式定义的线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + (4.32) 式中， n n n n n x R u R y R A R B R C R          1 1 1 1 , , , , , 。假设系统是完全能观测的， 又设系统结构如图 4.5 所示。 在设计全维状态观测器时，如果将式（4.32）和（4.33）给出的系统变换为能观测标准 形就很方便了。如前所述，可按下列步骤进行：定义一个变换矩阵 P，使得 1 ( ) − P = WR (4.34） 式中 R 是能观测性矩阵 [ ( ) ] T T T T T n 1 T R C A C A C − =   (4.35) 且对称矩阵 W 由式（4.6）定义，即                 = − − − − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 1         a a a a a a W n n n n 式中， i a 是由式（4.32）给出的如下特征方程的系数 1 0 1 − = + 1 + + − + = − n n n n sI A s a s  a s a 显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵 WR 的逆存在。 现定义一个新的 n 维状态向量ξ为 x = Pξ (4.36) 则式（4.32）和（4.33）为 P AP P Bu −1 −1  =  +  (4.37) y = CP (4.38)

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 式中 0 PAP= b.-ab P-B b, -a, b CP=[00 式(439)到(441)的推导见例47和48。式(437)和(4.38)是能观测标准形。因而 给定一个状态方程和输出方程,如果系统是完全能观测的,并且通过采用式(4.36)给出的 变换,将原系统的状态向量x变换为新的状态向量§,则可将给定的状态方程和输出方程变 换为能观测标准形。注意,如果矩阵A已经是能观测标准形,则Q=l 如前所述,选择由 x=Ax+Bu+K,(y-Cx =(A-K,C)x+ Bu+k Cx 给出的状态观测器的动态方程。现定义 (4.43) 将式(443)代入式(442),有 5=P-(A-K.C)PS +P-Bu+P-K,CPS 用式(4.37)减去式(444),可得 点-=P(A-CP(5-2) 义 则式(445)为 E=P(A-K.C)Pa 要求误差动态方程是渐近稳定的,且ε(ω)以足够快的速度趋于零。确定矩阵K。的步骤,是 先选择所期望的观测器极点(A-KC的特征值),然后确定K。,使其给出所期望的观测 器极点。注意P=WR,可得

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 5 式中             − − − = − − 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a a a P AP n n        (4.39)             − − − = − − − o n n o n n o b a b b a b b a b P B 1 1 1 1 1  (4.40) CP = [0 0  0 1] (4.41) 式（4.39）到（4.41）的推导见例 4.7 和 4.8。式（4.37）和（4.38）是能观测标准形。因而 给定一个状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式（4.36）给出的 变换，将原系统的状态向量 x 变换为新的状态向量ξ，则可将给定的状态方程和输出方程变 换为能观测标准形。注意，如果矩阵 A 已经是能观测标准形，则 Q = I。 如前所述，选择由 ) ~ ( ~ ~ x Ax Bu K y Cx = + + e −  = A K C x Bu K Cx − e + + e ~ ( ) (4.42) 给出的状态观测器的动态方程。现定义  ~ ~ x = P (4.43) 将式（4.43）代入式（4.42），有  P A KeC P P Bu P KeCP 1 ~ 1 1 ( ) ~ − − − = − + +  (4.44) 用式（4.37）减去式（4.44），可得 ) ~ ( ) ( ~ 1  − = −  − − P A KeC P   (4.45) 定义    ~  = − 则式（4.45）为  P A K C P e ( ) 1 = − −  (4.46) 要求误差动态方程是渐近稳定的，且  (t) 以足够快的速度趋于零。确定矩阵 Ke 的步骤，是 先选择所期望的观测器极点（ A− KeC 的特征值），然后确定 Ke ，使其给出所期望的观测 器极点。注意 P = WR −1 ，可得

《现代控制理论基础》第四章(讲义) a k 0C4|k2 P K 0CA-2‖k 0 CA 式中 由于P-K是一个n维向量,则 参考式(441),有 PK CP 00…1] 和 P-(A-K.C)P=P-.CP 0 0 0 0 d1 特征方程为 (A-K,C)P=0

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 6                                                 = − − − − − − − − n n n n n n n n e k k k k CA CA CA C a a a a a a P K 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1           式中             = n e k k k K  2 1 由于 P Ke −1 是一个 n 维向量，则             = − − 1 1 1     n n P Ke (4.47) 参考式（4.41），有             =             = − − − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [0 0 1]                n n n n P KeCP 和 P A KeC P P AP P KeCP 1 1 1 ( ) − − − − = −                 − − − − − − − − = − − − − 1 1 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0     a a a a n n n n n n         特征方程为 ( ) 0 1 − − = − sI P A KeC P 即

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 00 6n S 0 a,+0 S+a1+ 或者 a1+d1)"+(a2+2)s (an+n)=0 可见,,6n1,…,61中的每一个只与特征方程系数中的一个相关联。 假设误差动态方程所期望的特征方程为 (s-/1)(S-2)…(s-n) an1s+an=0(4.49) 注意,期望的特征值μ:确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式(4.48)和(4.49)的s同幂项的系数,可得 ato=a a, a +d=a 从而可得 δn 于是,由式(4.47)得到 PK 8n-an-1-an-Il 因此 K=P (R) a1 式(4.50)规定了所需的状态观测器增益矩阵K 如前所述,式(4.50)也可通过其对偶问题由式(4.13)得到。也就是说,考虑对偶系 统的极点配置问题,并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵K。那么,状态观测器的增益矩阵

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 7 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 = − + + − + − + + − − − −     s a s a s a s a n n n n n n          或者 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 1 + 1 + 1 + + + + + = − − n n n n n s a  s a  s  a  (4.48) 可见,δn,δn-1,…,δ1 中的每一个只与特征方程系数中的一个相关联。 假设误差动态方程所期望的特征方程为 ( )( ) ( ) 0 * * 1 * 2 2 * 1 − 1 − 2 − = + 1 + + + − + = − − n n n n n s  s   s  n s a s a s  a s a (4.49) 注意，期望的特征值μi 确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式（4.48）和(4.49)的 s 同幂项的系数，可得    + = + = + = n n n a a a a a a     2 2 2 1 1 1 从而可得 n n n a a a a a a = − = − = −        2 2 2 1 1 1 于是，由式（4.47）得到               − − − =             = − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 1 a a a a a a P K n n n n n n e      因此               − − − =               − − − = − − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 * 1 1 * 1 * ( ) a a a a a a WR a a a a a a K P n n n n n n n n e   (4.50) 式（4.50）规定了所需的状态观测器增益矩阵 Ke 。 如前所述，式（4.50）也可通过其对偶问题由式（4.13）得到。也就是说，考虑对偶系 统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵 K。那么，状态观测器的增益矩阵

《现代控制理论基础》第四章(讲义) K可由K确定(见例4.16) 旦选择了所期望的特征值(或所期望的特征方程),只要系统完全能观测,就能设计 全维状态观测器。所选择的特征方程的期望特征值,应使得状态观测器的响应速度至少比所 考虑的闭环系统快2~5倍。如前所述,全维状态观测器的方程为 x=(a-K, C)x+ Bu+k] (4.51) 注意,迄今为止,我们假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上 这做不到。因此,误差动态方程不可能由式(4.46)给出,这意味着误差不可能趋于零。因 此,应尽量建立观测器的准确数学模型,以使误差小到令人满意的程度 4.56求状态观测器增益矩阵Ke的直接代入法 与极点配置的情况类似,如果系统是低阶的,可将矩阵K。直接代入所期望的特征多项 这可能更为简便。例如,若x是一个三维向量,则观测器增益矩阵K可写为: Ke=k 将该矩阵K代入期望的特征多项式 sI-(A-K C)=(s-W),) 通过使上式两端s的同次幂系数相等,可确定ka、ka2和ka3的值。如果n=12或者3, 其中n是状态向量x的维数,则该方法很简便(虽然该方法用于n=4,5,6…的情况,但涉及 到的计算可能非常繁琐)。 确定状态观测器增益矩阵K。的另一种方法是采用爱克曼公式。下面就介绍这种方法 4.5.7爱克曼公式( Ackermann' s Formula) 考虑如下的线性定常系统 x= Ax+ Bu (4.53) 在42节中,我们已推导了用于式(4.52)定义的系统的极点配置的爱克曼公式,其结 果已由式(4.18)给出,现重写为 K=[00…0lB:AB I-BIo( 对于由式(4.52)和(453)定义的对偶系统 A=+C D n= B 前述关于极点配置的爱克曼公式可改写为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 8 K 可由 T K 确定（见例 4.16）。 一旦选择了所期望的特征值（或所期望的特征方程），只要系统完全能观测，就能设计 全维状态观测器。所选择的特征方程的期望特征值，应使得状态观测器的响应速度至少比所 考虑的闭环系统快 2~5 倍。如前所述，全维状态观测器的方程为 x A K C x Bu Ky = − e + + ~ ( ) ~  (4.51) 注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵 A 和 B 与实际系统中的严格相同。实际上， 这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（4.46）给出，这意味着误差不可能趋于零。因 此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使误差小到令人满意的程度。 4.5.6 求状态观测器增益矩阵 e K 的直接代入法 与极点配置的情况类似，如果系统是低阶的，可将矩阵 Ke 直接代入所期望的特征多项 这可能更为简便。例如，若 x 是一个三维向量，则观测器增益矩阵 Ke 可写为：           = 3 2 1 e e e e k k k K 将该矩阵 Ke 代入期望的特征多项式 ( ) ( )( )( ) − − = − 1 − 2 − 3 sI A K C s s s e 通过使上式两端 s 的同次幂系数相等，可确定 e1 k 、 e2 k 和 e3 k 的值。如果 n =1,2 或者 3， 其中 n 是状态向量 x 的维数，则该方法很简便（虽然该方法用于 n = 4,5,6,…的情况，但涉及 到的计算可能非常繁琐）。 确定状态观测器增益矩阵 Ke 的另一种方法是采用爱克曼公式。下面就介绍这种方法。 4.5.7 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑如下的线性定常系统 x  = Ax + Bu (4.52) y = Cx (4.53) 在 4.2 节中，我们已推导了用于式（4.52）定义的系统的极点配置的爱克曼公式，其结 果已由式（4.18）给出，现重写为 [0 0 0 1][ ] ( ) 1 1 * K B AB A B A n  − − =      对于由式（4.52）和(4.53)定义的对偶系统 n B z z A z C T T T =  = +  前述关于极点配置的爱克曼公式可改写为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) K=[00…0Cr:AC∷…:(A)Crp(A)(454) 如前所述,状态观测器的增益矩阵K由K给出,这里的K由式(4.54)确定。从而 C CA CA 0 K。=K=g(A2) =p'(A) P (AR (4.55) CA CA CA CA 式中,φ(s)是状态观测器的期望特征多项式,即 φ'(s)=(s-1)(s-A2)…(s-pn) 这里,1,μ2…,μ是期望的特征值。式(455)称为确定观测器增益矩阵K的爱克曼 公式 4.5.8最优选择的注释 参考图45,应当指出,作为对装置模型修正的观测器增益矩阵K。’通过反馈信号来考 虑装置中的未知因素。如果含有显著的未知因素,那么通过矩阵K的反馈信号也应该比较 大。然而,如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰,则输出y是不可靠的。因此 由矩阵K。引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵K时,应该仔细检查包含在输出y 中的干扰和噪声的影响 应强调的是观测器增益矩阵K依赖于所期望的特征方程 (s-1Xs-2)…(s-Hn)=0 在许多情况中,1,H2,…,n的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作所期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程,可有不同的矩阵K。 在设计状态观测器时,最好是在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 K。这几种不同的矩阵K。必须进行仿真,以评估作为最终系统的性能。当然,应从系统 总体性能的观点来选取最好的K。在许多实际问题中,最好的矩阵K选取,归结为快速响 应及对于扰和噪声灵敏性之间的一种折衷 [例4.2]考虑如下的线性定常系统 =Ax+ Bu y=Cx

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 9 [0 0 0 1][ ( ) ] ( ) T T T T n 1 T 1 * T K C A C A C  A − − =      (4.54) 如前所述，状态观测器的增益矩阵 Ke 由 T K 给出，这里的 Ke 由式（4.54）确定。从而                 =                                 =                                 = = − − − − − − − 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) * 1 1 1 2 * 1 1 2 *     A R  CA CA CA C A CA CA CA C K K A n n n n T T T e    (4.55) 式中， ( ) *  s 是状态观测器的期望特征多项式，即 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 * n  s = s −  s −   s −  这里，μ1, μ2, …,μn 是期望的特征值。式（4.55）称为确定观测器增益矩阵 Ke 的爱克曼 公式。 4.5.8 最优 e K 选择的注释 参考图 4.5，应当指出，作为对装置模型修正的观测器增益矩阵 Ke ，通过反馈信号来考 虑装置中的未知因素。如果含有显著的未知因素，那么通过矩阵 Ke 的反馈信号也应该比较 大。然而，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出 y 是不可靠的。因此， 由矩阵 Ke 引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵 Ke 时，应该仔细检查包含在输出 y 中的干扰和噪声的影响。 应强调的是观测器增益矩阵 Ke 依赖于所期望的特征方程 (s − 1 )(s −  2 )(s −  n ) = 0 在许多情况中，μ1, μ2, …,μn 的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作所期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程，可有不同的矩阵 Ke 。 在设计状态观测器时，最好是在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 Ke。 这几种不同的矩阵 Ke 必须进行仿真，以评估作为最终系统的性能。当然，应从系统 总体性能的观点来选取最好的 Ke 。在许多实际问题中，最好的矩阵 Ke 选取，归结为快速响 应及对于扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 4.2] 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + 式中

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 020.6 A B C=[01 设计一个全维状观测器。设系统结构和图45所示的相同。又设观测器的期望特征值为 1=-1.8+j2 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵K,为此先检验 能观测性矩阵,即 [C: AC 的秩为2。因此,该系统是完全能观测的,并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用3 种方法来求解该问题 方法1:采用式(450)来确定观测器的增益矩阵。由于该状态矩阵A已是能观测标准 形,因此变换矩阵P=(WR)=1。由于给定系统的特征方程为 20.6 I S/-AF 20.6=s 0 因此 0.6 观测器的期望特征方程为 (s+18-124)s+1.8+24)=s2+36s+9=s2+as+a2 因此 3.6, 故观测器增益矩阵K。可由式(4.50)求得如下 10T9+20.61「296 K。=(WR) 3.6-0 3.6 方法2:参见式(4.31) (A-K,C) 定义 k1 K 则特征方程为 01「02061「k 20.6+k k =s2+k2s-20.6+k1=0

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 10 , [0 1] 1 0 , 1 0 0 20.6 =       =       A = B C 设计一个全维状观测器。设系统结构和图 4.5 所示的相同。又设观测器的期望特征值为 1 = −1.8+ j2.4, 2 = −1.8− j2.4 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵 Ke ，为此先检验 能观测性矩阵，即       = 1 0 0 1 [ ] T T T C  A C 的秩为 2。因此，该系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用 3 种方法来求解该问题。 方法 1：采用式（4.50）来确定观测器的增益矩阵。由于该状态矩阵 A 已是能观测标准 形，因此变换矩阵 P = WR = I −1 ( ) 。由于给定系统的特征方程为 20.6 0 1 20.6 | | 1 2 2 2 = − = + + = − − − = s s a s a s s sI A 因此 a1 = 0, a2 = −20.6 观测器的期望特征方程为 * 2 * 1 2 2 (s +1.8 − j2.4)(s +1.8 + j2.4) = s + 3.6s + 9 = s + a s + a 因此 3.6, 9 * 2 * a1 = a = 故观测器增益矩阵 Ke 可由式（4.50）求得如下       =      − +       =         − − = − 3.6 29.6 3.6 0 9 20.6 0 1 1 0 ( ) 1 * 1 2 * 1 2 a a a a Ke WR 方法 2：参见式（4.31） e  = (A− KeC) = 0 定义       = 2 1 e e e k k K 则特征方程为 20.6 0 1 20.6 [0 1] 1 0 0 20.6 0 0 2 1 2 2 1 2 1 = + − + = − + − +  =      +      −      e e e e e e s k s k s k s k k k s s (4.56)