例题精选 【例题51】有一电容元件,C=0.5F,今通入一三角波形的周期电流(图5.1(b)), (1)求电容元件两端电压lC;(2)作出uc的波形;(3)计算t=25s时电容元件的电 场中储存的能量。设uco=0 ↓i/A 图5.1例题5.1的图 【解】先写出图51(b)各段电流波形的时间函数式 0≤长≤ls时,i=5tA ls≤I≤3s时,i=-51+10A 3s≤≤4s时,i=51-20A (1)求电容元件两端电压tC: 0≤1≤ls时,lco=0 tdt= 5t2v ls≤I≤3s时 lc=-idtD5J(-5t+10)d7=-52+20r+K 当1=1s时,u=5V,代入上式,得K=-10,故 5t2+20t-10V 3s≤≤4s时 =idt=a|(5t-20)dt=512-401+K 当1=3时,uc3=-5×32+20×3-10=5V,代入上式,得K=80,故 5t2-40t+80V 4“cN (2)Lc的波形如图52所示 10 (3)计算1=2.5s时电容元件的电场中储存的能量 -5×2.52+20×2.5-10=875V W=-Cuc2s 2+ 752=19.1J 图5.2lc的波形 【例题52】电路如图53所示。已知R=392,L=3g2 =279,(1)=60+ 0sn(a+30°)+72sin3otV。求电流l=?
61 一、 例题精选 【例题 5.1】 有一电容元件，C=0.5F，今通入一三角波形的周期电流(图 5.1（b）)， （1）求电容元件两端电压 uC ；（2）作出 uC 的波形；（3）计算 t=2.5s 时电容元件的电 场中储存的能量。设 uC0 = 0。 i C 0.5F uC0 = 0 -5 O 1 2 3 4 5 t /s (a) (b) i / A 图 5. 1 例题 5.1 的图 【解】 先写出图 5.1（b）各段电流波形的时间函数式： 0≤t≤1s 时， i=5t A； 1s≤t≤3s 时，i=-5t+10 A； 3s≤t≤4s 时，i=5t - 20 A。 (1) 求电容元件两端电压 uC ： 0≤t≤1s 时，uC 0=0 5 d 5 V 0.5 1 d 1 2 C ∫ ∫ = i t = t t = t C u 1s≤t≤3s 时 i t t t t t K C u = = − + = − + + ∫ ∫( 5 10)d 5 20 0.5 1 d 1 2 C 当 t1=1s 时，uC1=5V，代入上式，得 K=-10，故 5 20 10 V 2 u C = − t + t − 3s≤t≤4s 时 i t t t t t K C u = = − = − + ∫ ∫(5 20)d 5 40 0.5 1 d 1 2 C 当 t3=3s 时，u = −5 × 3 + 20 × 3 − 10 = 5V，代入上式，得 K=80，故 2 C3 5 40 80V 2 uC = t − t + 10 t /s C u O 1 2 3 4 5 /V (2) uC 的波形如图 5.2 所示。 (3) 计算 t=2.5s 时电容元件的电场中储存的能量 0 图 5.2 uC 的波形 2 2 W = C = × .5 8.75 = 19.1J 1 1 5 2.5 20 2.5 10 8.75V 2 2 C2.5 2 C2.5 × = − × + × − = u u 【例题 5.2】电路如图 5.3 所示。已知 R=3Ω ,ωL=3Ω , = 27Ω 1 ωC , u(t)=60+ 100sin(ωt+30°)+72sin3ωt V。求电流 iL= ?
第五章非正弦周期电流电路 【解】直流电压U=60V单独作用时,电容开路,电感短路,通过L的直流分量 ==20A R 3 100sin(ar+30°)V单独作用时,取U1m=100∠30°V.则 100∠30° JOL L J3×(-J27)j3-j27 C C R+ L 25∠784°A 所以 i1=25sin(ot+784°)V Xc3=-Xc3=÷×27=9g 13=30L=3×3=92 图5.3例题52的图 1=2sin3otV单独作用时,取U3m=72∠0°V,则因为 所以电路处于并联谐振状态。又因为通过R的电流为零,所以 72∠0° X13j9-=82-90A i13=8n(3ot-909)A i=1+i1+i3=20+25sn(ot+784°)+8sn(3ot-90°)A 【例题53】电路如图55所示。 已知u=40√2sin(ot+30°)+30√2sin(3ot+609V,R=1092。 求:(1)电流的瞬时表达式;(2)④①的读数(有效值);(3)的读数。 【解】 =4√2sin(ot+30°)A 2=3=3A R i3=3√2sin(3o+60°)A 电流i的瞬时表达式 =4√2si(+309)+3√2s1301+60)A图55例题53的图 ④和①的读数 I=√12+12=√42+32=5A U=√1+U5=√402+302=50V
62 第五章 非正弦周期电流电路 【解】直流电压 U0= 60V 单独作用时，电容开路，电感短路，通过 L 的直流分量 20A 3 o 60 o = = = R U I u1=100sin(ωt+30°) V 单独作用时, 取 1m =100∠30°V, ⋅ U 则 25 78.4 A j3 j27 j27 j3 27 j3 ( j27) 3 100 30 1 j j j 1 1 j j j 1 j 1m L1m o o & & ∠ = − − × − × − + ∠ = ω ω − ω × ω ω − ω ω ⋅ + = C L C C L C L R U I 所以 iL1=25sin(ωt +78.4°)V u = ω = × = Ω = = × = Ω 3 3 3 9 27 9 3 1 3 1 L3 C3 C3 X L X X 图 5.3 例题 5.2 的图 L C Li R u1=72sin3ωt V 单独作用时, 取U& 3m = 72∠0°V, 则因为 XL3 =XC 3= 9Ω 所以电路处于并联谐振状态。又因为通过 R 的电流为零，所以 20 25sin( 78.4 ) 8sin(3 90 )A 8sin(3 90 )A 8 90 A j 9 72 0 j 0 L1 L3 L L3 L3 3m L3m = + + = + ω + ° + ω − ° = ω − ° = ∠− ° ∠ ° = = i I i i t t i t X U I & & 【例题 5.3】电路如图 5.5 所示。 已知u = 40 2 sin(ωt + 30°) + 30 2 sin(3ωt + 60°)V ，R=10Ω 。 求：（1）电流的瞬时表达式；（2）○A ○V 的读数（有效值）；（3）○W 的读数。 【解】 U u i R V W A 4A 1 1 = = R I i 1 = 4 2 sin(ωt + 30°)A 3A 3 3 = = R U I i3 = 3 2 sin(3ωt + 60°)A 电流 i 的瞬时表达式 图 5.5 例题 5.3 的图 i = 4 2 sin(ωt + 30°) + 3 2 sin(3ω t + 60°)A ○A 和○V 的读数 40 30 50V 4 3 5A 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 = = + = = + = + = U U +U I I I
第五章非正弦周期电流电路 表的读数 P=l12R+l32R=160+90=250W 【例题54】图55电路中,已知()=31lsin(314+20°)V,is()=2.83sin9421A, R1=5092,R2=209,L=2254mH,C=5μF。求电压源和电流源各发出多少功率? 【解】由题意可知,只要求出s(1)单独作用时通过vs()的基波电流,即可求出 ls(U)发出的功率。同理s(1)为3次谐波,只要求出is(1)单独作用时s(m)的两端电压,即 可求出s(1)发出的功率。因为不同频率的电压和电流不产生功率 C is()U (a) 图5.5例题54的图 L=314×2254×10-3=708 2129 s()单独作用时,如图55所示,取Us=220∠20°V,则 20∠20° 2.34∠78°A R1+ e)50-j79.7 JOL 所以 34√2sin(3147+78°)A ls()发出的功率 Pu=220×2.34cos58°=274W is(1)单独作用时,如图55(b)所示,则 ∠0°=2∠0°A 因为 所以通过R1的电流也是Is,则 U3=l(R1+R2)=2(50+20)=70×2=140∠0°V 所以 140√2sin942rV
第五章 非正弦周期电流电路 63 ○W 表的读数 P = I 1 2 R + I 3 2 R = 160 + 90 = 250W 【例题 5.4】 图 5.5 电路中，已知 uS(t) = 311sin(314t+20°) V， iS(t) = 2.83sin942t A， R1=50Ω ，R2=20Ω ，L=225.4mH，C=5μF。 求电压源和电流源各发出多少功率？ 【解】 由题意可知，只要求出 uS(t) 单独作用时通过 uS(t) 的基波电流，即可求出 uS(t)发出的功率。同理 iS(t)为 3 次谐波，只要求出 iS(t)单独作用时 iS(t)的两端电压，即 可求出 iS(t) 发出的功率。因为不同频率的电压和电流不产生功率。 u • U S R1 ωC 1 (b) R2 L C ( ) S t R1 (a) ( ) Si t • 1I R1 R2 1 (c) • U3 • S ωL I 3ωL 图 5.5 例题 5.4 的图 ωL = 314×225.4×10–3=70.8Ω 3ωL =212Ω 1 106 = 212Ω 3 1 ωC = Ω × = 637 ωC 314 5 uS(t)单独作用时，如图 5.5 所示，取U 220 20 V,则 S = ∠ ° & 2.34 78 A 50 j79.7 220 20 1 j j ) 1 j ( j 1 S 1 = ∠ ° − ∠ ° = − − + = C L C L R U I ω ω ω ω & & 所以 i 1 = 2.34 2 sin(314t + 78°)A uS(t)发出的功率 220 2.34cos58 274W cos u u S 1 1 = × ° = = P P U I ϕ iS(t)单独作用时，如图 5.5 (b) 所示，则 0 2 0 A 2 2.83 SI = ∠ ° = ∠ ° & C L ω ω 3 1 因为 3 = 所以通过 R1的电流也是 , I & S 则 U& 3 = I & S (R1 + R2 ) = 2(50 + 20) = 70× 2 = 140∠0°V 所以 u3 =140 2 sin 942t V
第五章非正弦周期电流电路 is(1)发出的平均功率 B1=U33cosq3=140×2cos0°=280W 【例题55】图56电路为滤波电路,要求4ω的谐波电流能传送至负载,而基波 电流无法达到负载。如果C=1μF,O=10005求L1和L2 【解】若基波电流无法达到负载R,则L1和C并联电路必定产生并联谐振,即 0L: =a2C=100×1061 若满足4ω谐波电流传送至负载R,则必有Z(4o)=0,电路对于4o谐波产生串 联谐振,即 +14L,=0 解得 图56例题5.5的图 Ly =66.7mH O-L,C 【例题56】图57电路中,已知R=mL=-=19,u=20sin3ot+5in5orV 求:(1) oc (2)i和u的有效值/和U为多少? (3)电路消耗的功率P=? 【解】因为1=20 sin ot v,取U1m=20∠0°V,则 U1m=(1-j+j×20∠0° 图5.7例题5.6的图 0∠0°A 所以 因为l3=9 sin ot v,取U3m=9∠0°V,则 13m=(+-+j5C)Um=(1++j3)×90°=9+y24=256∠694°A R 3OL j3 所以 i;=256sin(3ot+694°)A 因为ws=5 Ssin ot v,取Usm=5∠0°V,则 +j50C)Usm=(1++j5)×5∠00=5+j24=24.5∠78.2°A DL 所以 is=245sn(5ot+78.2°)A 有效值
64 第五章 非正弦周期电流电路 iS(t)发出的平均功率 P1 =U3 I3 cosϕ 3 =140 × 2cos 0° = 280 W 【例题 5.5】 图 5.6 电路为滤波电路，要求 4ω的谐波电流能传送至负载，而基波 电流无法达到负载。如果 C=1μF, ω =1 000/s 求 L1 和 L2。 【解】若基波电流无法达到负载 RL，则 L1 和 C 并联电路必定产生并联谐振，即 1H 1000 10 1 1 2 2 6 1 = × = = − C L C ω L ω ω 1 1 = 若满足 4ω 谐波电流传送至负载 RL，则必有 Z(4ω )=0，电路对于 4ω 谐波产生串 联谐振，即 u C R L1 L2 j4 0 j4 1 j4 j4 1 j4 2 1 1 + = + ⋅ L C L C L ω ω ω ω ω 解得 图 5.6 例题 5.5 的图 = = 66 L L .7mH 16 1 1 2 1 2 ω L C − 【例题 5.6】 图 5.7 电路中，已知 , = = = u=20sin3ωt +5sin5ωt V。 C R ω ω 1Ω 1 L 求 ：(1) i =? u R L C i (2) i 和 u 的有效值 I 和 U 为多少? （3）电路消耗的功率 P=? 【解】因为 u1=20sinωt V , 取 , U& 1m = 20∠0°V 则 U = ( j+ j 20 = 图 5.7 例题 5.6 的图 20 0 A 1 ) 0 j ) j 1 1 ( 1m 1m ∠ ° − × ∠ ° = + + C R L I & & ω ω 所以 i1=20sinωt A 因为 u3= 9 sinωt V ，取U& 3m = 9∠0°V, 则 j3) 9 0 9 j24 25.6 69.4 A j3 1 j5 ) (1 j3 1 1 ( 3m 3m = + + C U = + + × ∠ ° = + = ∠ ° R L I & ω & ω 所以 i3=25.6sin(3ωt +69.4°) A 因为 u5= 5sinωt V，取U& 5m = 5∠0°V , 则 j5) 5 0 5 j24 24.5 78.2 A j5 1 j5 ) (1 j5 1 1 ( 5m 5m + ω = + + × ∠ ° = + = ∠ ° ω = + C U R L I & & 所以 i5=24.5sin(5ωt +78.2°) A 有效值
第五章非正弦周期电流电路 20、2256、24.5 =28.8A i=i1+i2+i=20 sin ot+256sin(3ot+694°)+24.5(50t+7829)A U=1U+0+u 2+(=)2+(1)2=159V 平均功率 P=U,I, COSP,+U3 13 Cos 3+UgIs cos (ps 2020 9256 524.5 ×==cos0°+ co694°×=cos78.2° =200+40.5+12.5=253W 个+03+05=(U2+U2+U32)=253W RR 二、习题精选 【习题51】图58电路中 的读数为120W。求R和C之值 ○的读数为15V,2m100sn30015°A○ 图58习题5.1的图 图59习题52的图 【习题52】电路如图59。已知无源网络N的电压和电流为 ()=100sin3141+50sin(9421-30°)V i(1)=10sn3l4t+1.75n(9421+a)A 如果N可以看做是R、L、C串联电路,试求: (1)R,L,C的值; (2)a的值; (3)电路消耗的功率。 【习题53】有一电容元件,C=0.01μF,在其两端加一三角波形的周期电压(图 510(b),(1)求电流i;(2)作出i的波形:(3)计算i的平均值及有效值。 I u/v 00.050 (a)
第五章 非正弦周期电流电路 65 ) 28.8A 2 24.5 ) ( 2 25.6 ) ( 2 20 ( 2 2 2 2 3 2 2 2 I = I1 + I + I = + + = i = i 1 + i2 + i3 = 20sinωt + 25.6sin(3ωt + 69.4°) + 24.5(5ωt + 78.2°)A ) 15.9V 2 5 ) ( 2 9 ) ( 2 20 ( 2 2 2 2 3 2 2 2 U = U1 +U +U = + + = 平均功率 200 40.5 12.5 253W cos78.2 2 24.5 2 5 cos69.4 2 25.6 2 9 cos0 2 20 2 20 cos cos cos 1 1 1 3 3 3 5 5 5 = + + = = × ° + × ° + × ° P = U I ϕ +U I ϕ +U I ϕ 或 ( ) 253W 2 5 2 3 2 1 2 5 2 3 2 1 = + + = U +U +U = R U R U R U P 二、习题精选 【习题 5.1】 图 5.8 电路中， 的读数为 115V，i=2sin100 t+sin(300t –15°)A， 的读数为 120W。求 R 和 C 之值。 V W W u V R C u i N 图 5.8 习题 5.1 的图 图 5.9 习题 5.2 的图 【习题 5.2】 电路如图 5.9。已知无源网络 N 的电压和电流为 u (t)=100sin314t +50sin(942t -30°) V i (t)=10sin314t +1.755sin(942t +α ) A 如果 N 可以看做是 R、L、C 串联电路，试求： （1）R、L、C 的值； （2）α 的值； （3）电路消耗的功率。 【习题 5.3】 有一电容元件，C = 0.01μF，在其两端加一三角波形的周期电压(图 5.10(b))，(1) 求电流 i；（2）作出 i 的波形；（3）计算 i 的平均值及有效值。 O t /s (a) (b) u / V 1 -1 0.05 0.1 0.2 i C u
第五章非正弦周期电流电路 图5.10习题5.3的图 【习题54】以(50snot+20sin3ot+15n5ot八V所表示的电压施加到串联的LCR 路,其中L=0.506H、R=59和C=20μF 试计算基波电流的有效值以及与各次谐波相对应的电流。外施电压的基波分量的 频率为50Hz。并确定电容器两端的三个电压分量 【习题55】已知R=19,C=1F,u的波形如图511(b所示。试画出电流i的波 形图。 图5.11习题5.5的图 【习题56】施加到串联电路上的电压是以(2000snot+600sin3ot+400sin5ot)V 来表示。如果电路的电阻为10Ω,电容为30μF,而电感值将使得电路与电压的三次谐 波发生谐振。试估算该电路中将流过的电流的有效值。基波频率为50Hz。并计算出在 这些条件下,电感线圈端钮间的电压有效值。 【习题57】电容量为3.18μF的电容器与10009电阻并联,该组合又与10009 电阻器串联连接到以u=350 sin ot+150sn(3Ot+30V表示的电压上。试确定 (1)如果=314rads,电路中消耗的功率 (2)串联电阻器两端的电压; (3)总电流中谐波含量的百分数。 【习题58】10g电阻与电感为6.36mH的线圈串联,电源电压以u=300sin314 50sin942+40sin1570V表示 试求:(1)电流瞬时值的表达式; (2)消耗的功率。 【习题59】电路由200μF电容器与79电阻器串联组成,供电电压的瞬时值以 200sin(314+20sn(942-90°)V来表示。试推导出电流的表达式,并计算总电流的有效 值、总功率和功率因数。 【习题5.10】由109电阻器与0.015H电感器串联组成的电路流过的电流以 =10sin314+5c0s9421A来表示。试确定电路两端电压的表达式,并计算电压的有效值和 功率因数、吸收的总功率 二、习题答案 【习题51】R=489,C=166MF。 【习题5.2】(1)R=109,L=31.8mH,C=166μF。 (3)P=5154W
66 第五章 非正弦周期电流电路 图 5.10 习题 5.3 的图 【习题 5.4】 以(50 sinωt +20sin3ωt +15sin5ωt )V 所表示的电压施加到串联的 LCR 电路，其中 L= 0.506H、R =5Ω 和 C = 20μF。 试计算基波电流的有效值以及与各次谐波相对应的电流。外施电压的基波分量的 频率为 50Hz。并确定电容器两端的三个电压分量。 【习题 5.5】 已知 R = 1 ，C = 1F，u 的波形如图 5.11(b)所示。试画出电流 i 的波 形图。 Ω i iC R u i C R O t / s u / V 3 (a) (b) 图 5.11 习题 5.5 的图 【习题 5.6】 施加到串联电路上的电压是以(2 000sinωt +600sin3ωt +400sin5ωt )V 来表示。如果电路的电阻为 10Ω ，电容为 30μF，而电感值将使得电路与电压的三次谐 波发生谐振。试估算该电路中将流过的电流的有效值。基波频率为 50Hz。 并计算出在 这些条件下，电感线圈端钮间的电压有效值。 【习题 5.7】 电容量为 3.18μF 的电容器与 1 000Ω 电阻并联，该组合又与 1 000Ω 电阻器串联连接到以 u=350sinωt +150sin(3ωt +30)V 表示的电压上。试确定： （1）如果ω =314rad/s，电路中消耗的功率； （2）串联电阻器两端的电压； （3）总电流中谐波含量的百分数。 【习题 5.8】10Ω 电阻与电感为 6.36mH 的线圈串联，电源电压以 u=300sin314t+ 50sin942t+40sin1570t V 表示。 试求：（1）电流瞬时值的表达式； （2）消耗的功率。 【习题 5.9】 电路由 200μF 电容器与 7Ω电阻器串联组成，供电电压的瞬时值以 200sin(314t)+20sin(942t–90°)V 来表示。 试推导出电流的表达式，并计算总电流的有效 值、总功率和功率因数。 【习题 5.10】由 10 Ω 电阻器与 0.015H 电感器串联组成的电路流过的电流以 i=10sin314t+5cos942tA 来表示。试确定电路两端电压的表达式，并计算电压的有效值和 功率因数、吸收的总功率。 二、 习题答案 【习题 5.1】 R = 48Ω ， C = 166MF。 【习题 5.2】(1) R=10Ω ，L=31.8mH，C=166μF。 (2) α = - 99.5 °。 (3) P = 515.4W
第五章非正弦周期电流电路 【习题53】(1)0≤1≤005s时,1=0.2pA 0.05s≤1≤0.15s时,i-0.2uA 0.15s≤1≤0.2s时,i=0.2uA (2)波形略 (3)l=0=02uA 【习题54】707A,0.3mA,0.39mA,1125V,1.76V,0.442V 【习题5.5】 15+1.5t0≤≤2 2≤1≤5 15-3t 5≤1≤6 图略 【习题5.6】456A,2220V。 【习题57】(1)463W 2)222sin(ot+185°)+13lsin(3ot+15.3°)V (3)59% 【习题58】294sin(ot-113°)+4.28sin(3ot-31)+283sin(5 4454W。 【习题5】11i(314r66°14)+228sin(9421-52°57)A,8.3A,483W 0.41 【习题510】110sin(314+25°13)+86.5sn(942+54°39)V,99V,0.8,625W
第五章 非正弦周期电流电路 67 【习题 5.3】(1) 0≤t≤0.05s 时， i=0.2μA 0.05s≤t≤0.15s 时，i=- 0.2μA 0.15s≤t≤0.2s 时，i= 0.2μA (2)波形略 (3)I0= 0 I = 0.2μA 【习题 5.4】 7.07A , 0.3 mA , 0.139mA , 1 125V , 1.76V , 0.442V 。 【习题 5.5】 + 0≤t≤2 2≤t≤5 5 ≤t≤6 − 3 t≥6 图略 = 0 1.5 3 1.5 1.5 t t i 【习题 5.6】 45.6 A , 2 220 V。 【习题 5.7】 (1) 46.3 W (2) 222 sin (ωt +18.5°)+131sin(3ωt +15.3°) V (3) 59% 【习题 5.8】 29.4sin (ωt -11.3 ) +4.28sin (3 o ωt –31 ) +2.83sin(5 o ωt –45 )A , o 4 454 W。 【习题 5.9】 11.5sin (314t- 66o )+2.28sin (942t –52 o 14′ 57′) A , 8.3A， 483 W, 0.41。 【习题 5.10】110.5sin (314t+25 o 13′) +86.5sin (942t+54° 39′) V , 99 V, 0.8, 625 W